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抛物线及其标准方程(广水一中数学组王伟)

时间:2014-10-28


湖北省广水市一中
王 伟

生活中的曲线

生活中的曲线

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生活中的曲线

炮弹平抛后的轨迹是什么图形?

生活中的曲线

一. 已知的函数曲线 (1) y ? x2 的图象是什么? 抛物线
2 (2)试在同一坐标系中画出函数 y ? ? x 的图象

y

O

x

二. 复习回顾与探究:

椭圆、双曲线的第二定义:
平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数 e的点的轨迹,当0<e <1时,是椭圆 当e>1时,是双曲线
l l

M

M

l

·
F



·
M e=1

· F

0< e < 1

e>1

当e=1时,它又是什么曲线 ?

三、抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 N

l d

定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。

·
· F

M

注意:定点不在直线上
即:满足
MF d ?1

点M的轨迹是抛物线

四、标准方程的推导

l

想 一 想 ?

N
K

M

· · F

如何建立直角 坐标系?
点F到直线l的距离:|KF|=p

l

Y

Y

M
F ( p ,0 )
2

M

Y

d

M F(p,0) X

KO

X

K

O

F (0,0)

X

O

p x?? 2
y 2 ? 2 px

l
x ? ?p
y ? 2 px ? p
2 2

(l )
x?0

y 2 ? 2 px ? p2

四、标准方程的推导 (1)以抛物线顶点为坐标原点,取过 焦点F且垂直于准线l的直线为x轴 设︱KF︱= p

l y N
M

p 则F( ,0),l:x = 2

p 2

设点M的坐标为(x,y),
由定义可知,

K o

P p ( x ? )2 ? y 2 ? x ? 2 2

· · F

x

化简得

y2 = 2px(p>0)

方程 y2 = 2px(p>0)叫做抛物线的标准方程, 其中 p 为正常数焦点到准线的距离

yy y y


oo o o
2

x x

xx

y ? 2 px( p ? 0)

四、标准方程的推导 (2)以抛物线顶点为坐标原点,取过 焦点F且垂直于准线l的直线为y轴 设︱KF︱= p

y

p 则F ( 0 , ),l:y = 2
由定义可知,

p 2

· ·x
M

F

设点M的坐标为(x,y),
P 2 p 2 x ? (y ? ) ? y ? 2 2
化简得

o
K N l

x2 = 2py(p>0)

yy y y

x ? 2 py( p ? 0)
2

oo o o
2

x x

xx

y ? 2 px( p ? 0)
y ? ?2 px( p ? 0)
2

x ? ?2 py( p ? 0)
2

﹒ ﹒ ﹒
y

图 形 o

标准方程



线

焦 点

x

y

o

x

y

o

x


o

y

x

五.例题讲解

例1、

(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x, 求它的焦点坐标和准线方程;
Y

解: 因为 P=3
O

3 故焦点坐标为 ( 2 , 0)

·
F

X

3 准线方程为x ? ? 2

(2)已知抛物线的方程是y = -6x2, 求它的焦点坐标和准线方程;

1 解:方程可以化为:x ? ? y 6
2

Y

1 故 p? 12

O

焦点坐标为

1 (0, ? ) 24

·

F

X

1 准线方程为 y ? 24

例2、求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程。
解:当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2

当焦点在x轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px,

9 =2py,得p= 4


A

y

O

x

4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = ? x 3 2

2 得p= 3

六.练习:
1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:

(1)焦点是F(3,0);

y2 =12x y2 =x =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y

1 (2)准线方程 是x = ? ; 4
(3)焦点到准线的距离是2。 y2

小 结
1. 抛物线的定义 2. 抛物线的标准方程。 3. 已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程时, 应先“定位”;后“定量”。

课堂作业:
课本 P119: 3、4、6


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