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三角函数知识点总结、习题及参考答案集全

时间:2011-03-11


高中数学第四章-三角函数 高中数学第四章 三角函数
考试内容: 考试内容:
角的概念的推广.弧度制. 任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱 导公式. 两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. 正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数 y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图 像和性质.已知三角函数值求角. 正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考试要求: 考试要求:
(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算. (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三 角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义. (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余 弦函数和函数 y=Asin(ωx+φ)的简图,理解 A.ω、φ的物理意义. (6)会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. (8) “同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,sinα/cosα=tanα,tanα?cosα=1” .

§04. 三角函数 知识要点
1. ① 与 α ( 0°≤ α < 360° ) 终 边 相 同 的 角 的 集 合 ( 角 α 与 角 β 的 终 边 重 合 ) :

{β | β = k × 360

o

+α, k ∈ Z

} { } } } } }
3 sinx 4 cosx cosx 1 sinx 2



y
2 sinx 1 cosx cosx 4 sinx 3

②终边在 x 轴上的角的集合: β | β = k ×180 o , k ∈ Z

③终边在 y 轴上的角的集合: β | β = k ×180 o + 90 o , k ∈ Z ④终边在坐标轴上的角的集合: β | β = k × 90 o , k ∈ Z

{

x

{

⑤终边在 y=x 轴上的角的集合: β | β = k ×180 o + 45 o , k ∈ Z

{

SIN\COS三角函数值大小关系图 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域

⑥终边在 y = ? x 轴上的角的集合: β | β = k ×180 o ? 45 o , k ∈ Z

{

⑦若角 α 与角 β 的终边关于 x 轴对称,则角 α 与角 β 的关系: α = 360 o k ? β ⑧若角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称,则角 α 与角 β 的关系: α = 360 o k + 180 o ? β ⑨若角 α 与角 β 的终边在一条直线上,则角 α 与角 β 的关系: α = 180 o k + β ⑩角 α 与角 β 的终边互相垂直,则角 α 与角 β 的关系: α = 360 o k + β ± 90 o

高三数学总复习—三角函数

2. 角度与弧度的互换关系:360°=2 π 180°= π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、 弧度与角度互换公式: 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
π

1°= π ≈0.01745 (rad)
180

3、弧长公式: l

=| α | ?r .

扇形面积公式: s扇形 =

4、三角函数:设 α 是一个任意角,在 α 的终边上任取(异于 原点的)一点 P(x,y)P 与原点的距离为 r,则
cos α = x; r

1 1 lr = |α | ? r 2 2 2
y a的 的 的
P(x,y) ( r

sin α =

y; r

tan α =

y; x

cot α =

x; y

sec α =

r r ;. csc α = . x y

o

x

5、三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦)
y y

+ + o x 正 余 、余 正

- + o - + x
余 余 、正 正

y

y P T

- + o x + 正 正 、余 正
O

M

Ax

6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT.
16. 几几几几几几 : (1)
y

(2)

y

|sinx|>|cosx|

7. 三角函数的定义域:

sinx>cosx
O x

|cosx|>|sinx| O

|cosx|>|sinx| x

cosx>sinx |sinx|>|cosx| π (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2

三角函数 f (x) = sinx
f (x) = cosx f (x) = tanx f (x) = cotx f (x) = secx f (x) = cscx

{x | x ∈ R} {x | x ∈ R}
1 ? ? ? x | x ∈ R且x ≠ kπ + π , k ∈ Z ? 2 ? ? {x | x ∈ R且x ≠ kπ , k ∈ Z } 1 ? ? ? x | x ∈ R且x ≠ kπ + π , k ∈ Z ? 2 ? ? {x | x ∈ R且x ≠ kπ , k ∈ Z }
cos α
cos α = cot α sin α

