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均值不等式求最值的几种技巧

时间:2012-01-18


1. 乘方后使用均值不等式 . 将所得出的正函数平方、立方、……、n 次方,然后再使用均值不等式求解。 例 1:已知 θ ∈ (0, π ) ,求函数

y = sin

θ
2

? (1 + cos θ )

的最大值.(1994 年数学竞赛题)

1 ? cosθ ? (1 + cosθ ) 2 解: θ ∈ (0, π ) , , 1 ? cos θ 1 y2 = ? (1 + cos θ ) 2 ? ( 2 ? 2 cos θ ) ? (1 + cos θ ) ? (1 + cos θ ) 2 ∴ =4 y=
≤ 1 ( 2 ? 2 cos θ ) + (1 + cos θ ) + (1 + cos θ ) 3 16 4 3 ?[ ] = y≤ 4 3 27 9 ∴ 1 cos θ = 3 时取到等号。 当且仅当 2 ? 2 cosθ = 1 + cosθ 即

4 3 所以 y 的最大值为 9 。
例 2:有一个浮标由三部分组成,一个圆筒和两个相同的圆锥,其中每一个圆锥的高等于圆 筒的高,问当表面积一定时,什么形状会有最大体积?(第一届普特南数学竞赛题) 解:设圆筒的半径为 r ,高为 h ,那么 S = 2π ? rh + 2πr ? h + r ,即
2 2

h=

S 2 ? 4π 2 r 4 4π ? rS ,

V = π ? r 2h +

2 5 5 ? πr 2 h = ? πr 2 h = ? r ? (S 2 ? 4π 2 r 4 ) 3 3 12 ? S
? 5 ? 4 2 2 4 V4 =? ? ? r ? S ? 4π r ? 12 S ? r=
4

则 利用 5 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数即可求得最大体积。 当且仅当 16π r = S ? 4π r ,即 1. 2. 引参后使用均值不等式 . . 有些和(积)不为常数的函数求最值时,可通过引入参数后,再使用均值不等式求解。
2 4 2 2 4

(

)

4

4

S2 2 2 h= r 2 20π 时取到等号,此时进一步有 5 。

1 sin x ? cos 2 x 的最小值 例 3:求函数 解:引入待定参数 λ , ? ,且 λ + ? = 4 ,则有 y = sin 2 x ? cos 2 x +
2

y=

sin 2 2 x 4 sin 2 2 x λ ? + = + + 2 2 4 4 sin 2 x sin 2 x sin 2 2 x

λ sin 2 2 x λ ? =2 +? ≥2 ? + 2 2 4 4 sin 2 x sin 2 x sin 2 2 x λ 1 15 = λ= ,?= 2 2 4 4 4 sin 2 x 且 sin 2 x = 1 时取到等号,此时 当且仅当 17 2 y 有最小值 4 。 所以当 sin 2 x = 1 时,

3 2 解: y = x ? 3 x + 2 x + 1 = x ? (2 ? x ) ? (1 ? x ) + 1 , x ∈ (0 , 1)

3 2 例 4:求函数 y = x ? 3 x + 2 x + 1 在区间 (0,1) 上的最大值和取到最大值时的 x 的值。 (第十二届希望杯数学竞赛题)

引入两个正实数 λ , ? 后利用均值不等式

y=

? x + (2λ ? λx ) + (? ? ?x ) ? ?? ? +1 λ? λ? ? 3 ? 1 ? λ ? ? = 0 且 x = 2λ ? λx = ? ? ?x 时取到等号 当且仅当

1

? x ? (2λ ? λx ) ? (? ? ?x ) + 1 ≤

1

3

此时

λ = 2 ? 3 , ? = 3 ?1 , x = 1?
3 2 3 1+ 3 时, y 有最大值为 9

3 ∈ (0 , 1) 3

所以当 3.连续使用均值不等式 . 有些函数在求最值时, 需要几次使用均值不等式进行放缩才能达到目的。 放缩时要保证 几个等号能同时成立。 例 5: 在三棱锥一个顶点处的三个面角都是直角,求它的外接圆半径和内切圆半径 R : r 的 最小值。 (1986 年江苏省数学竞赛题) 解: 设直角顶点处三条棱长分别是 x, y, z ,那么由立体几何知识易知

x = 1?

R=

xyz 1 2 r= x + y2 + z2 xy + yz + xz + x 2 y 2 + y 2 z 2 + x 2 z 2 , 2 ,

所以

R = r

x2 + y2 + z2 ? ( xy + yz + xz + x 2 y 2 + y 2 z 2 + x 2 z 2 ) 2 xyz
? (3 ? 3 x 2 y 2 z 2 + 3 ? 3 x 4 y 4 z 4 ) = 3 3 xyz + 3 xyz 3 3 + 3 = 2 xyz 2



3? 3 x2 y2z2 2 xyz

3 3+3 2 当且仅当 x = y = z 时取到等号,所以 R : r 的最小值是 。 1 1 1 3 3 3 + 例 6:设 a , b , c ∈ R ,且 abc = 1 ,试求 a (b + c ) + b (c + a ) + c (a + b ) 的最小值。
(第 35 届试题改编)

1 ab + ac b2c 2 ab + ac + = + ≥ bc a (b + c ) 4 ab + ac 4 解: , 1 bc + ba c2a2 bc + ba + = + ≥ ca 3 b (c + a ) 4 bc + ba 4 1 ca + cb ca + cb a 2b 2 + = + ≥ ab 3 c (a + b ) 4 ca + cb 4 1 1 1 1 3 ≥ ? 3 ? 3 ab ? bc ? ca = 3 3 3 a (b + c ) + b (c + a ) + c (a + b ) 2 2 三式相加得: 当且仅当 a = b = c 时取到等号 1 1 1 3 3 3 3 所以 a (b + c ) + b (c + a ) + c (a + b ) 的最大值为 2
3


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