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高中数学奥林匹克竞赛训练题(01)

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数学奥林匹克高中训练题(01)
第一试
一、选择题(本题满分30分,每小题6分) 1. (训练题06)设 f1 ( x ) = 的解析式为(C).

x 1 + x2

, 对任意自然数 n , 定义 f n +1 ( x) = f1 ( f n ( x)) , f1993 ( x) 则

1993 x
(A)

x
(B)

x
(C)

1 + x2

1993 + x 2

1 + 1993 x 2

1993x
(D)

1 + 1993 x 2
x y z

2.(训练题06)若 2 = 3 = 5 > 1 ,则 2 x,3 y ,5 z 从小到大的顺序是(A). (A)

3 y < 2x < 5z

(B)

5z < 2 x < 3 y

(C)

2x < 3 y < 5z

(D) 5 y < 3 y < 2 x 3.(训练题06)自然数 m, n, p, q 满足等式 m 2 + n 2 = p 2 + q 2 ,则 m + n + p + q (B). (A)是质数 (B)是合数 (C)可能是质数,也可能是合数 (D)既不是质数,也不是合数 4.(训练题06)一圆台的上底半径为 1cm ,下底半径为 2cm ,母线 AB 为 4cm ,现有一蚂 蚁从下底面圆周的 A 点,绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆周的 B 点爬行的最短路线是 (A). (A) 4 3 +

2π 3

(B) 4 3 +

4π 3

(C) 2 3 +

2π 3

(D) 2 3 +

4π 3

5.(训练题06)若复数 z 的共轭复数是 z ,且 z = 1 又 A = ( ?1,0), B = (0,?1) 为定点,则函 数 f ( x ) = ( z + 1)( z ? i ) 取最大值时在复平面上以 Z , A, B 三点为顶点的图形是(C). (A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形

6. (训练题06)若 ?ABC 是钝角三角形, arccos(sin A) + arccos(sin B ) + arccos(sin C ) 的 则 值域是(C). (A) (0,

π
2

]

(B) { }

π

2

(C) (

π 3π
2 , 2

)

(D) (0,

3π ) 2

二、填空题(本题满分30分,每小题5分) 1 . ( 训 练 题 06) 满 足 不 等 式 logx y ≥ log x xy 的 点 ( x, y) 的 集 合 是
y

{(x, y)| x >1且 > x}U{(x, y)|0 < x <1 y < x}. y 且
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2.(训练题06)一个圆锥和一个圆柱,下底面在同一平面上,它们有公共的内切球,记圆锥 的体积为 V1 ,圆柱的体积为 V2 ,且 V1 = kV2 ,则 k 的最小值是

4 3



3 . (训 练题 06)一个 三位自 然数 a1a2 a3 称 为 凹数 ,如 果同 时有 a1 > a2 , a3 > a2 ( 例 如

104,525,849 都是凹数而 123,684,200 都不是凹数) ,则所有的凹数的个
数是 285 . D

y
P

4 . ( 训 练 题 06) 如 图 , 已 知 椭 圆

x + y 2 = 1, DA ⊥ AB, CB ⊥ AB, 且 2
A

2

C

DA = 3 2 , CB = 2 ,动点 P 在 AB 上移动,则 ?PCD 的面积的最小值


O

x

4? 6


4 3 2

5.(训练题06)四次方程 x ? 20 x + kx + 384 = 0 的四个根当中的两个的积是24,则 k 的 值是 140 . 6.(训练题06)四个正数之和为4,平方和为8,则这四个数中最大的那个数的最大值是

1+ 3



三、(训练题06)(本题满分20分) a1 , a2 , a3 La n 是互不相等的自然数, 证
7 7 7 7
5 5 5


5



(a1 + a2 + a3 +L+an ) + (a1 + a2 + a3 + L + a n ) ≥ 2(a13 + a2 3 + a33 + L + a n 3 )2 .
四、(训练题06)(本题满分20分)设 P, M 分别在正方形 ABCD 的边 BC , CD 上, PM 与以

AB 为半径的圆相切,线段 PA 与 MA 分别交对角线 BD 于 Q, N ,证明:五边形 PQNMC
内接于圆. A Q O N M T C P D

五、 (训练题06)(本题满分20分)100个火柴盒, 标号为1至100.我们可以问其中任15个盒子总 共含有的火柴为奇数或偶数, 至少要问几才能确定1号盒子里的火柴数的奇偶性.(3个问题)

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第二试
一、(训练题06)(本题满分35分)右图中 ?ABC , ?BCD, ?CDE 都是正三角形,线段 FG∥BA, 连 DG, EF 相交于 O ,连 CO 并延长与 AB 的延长线相交于 P ,证明: CP = EF . P

B F O

D

A

G

C

E

二、(训练题06)(本题满分35分)假定 a1 , a2 , a3 La10 和 b1 , b2 , b3 Lb10 都是由不相等的复数所 组成的序列,已知对 i = 1,2,L ,10 均有 (a1 + bi ) ? ( a2 + bi ) ?L ? ( a10 + bi ) = 100 .证明:对任 何 j = 1,2,L ,10 ,乘积 (b1 + a j )(b2 + a j ) L (b10 + a j ) 都等于同一常数,并求出此常数. 三、(训练题06)(本题满分35分)证明任意 28 个介于 104 和 208 之间(包括104和208)的不同 的正整数,其中必有两个数不互素(即此二数的最大公约数大于1).

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