定义域

8、同角三角函数的基本关系式: sin α = tan α
tan α ? cot α = 1 csc α ? sin α = 1
2 2
2 2

sec α ? cos α = 1

sin α + cos α = 1 sec α ? tan α = 1 csc 2 α ? cot 2 α = 1

9、诱导公式:
把 kπ ± α的三角函数化为α的三角函数,概括为: 2

高三数学总复习—三角函数

“奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式: (一)基本关系
公式组一 公式组一 sinx·cscx=1 cosx·secx=1 tanx·cotx=1
sin x tanx= cos x

sin2x+cos2x=1 1+tan2 x =sec2x 1+cot2x=csc2x

x=

cos x sin x

公式组二 sin(2kπ + x) = sin x cos(2kπ + x) = cos x tan(2kπ + x) = tan x cot(2kπ + x) = cot x 公式组六
sin(π ? x) = sin x cos(π ? x) = ? cos x tan(π ? x) = ? tan x cot(π ? x) = ? cot x

公式组三 sin(? x) = ? sin x cos(? x) = cos x tan(? x) = ? tan x cot(? x ) = ? cot x

公式组四 sin(π + x) = ? sin x cos(π + x) = ? cos x tan(π + x) = tan x cot(π + x) = cot x

公式组五
sin(2π ? x) = ? sin x cos(2π ? x) = cos x tan(2π ? x) = ? tan x cot(2π ? x) = ? cot x

(二)角与角之间的互换 公式组一 cos(α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β
cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin(α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β tan(α + β ) = tan(α ? β ) = tan α + tan β 1 ? tan α tan β tan α ? tan β 1 + tan α tan β

公式组二 sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α

tan 2α =
sin

2 tan α 1 ? tan 2 α
1 ? cos α 2 1 + cos α 2

α
2



cos

α
2



tan

α
2



1 ? cos α sin α 1 ? cos α = = 1 + cos α 1 + cos α sin α

公式组三
sin α = 2 tan 1 + tan

α
2
2

α
2

cos α =

1 ? tan 2 1 + tan
2

α α
2 2

tan α =

2 tan

α
2

1 ? tan 2
sin 15 o = cos 75 o =

α
2

1 [sin (α + β ) + sin (α ? β )] 2 1 cos α sin β = [sin (α + β ) ? sin (α ? β )] 2 1 cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α ? β )] 2 1 sin α sin β = ? [cos(α + β ) ? cos(α ? β )] 2 α+β α ?β sin α + sin β = 2 sin cos 2 2 α+β α?β sin α ? sin β = 2 cos sin 2 2 α+β α?β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α+β α?β cos α ? cos β = ?2 sin sin 2 2 sin α cos β =

公式组四

公式组五

1 cos( π ? α ) = sin α 2 1 sin( π ? α ) = cos α 2 1 tan( π ? α ) = cot α 2 1 cos( π + α ) = ? sin α 2 1 tan( π + α ) = ? cot α 2 1 sin( π + α ) = cos α 2

6? 2, sin 75 o = cos 15 o = 4

6 + 2 , tan 15 o = cot 75 o = 2 ? 3 , tan 75 o = cot 15 o = 2 + 3 . 4

高三数学总复习—三角函数

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y = sin x y = cos x

y = tan x
1 ? ? ? x | x ∈ R且x ≠ k π + π , k ∈ Z ? 2 ? ?

y = cot x

y = A sin (ωx + ? )

(A、 ω >0) R

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[?1,+1]

R
[?1,+1]

{x | x ∈ R且x ≠ kπ , k ∈ Z }
R
π

R
π

[? A, A]






ω

奇函数

偶函数

奇函数

奇函数

[?

π
2

+ 2kπ ,

[(2k ? 1)π , π ? π ? ; ? ? + kπ , + kπ ? 2 2kπ ] ? 2 ?

(kπ , (k + 1)π ) 上为减函
数( k ∈ Z )

当 ? ≠ 0, 非奇非偶 当 ? = 0, 奇函数
? ? 2kπ ? ? ? ? 2kπ ? ? ? ? ( A), ? ω ? ? 1 + π ?? ? 2 (? A)? ω ?

?

π

π
2

+ 2kπ ]

上为增函 数 ; 单调性
[

上为增函 数 [2kπ , (2k + 1)π ] 上为减函 数 (k∈Z )

上 为 增 函 数 (k∈Z )

2

??

π

2 3π + 2kπ ] 2

+ 2kπ ,

上为增函数; π ? ? 2kπ + ? ?
2

上为减函 数 k∈Z ) (

? ? ( A), ? ? ω ? ? ? ? 3 2kπ + π ? ? ? ? 2 (? A)? ? ω ? ?

