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【创新设计】2011届高三数学一轮复习 7-2空间几何体的表面积和体积随堂训练 文 苏教版

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第 2 课时
一、填空题

空间几何提的表面积和体积

1.一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是 2, 3, 6,这个长方体的对角线 ________. 是________. 解得: 解析:设长方体的长、 解析:设长方体的长、宽、高为 a、b、c,则 ab= 2,bc= 3,ac= 6,解得:a= 2, b= 1, c= 3
2 2 2 ∴长方体的对角线长为:l= a +b +c = 2+1+3= 6. 长方体的对角线长为: 2 2 2

答案: 6 答案: 的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________ ________. 2.表面积为 3π 的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________.
? ?πRl+πR =3π 解析: 解析:设圆锥的底面半径为 R,母线长为 l,则? ? ?2πR=π·l
2

,解得:R=1, 解得:

∴2R=2. 答案: 答案:2 3.(2010·江苏通州市高三素质检测)已知三棱锥 S—ABC 中,SA=SB=SC=AB=AC=2,则 2010·江苏通州市高三素质检测) 体积的最大值为________ ________. 三棱锥 S—ABC 体积的最大值为________. 答案:1 答案: 圆锥侧面积与球的表面积之比是________ ________. 4.若圆锥的高等于其内切球半径长的 3 倍,则圆锥侧面积与球的表面积之比是________.

r 2r 解析: 解析:设球的半径为 r,圆锥底面半径为 R,圆锥侧棱长为 l,∵ = ,∴l=2R, R l
∵ =

r l- R S锥侧 πRl 3 2 2 , ∴ R = 3r , ∴ = = . R 3r S球 4πr2 2

3 答案: 答案: 2 如图, 5 . 如图 , 半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P—ABCDEF , 则此正六棱锥的体积为 ________. ________.

1 解析: 为等边三角形, 解析:连 OA、OF,则△OAF 为等边三角形,∴S△OAF= ×2× 3= 3, 2 1 1 Sh= ×2= ∴SABCDEF=6 3,∴VP-ABCDEF= Sh= ×6 3×2=4 3. 3 3 答案: 答案:4 3

6.(2009·上海)若等腰直角三角形的直角边长为 2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一 2009·上海) 周所成的几何体体积是________ ________. 周所成的几何体体积是________. 解析:如右图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体. 解析:如右图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体.

×2= V= S·h= πR2·h= π×22×2= 8π 答案: 答案: 3

1 3

1 3

1 3

8π . 3

7 . ( 南京市高三期末调研测试)已知一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为 南京市高三期末调研测试 ) 已知一个圆锥的展开图如图所示 , 120°, 则该圆锥的体积为________ ________. 120°,底面圆的半径为 1,则该圆锥的体积为________.

解析: 2π, 解析:因为扇形弧长为 2π,所以圆锥母线长为 3,高为 2 2, 1 2 2π 2 所求体积 V= ×π×1 ×2 2= . 3 3 2 2π 答案: 答案: 3 二、解答题 cm, 8. 已知圆锥的母线长为 10 cm,高为 5 cm. (1)求过顶点作圆锥的截面中,最大截面的面积;(2)这个截面是轴截面吗?为什么? (1)求过顶点作圆锥的截面中,最大截面的面积;(2)这个截面是轴截面吗?为什么? 求过顶点作圆锥的截面中 这个截面是轴截面吗 解:(1)如右图,截面 SAB 为轴截面.在 Rt△SAO 中 (1)如右图, 为轴截面. 如右图

SO 1 30°, sin∠SAO= = ,∴∠SAO=30°,∴∠ASB=120°. SA 2
1 2 90°, 最大. ·10·10= 作截面 SBC,使∠BSC=90°,则 S△BSC 最大.∴S△BSC= ·10·10=50(cm ). 2 1 1 3 120°= (2)∵S△ASB= ·10·10·sin 120°= ·10·10· =25 2 2 2 面积最大的截面不是轴截面. ∴S△ASB<S△BSC,∴面积最大的截面不是轴截面. 3.

9.如图,在四面体 P—ABC 中, 如图,

PA=PB=PC=2,∠APB=∠BPC=∠APC=

30°, 点出发沿着四面体的表面绕一周, 30°,一只蚂蚁从 A 点出发沿着四面体的表面绕一周,再回到 A 点,问: 蚂蚁沿着怎样的路径爬行时路程最短,最短路程是多少? 蚂蚁沿着怎样的路径爬行时路程最短,最短路程是多少? 解: 如右图, 如右图, 将四面体沿 PA 剪开, 剪开, 并将其侧面展开平铺在一个平面上, 并将其侧面展开平铺在一个平面上, 其侧面展开平铺在一个平面上 PB, 两点, 连接 AA′分别交 PB,PC 于 E,F 两点,则当蚂蚁沿着 A→E→F→A′ 路径爬行时,路程最短. 90°, 路径爬行时,路程最短.在△APA′中,∠APA′=90°,PA=PA′ =2,∴AA′=2 2,即最短路程 AA′的长为 2 2. 10. 的正四面体的四个顶点均在一个球面上, 10.棱长为 a 的正四面体的四个顶点均在一个球面上,求此球的表面 积与体积. 积与体积. 解:以正四面体的每条棱作为一个正方体的面的一条对角线构造如图所示的正方体,则 以正四面体的每条棱作为一个正方体的面的一条对角线构造如图所示的正方体, 2 该正四面体的外接球也就是正方体的外接球. 该正四面体的外接球也就是正方体的外接球.由图知正方体的棱长为 a,正方体的对 2

角线长为

6 a,设正四面体 , 2 6 6 6 3 a, R= a, , ∴ , 于是球的表面积 S=4π·( a)2= πa2, ) 2 4 4 2

的外接球的半径为 R, 2R= 则

6 3 6 4 3 球的体积 V= π( a) = πa . ) 4 8 3

如图, 在多面体 ABCDEF 中, 的正方形, 1. 如图, 已知 ABCD 是边长为 1 的正方形, △ADE、 且 均为正三角形, 则该多面体的体积为________ ________. △BCF 均为正三角形, ∥AB, =2, 则该多面体的体积为________. EF EF 解析:如右图, 的垂线, 解析:如右图,分别过 A、B 作 EF 的垂线,垂足分别为 G、H, 1 连结 DG、CH,容易求得 EG=HF= , 2

AG=GD=BH=HC=

3 , 2

1 2 2 ×1= ∴S△AGD=S△BHC= × ×1= , 2 2 4 1 2 1 1 2 1 2 ×1= ∴V = VE- ADG + VF - BHC+ VAGD - BHC= × × + × × + ×1 = 3 4 2 3 4 2 4

2 . 3 答案: 答案: 2 3

120°, 的扇形作为圆锥的侧面, 2.将圆心角为 120°,面积为 3π 的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积和体积分别为 ________、________. ________、 1 1 2 2 解析: 3π, 解析:设扇形的半径为 r,弧长为 l,则有 rl= · π·r =3π,所以 r=3,l=2π, , = =2π, 2 2 3 2 π·1·3 π·1 4π, ·3+ 于是圆锥的母线长为 3,底面半径为 1,故表面积 S=π· ·3+π· =4π,体积 V , 1 2 2 2 = ·π·1 ·2 2= π. 3 3 答案: 答案:4π 2 2 π 3


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