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第7节 离散型随机变量及其分布列(理)

时间:2013-01-12


第七 第十 章 概率 (文 科) 计数 原理、 概率 (理 科) 节

抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练

离散
型随 机变 量及 其分 布列 (理)

提 能 力

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[备考方向要明了] 考 什 么 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念, 了解分布列对于刻画随机现象的重要性. 2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.

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怎 么 考 从高考内容上来看,分布列的求法单独命题较少,多 与期望与方差的求法相结合,常在解答题中考查,难度

中低档.

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一、随机变量 将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对

应于一个数,这种对应称为一个随机变量.常用大写字
母 X、Y 表示. 所有取值可以 一一列出 的随机变量称为离散型随机 变量.

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二、离散型随机变量的分布列及其性质 1.离散型随机变量的分布列: 若离散型随机变量X的取值为a1,a2,?,随机变量 X取ai(i=1,2,?)的概率为Pi(i=1,2,?),记作: P(X=ai)=pi(i=1,2,?),则表

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X=ai P(X =ai)

a1

a2

? ?

p1

p2

称为离散型随机变量X的分布列. 2.离散型随机变量分布列的性质: (1)pi > 0(i=1,2,?);(2)p1+p2+?= 1 .

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三、超几何分布

一般地,设有N件产品,其中有M(M≤N)件次品.从
中任取n(n≤N)件产品,用X表示取出的n件产品中次品的
Ck Cn -k N 件数,那么P(X=k)= M n M (其中k为非负整数). CN


如果一个随机变量的分布列由上式确定,则称X服从 参数为N,M,n的超几何分布.

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1.(教材习题改编)设随机变量X的分布列如下: X 1 2 3 4 P 则p为 1 A. 6 C. 2 3 1 B. 3 D. 1 2 1 1 1 p 6 3 6 ( )

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1 1 1 1 解析:由6+3+6+p=1,∴p=3.

答案: B

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2.抛掷2颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示 的随机试验结果是 A.2颗都是4点 B.1颗是1点,另一颗是3点 C.2颗都是2点 ( )

D.1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点

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解析:X=4表示的随机试验结果是1颗1点,另1颗3点 或者两颗都是2点.

答案: D

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3.从装有3个白球、4个红球的箱子中,随机取出3个球, 恰好是2个白球、1个红球的概率是 4 A. 35 12 C. 35 6 B. 35 36 D. 343 ( )

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解析:如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,则这是
2 1 C3C4 12 一个超几何分布问题,故所求概率为 P= C3 =35. 7

答案: C

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4.设随机变量X等可能取值1,2,3,?,n,如果P(X<4) =0.3,那么n=________.
1 解析:n×3=0.3,∴n=10.

答案:10

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5.从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设
其中有X个红球,则随机变量X的概率分布为

X
P

0

1

2

1 1 解析:P(X=0)=C2=10 5 C1C1 3 3 2 P(X=1)= C2 =5 5 C2 3 3 P(X=2)=C2=10. 5

1 答案:10

3 5

3 10

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1.对随机变量的理解 (1)随机变量具有如下特点:其一,在试验之前不能断 言随机变量取什么值,即具有随机性;其二,在大量 重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量,即存

在统计规律性.

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(2)由离散型随机变量分布列的概念可知,离散型随机 变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.因此,离 散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范

围内各个值的概率之和.

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2.分布列正误的检验方法 对于离散型随机变量的分布列,要注意利用它的两

条性质检验所列分布列是否正确,如果求出的离散
型随机变量的分布列不满足这两条性质,就说明计 算过程中存在错误;反之,也不能说明所得分布列 一定是正确的.但要掌握利用这两条性质判断计算 过程是否存在错误的方法.

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[精析考题]

[例1]

(2011·江西高考改编)某饮料公司招聘了一名员工,

现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不 同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另 外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选 出4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定为3 500元;若4杯选

对3杯,则月工资定为2 800元;否则月工资定为2 100元.令X
表示此人选对A饮料的杯数.假设此人对A和B两种饮料没有鉴 别能力.求X的分布列.