上 为 减 函 数 (k∈Z ) 注意:① y = ? sin x 与 y = sin x 的单调性正好相反; y = ? cos x 与 y = cos x 的单调性也同样相 ,则 y = ? f (x) 在 [a, b] 上递减(增). 反.一般地,若 y = f (x ) 在 [a, b] 上递增(减)


② y = sin x 与 y = cos x 的周期是 π . ③ y = sin(ωx + ? ) 或 y = cos(ωx + ? ) ( ω ≠ 0 )的周期 T =
y = tan

y



ω

.
O

x

x 的周期为 2 π ( π T= ? T = 2π ,如图,翻折无效). 2 ω

④ y = sin(ωx + ? ) 的对称轴方程是 x = kπ +

π
2

(k∈Z ) ,对称中心( kπ ,0 ) y = cos(ωx + ? ) 的 ;

对称轴方程是 x = kπ( k ∈ Z ) 对称中心 kπ + 1 π ,0 ) y = tan(ωx + ? ) 的对称中心 , ( ; (
2

kπ . ,0 ) 2

y = cos 2 x ?? ? → y = ? cos( ?2 x ) = ? cos 2 x ?
原点对称

⑤当 tan α · tan β = 1, α + β = kπ +

π
2

(k ∈ Z ) ; tan α · tan β = ?1, α ? β = kπ +

π
2

(k ∈ Z ) .

⑥ y = cos x 与 y = sin ? x + π + 2kπ ? 是同一函数,而 y = (ωx + ? ) 是偶函数,则 ? ? 2 ? ?
1 y = (ωx + ? ) = sin(ωx + kπ + π ) = ± cos(ωx) . 2
高三数学总复习—三角函数

⑦函数 y = tan x 在 R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,

y = tan x 为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是 f (x ) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定 义域关于原点对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x ) = f ( x) ,奇函数: f (? x ) = ? f ( x ) )
1 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y = tan x 是奇函数, y = tan( x + π ) 是非奇非偶.(定 3 义域不关于原点对称)

奇函数特有性质:若 0 ∈ x 的定义域,则 f (x ) 一定有 f (0) = 0 .( 0 ? x 的定义域,则无此性 质)


⑨ y = sin x 不是周期函数; y = sin x 为周期函数( T = π ) ; ; ; y = cos x 是周期函数(如图) y = cos x 为周期函数( T = π )

y



y

x

1/2 x

y=cos|x|图象

1 ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: y = cos 2 x + 的周期为 π (如图) 2

y=|cos2x+1/2|图象

y = f ( x) = 5 = f ( x + k ), k ∈ R .

⑩ y = a cos α + b sin β = a 2 +b 2 sin(α + ? ) + cos ? = 11、三角函数图象的作法: 1) 、几何法:

b 有 a 2 +b 2 ≥ y . a

2) 、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线) ,三点二线作图法(正、余切曲 线). 3) 、利用图象变换作三角函数图象. 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期 T = 2π ,频率 f = 1 = | ω | ,相位 ω x + ? ; 初相 ?
|ω |

T



(即当 x=0 时的相位)(当 A>0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号) . , 由 y=sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当 0<|A| <1)到原来的|A|倍,得到 y=Asinx 的图象,叫做振幅变换 振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换. (用 y/A 振幅变换 替换 y) 由 y=sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变, 横坐标伸长 0<|ω|<1) ( 或缩短 |ω|>1) ( 到原来的 | 1 | 倍,得到 y=sinω x 的图象,叫做周期变换 周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换.(用ωx 周期变换
ω

替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向左 (当 φ>0) 或向右 (当 φ<0) 平行移动|φ|个单位, 得到 y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换 相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移.(用 x+φ 替换 x) 相位变换 由 y=sinx 的图象上所有的点向上(当 b>0)或向下(当 b<0)平行移动|b|个单位, 得到 y=sinx+b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移. (用 y+(-b)替换 y)
高三数学总复习—三角函数

由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0) (x∈R)的 图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区 别。 反三角函数: 4、反三角函数: 反正弦函数,记作 y=arcsinx,它的定义域是[-1, 函数 y=sinx, ? x ∈ ?? π , ? ? 的反函数叫做反正弦函数 π 反正弦函数 ? ?
? ? ? 2 2 ?? ? ??

1] ,值域是 ?- π , ? . π
? ? 2 2? ?

函数 y=cosx, (x∈[0,π] )的反应函数叫做反余弦函数 反余弦函数,记作 y=arccosx,它的定 反余弦函数 义域是[-1,1] ,值域是[0,π] . 函数 y=tanx, x ∈ ? ? π , ? ? 的反函数叫做反正切函数 记作 y=arctanx, 反正切函数, 它的定义域是 (- ? 反正切函数 π ? ?
? ? ? ?? ? 2 2 ??

∞,+∞) ,值域是 ? ? π , ? . π
? ? ? 2 2?

函数 y=ctgx, [x∈(0,π) ]的反函数叫做反余切函数 反余切函数,记作 y=arcctgx,它的定义域 反余切函数 是(-∞,+∞) ,值域是(0,π) . II. 竞赛知识要点 一、反三角函数. 反三角函数 1. 反三角函数: ⑴反正弦函数 y = arcsin x 是奇函数, arcsin( ? x ) = ? arcsin x , ∈ [? 1,1] 故 (一 x 定要注明定义域,若 x ∈ (? ∞,+∞) ,没有 x 与 y 一一对应,故 y = sin x 无反函数) 注: sin(arcsin x) = x , x ∈ [? 1,1] , arcsin x ∈ ?? π , π ? . ? 2 2? ? ? ⑵反余弦函数 y = arccos x 非奇非偶,但有 arccos(? x) + arccos( x ) = π + 2kπ , x ∈ [? 1,1] . 注:① cos(arccos x ) = x , x ∈ [? 1,1], arccos x ∈ [0, π ] . ② y = cos x 是偶函数, y = arccos x 非奇非偶,而 y = sin x 和 y = arcsin x 为奇函数. ⑶反正切函数: y = arctan x ,定义域 ( ?∞,+∞ ) ,值域( ? 注: tan(arctan x ) = x , x ∈ (?∞,+∞ ) . ⑷反余切函数: y = arc cot x ,定义域 (?∞,+∞ ) ,值域( ?
arctan( ? x ) = ? arctan x , x ∈ ( ?∞,+∞ ) .

π π

, , ) y = arctan x 是奇函数, 2 2

π π

arc cot( ? x ) + arc cot( x ) = π + 2 kπ , x ∈ ( ?∞,+∞) . 注:① cot( arc cot x ) = x , x ∈ (?∞,+∞) . ② y = arcsin x 与 y = arcsin(1 ? x) 互为奇函数,y = arctan x 同理为奇而 y = arccos x 与 y = arc cot x 非奇非偶但满足 arccos(? x) + arccos x = π + 2kπ , x ∈ [?1,1]arc cot x + arc cot( ? x) = π + 2kπ , x ∈ [?1,1] .

, , ) y = arc cot x 是非奇非偶. 2 2

⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集: 解集 a 的取值范围 ① sin x = a 的解集

a 的取值范围

解集

② cos x = a 的解集
高三数学总复习—三角函数

a

>1 =1 <1

?

a

>1

?

a

{x | x = 2kπ + arcsin a, k ∈ Z }

a

=1

{x | x = 2kπ + arccos a, k ∈ Z }
{x | x = kπ ± arccos a, k ∈ Z }

a

{x | x = kπ + (? 1)

k

arcsin a , k ∈ Z

}

a

<1

的解集: ③ tan x = a 的解集: {x | x = kπ + arctan a , k ∈ Z } 二、三角恒等式. 三角恒等式 sin 2 n +1α 组一 cos α cos 2α cos 4α ... cos 2 n α = n +1 2 sin α 组二