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[自主解答] X的所有可能取值为:0,1,2,3,4, Ci4C4 i 4 P(X=i)= 4 (i=0,1,2,3,4), C8 即 X 0 1 2 3 4


1 16 36 16 1 P 70 70 70 70 70

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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
1.(2012· 日照质检)在学校组织的足球比赛中,某班要与其他 4 个班 级各赛一场,在这 4 场比赛的任意一场中,此班级每次胜、负、 平的概率相等.已知当这 4 场比赛结束后,该班胜场多于负场. (1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和; (2)若胜场次数为 X,求 X 的分布列.

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解:(1)若胜一场,则其余为平,共有 C1=4 种情况; 4 若胜两场,则其余两场为一负一平或两平, 共有 C2C1+C2=18 种情况; 4 2 4 若胜三场,则其余一场为负或平,共有 C3×2=8 种情况; 4 若胜四场,则只有一种情况.综上,共有 31 种情况.

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(2)X的可能取值为1,2,3,4, 4 18 P(X=1)= ,P(X=2)= , 31 31 8 1 P(X=3)= ,P(X=4)= , 31 31 所以X的分布列为

X P

1 4 31

2 18 31

3 8 31

4 1 31

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2.(2012· 北京西城区模拟)一个袋中装有6个形状大小完全 相同的小球,球的编号分别为1,2,3,4,5,6. (1)若从袋中每次随机抽取1个球,有放回的抽取2次,求 取出的两个球编号之和为6的概率; (2)若一次从袋中随机抽取3个球,记球的最大编号为X, 求随机变量X的分布列.

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解:(1)设先后两次从袋中取出球的编号为 m,n,则两次取球的 编号的可能结果(m,n)共有 6×6=36 种, 其中编号之和为 6 的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),共 有 5 种, 5 则所求概率为36. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 3,4,5,6. C3 1 3 P(X=3)=C3=20, 6 C2 3 3 P(X=4)=C3=20, 6

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C2 6 3 4 P(X=5)= 3= = , C6 20 10 C2 10 1 5 P(X=6)= 3= = . C6 20 2 所以,随机变量X的分布列为 X 3 4 3 20 5 3 10 6 1 2

1 P 20

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[冲关锦囊] 求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况 确定X的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求 出X取各个值的概率.

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[精析考题] [例2] (2011· 南昌第一次模拟)从某小组的5名女生和4名

男生中任选3人去参加一项公益活动. (1)求所选3人中恰有一名男生的概率; (2)求所选3人中男生人数X的分布列.

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C2C1 10 5 4 [自主解答] (1)所选3人中恰有一名男生的概率P= 3 = . C9 21 (2)X的可能取值为0,1,2,3. C3 5 C2C1 10 5 5 4 P(X=0)= 3= ,P(X=1)= 3 = , C9 42 C9 21 C1C2 5 C3 1 5 4 4 P(X=2)= 3 = ,P(X=3)= 3= . C9 14 C9 21 ∴X的分布列为 X P 0 5 42 1 10 21 2 5 14 3 1 21

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本例条件不变,求所选3人中女生人数Y的分布列. 解:由题意知Y可取3,2,1,0 即当Y=3时,X=0.Y=2时,X=1.

Y=1时,X=2.Y=0时,X=3.
∴Y的分布列为
Y P 3 2 1 5 14 0 1 21 5 10 42 21

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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)

3.(2012·深圳第一次调研)第26届世界大学生夏季运动 会于2011年8月12日至23日在深圳举行,为了搞好接

待工作,组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名
女志愿者,将这30名志愿者的身高编成如下茎如图

(单位:cm):

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9 8 7 6 4 5 2

男 9 8 0 1 1


15 16 17 18 19 7 1 2 0 7 2 3 1 8 4 4 9 5 5 9 8 6

9

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若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”,身高在 175 cm以下定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担 任“礼仪小姐”. (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5人,再从这5人中选2人,那么至少有1人是“高个子”的概率 是多少? (2)若从所有“高个子”中选3名志愿者,用X表示所选志愿者中 能担任“礼仪小姐”的人数,试写出X的分布列.