的解集: ③ cot x = a 的解集: {x | x = kπ + arc cot a, k ∈ Z }
sin 3α = 3 sin α ? 4 sin 3 α cos 3α = 4 cos 3 α ? 3 cos α

sin 2 α ? sin 2 β = sin (α + β ) sin (α ? β ) = cos 2 β ? cos 2 α

∏ cos 2
k =1

n

α
k

= cos

α
2

cos

α
4

cos

α
8

L cos

α
2
n

=

sin α 2 n sin

α

2n

∑ cos( x + kd ) = cos x + cos( x + d ) + L + cos( x + nd ) =
k =0

n

sin((n + 1)d ) cos( x + nd ) sin d

∑ sin( x + kd ) = sin x + sin( x + d ) + L + sin( x + nd ) =
k =0

n

sin((n + 1)d ) sin( x + nd ) sin d

tan(α + β + γ ) =

tan α + tan β + tan γ ? tan α tan β tan γ 1 ? tan α tan β ? tan β tan γ ? tan γ tan α

组三 三角函数不等式
sin x < x < tan x, x ∈ (0,

π
2

)

f ( x) =

sin x 在 (0, π ) 上是减函数 x

若 A + B + C = π ,则 x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 yz cos A + 2 xz cos B + 2 xy cos C

第一章《三角函数》单元测试一 高一数学必修 4 第一章《三角函数》单元测试一
时间: 分钟) (满分:100 分 时间:90 分钟) 满分:100 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 选择题: 本大题共 小题, 1.化简 1 ? sin 160° 的结果是(
2

) C. ± cos160° D. ± cos160°

A. cos160°

B. ? cos160°

2.与-463°终边相同的角可表示为( A.k·360°+436°(k∈Z) C.k·360°+257°(k∈Z) 3.函数 y = 2 sin( x +

) B.k·360°+103°(k∈Z) D.k·360°-257°(k∈Z) )

1 2

π
4

) 的周期,振幅,初相分别是(

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,2, B. 4π ,?2,? C. 4π ,2, D. 2π ,2, 4 4 4 4 4 4.若 α、β 的终边关于 y 轴对称,则下列等式正确的是( ) A.sinα=sinβ B.cosα=cosβ C.tanα=tanβ D.tanα·tanβ=1
A. 5.函数 y = cos(2 x + A. x = ?

π

π

π

π

π

π
2

) 的图象的一条对称轴方程是(

) D. x = π )

π
2

B. x = ?

π
4

C. x =

π
8

6 要得到函数 y=sin(2xA.向左平行移动 C.向右平行移动

π
3

)的图象,只要将函数 y=sin2x 的图象( B.向左平行移动 D.向右平行移动

π π
3 3

个单位 个单位

π π
6 6

个单位 个单位 ) D.第四象限 )

7.若 cos θ > 0 ,且 sin 2θ < 0 ,则角 θ 的终边所在象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

上为增函数, 且以 π 为最小正周期的偶函数是 ( 8. 在下列四个函数中, 在区间 0, ) (

π

2

A.y=tanx

B.y=sin|x|

C.y=cos2x

D.y=|sinx|

9.已知 f ( x ) = a sin(π x + α ) + b cos(π x + β ) + 4 ( a, b, α , β 为非零实数) f (2007) = 5 , 则 f (2008) = ( )

A.1 B.3 C.5 D.不能确定 10. 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图 3 所示, 则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)的值等于( ) A.2 B. 2 +

2

C. 2 + 2 2

D. ? 2 ? 2 2 )

11.函数 y = ? cos(

x π ? ) 的单调递增区间是( 2 3

4 2 ? ? A. ?2kπ ? π ,2kπ + π ? (k ∈ Z ) 3 3 ? ? 2 8 ? ? C. ?2kπ + π ,2kπ + π ? (k ∈ Z ) 3 3 ? ?
12.与函数 y =

4 2 ? ? B. ?4kπ ? π ,4kπ + π ? (k ∈ Z ) 3 3 ? ?
D. ?4kπ + π ,4kπ + π ? ( k ∈ Z ) 3 3 ? ?

?

2

8 ?

1 定义域相同的一个函数是( sin x



A. y = sin x
C. y = lg(tanx )

B. y = 1 ? cos 2 x
D. y = lg (sin x )

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(本大题共 小题, 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 填空题: ( 13.设扇形的半径长为 8cm ,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是 14.设 f (x ) 是以 4 为周期的偶函数,且当 x ∈ [0,2] 时, f ( x ) = x ,则 f (7.6) = 15.函数 y = cos x ? 2 sin x 的值域是
2
2

16.给出下列命题: ① 存在实数 α ,使 sin α ? cos α = 1 ②函数 y = sin( π + x ) 是偶函数 ③ x=

π
8

3 2

是函数 y = sin( 2 x +

5 π ) 的一条对称轴方程 4

④若 α、β 是第一象限的角,且 α > β ,则 sin α > sin β 其中正确命题的序号是_______________ 解答题: (本大题分 小题共 三、解答题: 本大题分 5 小题共 36 分) ( 17. (本题 7 分)已知 sin x + cos x = ? (0 < x < π ) ,求 tan x 的值

1 5

+ α ) sin(?π ? α ) 2 18. (本题 7 分)已知角 α 终边上一点 P ( ?4a,3a ), a ≠ 0 ,求 的 11π 9π cos( ? α ) sin( +α) 2 2
cos(


π

19. (本题 7 分)已知函数 y = a ? b cos ? 2x + (1)求 a, b 的值;

? ?

3 1 π? ? (b > 0) 的最大值为 ,最小值为 ? . 2 2 6?

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(2)求函数 g ( x ) = ?4a sin(bx ?

π
3

) 的最小值并求出对应 x 的集合.

20.(本题 7 分)函数 y = sin(ωx + ? )(ω > 0, ? < 最大值 1,当 x =

π
2

) 在同一个周期内,当 x =

π
4

时y取

7π 时, y 取最小值 ? 1 。 12

(1)求函数的解析式 y = f (x ). (2)函数 y = sin x 的图象经过怎样的变换可得到 y = f (x ) 的图象?

21.本题 8 分) ( 如图,某大风车的半径为 2 米,每 12 秒沿逆时针方向旋转一周,它的最底点 O 离地面 1 米,风车圆周上一点 A 从最底点 O 开始,运动 t 秒后与地面距离为 h 米, (1)求函数 h=f(t)的关系式, 并在给出的方格纸上用五点作图法作出 h=f(t)在一个周期内 的图象(要列表,描点); (2) A 从最底点 O 开始, 沿逆时针方向旋转第一周内,有多长时间离地面的高度超过 4 米?

C A

O

高三数学总复习—三角函数

参考答案: 参考答案:
一、选择题:BCCABD 选择题: DDBCDD 14. 0.4 15. [? 2,2] 16. ②③

1 填空题: 二、填空题:13. 8
三、解答题: 解答题:

17.解:∵ sin x + cos x = ? (0 < x < π ) 故 cos x < 0 17. 两边平方得, 2 sin x cos x = ?
2

1 5

24 25 49 25

∴ (sin x ? cos x ) = 1 ? 2 sin x cos x = 而 sin x ? cos x > 0 ∴ sin x ? cos x =

7 1 3 4 与 sin x + cos x = ? 联立解得 sin x = , cos x = ? 5 5 5 5 sin x 3 ∴ tan x = =? cos x 4
高三数学总复习—三角函数

18.解:∵ tan α = 18.

+ α ) sin(?π ? α ) ? sin α ? sin α 3 2 ∴ = = tan α = ? 11π 9π 4 ? sin α ? cos α cos( ? α ) sin( +α) 2 2 3 ? ? y max = b + a = 2 π? ? 19. 解:⑴ cos? 2 x + ? ∈ [? 1,1] Q b > 0 ∴ ?b < 0 , ? ; 1 6? ? ? y min = ?b + a = ? 2 ? 1 ∴a = ,b = 1 2 cos(
⑵由⑴知: g ( x ) = ?2 sin ? x ?

π

y 3 =? x 4

? ?

π?
? 3?

π? ? ∴ sin ? x ? ? ∈ [? 1,1] ∴ g ( x ) ∈ [? 2,2]∴ g ( x ) 的最小值为 ? 2 3? ?
对应 x 的集合为 ? x | x = 2kπ +

? ?

5 ? π,k ∈ Z? 6 ?

20. 解:(1)

Q



ω ∴ω = 3

= 2× (

7π π ? ) 12 4

又因 sin( π + ? ) = 1,∴

3 4

3π π + ? = 2kπ + , 4 2

又Q ? <

π
2

,∴ ? = ?

π
4

,

∴ 函数 f ( x) = sin(3 x ?