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解:(1)根据茎叶图,有“高个子”12 人,“非高个子”18 人,用 5 1 分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是30=6,所以抽中的“高 1 1 个子”有 12×6=2 人,“非高个子”有 18×6=3 人. 用事件 A 表示“至少有 1 名‘高个子’被选中”, 则它的对立事件 A 表示“没有 1 名‘高个子’被选中”, C2 3 7 3 则 P(A)=1-P( A )=1-C2=1-10=10. 5 7 因此,至少有 1 人是“高个子”的概率是10.

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(2)依题意,X的可能取值为0,1,2,3,则 C3 14 C1C2 28 8 4 8 P(X=0)= 3 = ,P(X=1)= 3 = , C12 55 C12 55 C2C1 12 C3 1 4 8 4 P(X=2)= 3 = ,P(X=3)= 3 = . C12 55 C12 55 因此,X的分布列为 X P 0 14 55 1 28 55 2 12 55 3 1 55

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[冲关锦囊]
对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可以

直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问
题,随机变量为抽到的某类个体的个数.

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易错矫正 致误

对于随机变量理解不清而

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[考题范例] (12分)(2011·山东高考)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C进行围棋比赛,甲对A、乙对B、丙对C各一 盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.

假设各盘比赛结果相互独立.
(1)求红队至少两名队员获胜的概率; (2)用X表示红队队员获胜的总盘数,求X的分布列和数 学期望EX.

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[失误展板] 错解:设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件 为F,则P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, P(D)=0.4,P(E)=0.5,P(F)=0.5. (1)P=P(DE F )+P(DEF)+P(DEF)=0.4.
- - - - -

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(2)由题意知X=1,2,3 P(X=1)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)=0.35, P(X=3)=P(DEF)=0.15. ∴P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=0.5. ∴X分布列为: X P 1 0.35 2 0.5 3 0.15
- - - - --

∴EX=1×0.35+2×0.5+3×0.15=3.95.

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错因:上述解答中出现的错误点有: (1)第(1)中至少两人获胜,理解为只有两人获胜忽视了三人获胜也 满足. (2)第(2)中X的理解不深.红队队员获胜的盘数认为最少胜一盘所 以X误取1,2,3而导致错误,还有求P(X=2)时利用了对X事件,由 于x取值错误,P(X=2)求时应为P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1) -P(X=3).实质上P(X=2)的求法可分类去求,即P(X=2)=P( D EF)+P(D E F )+P(DE F ),这样利用分布列的性质进行检验时可 查出错误避免失误.
- -

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[正确解答] (1)设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,则 D , E , F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.(2分) 因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 由对立事件的概率公式知 P(D)=0.4,P(E)=0.5,P(F)=0.5.(3分) 红队至少两人获胜的事件有:DEF,DEF,DEF,DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队至少两人获胜的概率为
- - - - - - - - -

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P=P(DE F )+P(DEF)+P(DEF)+P(DEF) =0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+ 0.6×0.5×0.5=0.55.(5分) (2)由题意知X可能的取值为0,1,2,3. 又由(1)知DEF、DEF、DEF是两两互斥事件,且各盘比赛的 结果相互独立, 因此p(X=0)=P(DEF)=0.4×0.5×0.5=0.1,(7分) P(X=1)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)
-- - - -- --- - - - - --





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=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35, P(X=3)=P(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15.(10分) 由对立事件的概率公式得 P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=0.4. 所以X的分布列为: X 0 1 2 0.4 3 0.15

P 0.1 0.35

因此EX=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.(12分)

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