π
4

)

(2) y = sin x 的图象向右平移

π
4

个单位得 y = sin( x ?

π
4

) 的图象 1 .纵坐标不变,得到 3

再 由 y = cos( x ?

π
4

) 图象上所有点的横坐标变为原来的

y = sin(3 x ?

π
4

) 的图象.

21.(1) h = 3 ? 2 cos 21.

π
6

t

图象(略)

高三数学总复习—三角函数

(2)令 h ≥ 4, (0 ≤ t ≤ 12) 得 4 ≤ t ≤ 8 ,故有 4 秒钟时间离地面高度超过 4 米

高一数学三角函数测试题二
(本试卷共 20 道题,总分 150
1.下列转化结果错误的是

时间 120 分钟)
( )

一、选择题(本题有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)
3 o A. 67 30′ 化成弧度是 π rad 8 7 o C. ? 150 化成弧度是 π rad 6
2.已知 α 是第二象限角,那么 A.第一象限角 C. 第二或第四象限角 3.已知 sin θ < 0, tan θ > 0 ,则 1 ? sin A. cos θ B. ? cos θ

10 B. ? π 化成度是-600 度 3
D.

π

12

化成度是 15 度

α
2

是 B. 第二象限角 D.第一或第三象限角





2

θ 化简的结果为

( D. 以上都不对



C. ± cos θ

4.函数 y = cos(2 x + A. x = ?

π
2

) 的图象的一条对称轴方程是

( D. x = π



π
2

B. x = ?

π
4

C. x =

π
8

5.已知 x ∈ (? A.

π

7 24

3 ,0) , sin x = ? ,则 tan2x= 2 5 7 24 B. ? C. 24 7

( D. ?

)

24 7
( )

6.已知 tan(α + β ) =

1 π 1 π , tan(α ? ) = ? ,则 tan( β + ) 的值为 2 4 3 4
C.

A. 2

B. 1

2 2

D. 2

7.函数 f ( x ) = A.1

cos x + sin x 的最小正周期为 cos x ? sin x
B.

( D.



π

2

C. 2π

π

高三数学总复习—三角函数

8.函数 y = ? cos( A. ?2kπ ?

x π ? ) 的单调递增区间是 2 3
B. ?4kπ ? π ,4kπ + π ? ( k ∈ Z ) 3 3 ? ?





? ?

4 2 ? π ,2kπ + π ? (k ∈ Z ) 3 3 ? 2 8 ? π ,2kπ + π ? (k ∈ Z ) 3 3 ?

?

4

2 ?

C. ?2kπ +

? ?

D. ?4kπ + π ,4kπ + π ? ( k ∈ Z ) 3 3 ? ?

?

2

8 ?

9.函数 y =

3 sin x + cos x , x ∈ [?
B. 2

π π

, ] 的最大值为 2 2
C.





A.1

3

D.

3 2

10.若 α、β 均为锐角,且 2 sin α = sin(α + β ) ,则 α与β 的大小关系为 A. α < β B. α > β C. α ≤ β D. 不确定





二、填空题(本题有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
11.把函数 y = sin( 2 x +

π
3

) 先向右平移

π
2

个单位,然后向下平移 2 个单位后所得的函数解

析式为________________________________ 12.已知 tan(α +

π
4

) = 2 ,则 1 + 3 sin α ? cos α ? 2 cos 2 α =_______________

13.函数 y = 2 sin 3 x (

π
6

≤x≤

5π ) 与函数 y=2 的图像围成一个封闭图形,这个封闭图形的 6

面积是_________________________

14.给出下列命题: ①存在实数 α ,使 sin α ? cos α = 1
高三数学总复习—三角函数

②存在实数 α ,使 sin α + cos α = ③函数 y = sin( π + x ) 是偶函数 ④x =

3 2

π
8

3 2

是函数 y = sin( 2 x +

5 π ) 的一条对称轴方程 4

⑤若 α、β 是第象限的角,且 α > β ,则 sin α > sin β ⑥若 α、β ∈ (

π
2

, π ) ,且 tan α < cot β ,则 α + β <

3π 2

其中正确命题的序号是________________________________

三、解答题 + α ) sin(?π ? α ) 2 15.(12 分)已知角 α 终边上一点 P(-4,3) ,求 的值 11π 9π cos( ? α ) sin( +α) 2 2 cos(

π

16. (14 分)已知函数 y = sin

1 1 x + 3 cos x ,求: 2 2

(1)函数 y 的最大值,最小值及最小正周期; (2)函数 y 的单调递增区间

17. (14 分)求证:

sin(2α + β ) sin β ? 2 cos(α + β ) = sin α sin α

高三数学总复习—三角函数

18. (14 分)已知 sin x + cos x = ? (0 < x < π ) ,求 tan x 的值

1 5

19. (12 分) 已知 tan α、 β 是方程 x + 3 3 x + 4 = 0 的两根,且 α、β ∈ ( ? tan
2

π π

, ), 2 2

求 α + β 的值

20. (14 分)如下图为函数 y = A sin(ωx + ? ) + c ( A > 0, ω > 0, ? > 0) 图像的一部分

(1)求此函数的周期及最大值和最小值 (2)求与这个函数图像关于直线 x = 2 对称的函数解析式

高三数学总复习—三角函数

高一数学三角函数测试题参考答案
1.选(C) 2.选(D) 3.选(B) 4.选(B) 5.选(D) 6.选(B) 7.选(D) 8.选(D) 9.选(B) 10.选(A) 11.答案: y = sin( 2 x ? 12.答案:

2π )?2 3

1 10 4π 13.答案: 3

14.答案:③④⑥ 15. 【解】∵ tan α =

+ α ) sin(?π ? α ) ? sin α ? sin α 3 2 = = tan α = ? ∴ 11π 9π ? sin α ? cos α 4 cos( ? α ) sin( +α) 2 2 cos(
16. 【解】∵ y = 2 sin( x +

π

y 3 =? x 4

1 2

π
3

) 2π

(1)∴ 函数 y 的最大值为 2,最小值为-2,最小正周期 T = (2)由 2kπ ?

π
2



1 π π x + ≤ 2kπ + , k ∈ Z ,得 2 3 2
? ? 5π π? ,4kπ + ?, k ∈ Z 3 3?

ω

= 4π

函数 y 的单调递增区间为: ?4kπ ?

17. 【证明】∵

sin( 2α + β ) sin β sin(2α + β ) + sin β ? = sin α sin α sin α 2 cos(α + β ) sin α = = 2 cos(α + β ) sin α

高三数学总复习—三角函数

sin(2α + β ) sin β ? 2 cos(α + β ) = sin α sin α 1 18. 【解】∵ sin x + cos x = ? (0 < x < π ) 故 cos x < 0 5 24 两边平方得, 2 sin x cos x = ? 25 49 2 ∴ (sin x ? cos x ) = 1 ? 2 sin x cos x = 25 而 sin x ? cos x > 0 7 1 ∴ sin x ? cos x = 与 sin x + cos x = ? 联立解得 5 5 3 4 sin x = , cos x = ? 5 5 sin x 3 =? ∴ tan x = cos x 4
∴ 19. 【解】∵ tan α、 β 是方程 x + 3 3 x + 4 = 0 的两根, tan
2

∴ tan α + tan β = ?3 3 , tan α ? tan β = 4 ,从而可知 α、β ∈ ( ? 故 α + β ∈ ( ?π ,0) 又 tan(α + β ) =

π
2

,0 )

tan α + tan β = 3 1 ? tan α ? tan β



α +β =?

2π 3

20.解】1) 【 ( 由图可知, 4~12 的的图像是函数 y = A sin(ωx + ? ) + c ( A > 0, ω > 0, ? > 0) 从 的三分之二个周期的图像,所以

1 ( 4 + 2) = 3 2 ,故函数的最大值为 3,最小值为-3 1 c = ( 4 ? 2) = 1 2 A=
∵ ∴

2 2π ? =8 3 ω

ω=

π

∴ T = 12 把 x=12,y=4 代入上式,得 ? =

6

π
2

高三数学总复习—三角函数

所以,函数的解析式为: y = 3 cos

π
6

x +1

(2)设所求函数的图像上任一点(x,y)关于直线 x = 2 的对称点为( x ′, y ′ ) ,则

x ′ = 4 ? x, y ′ = y 代入 y = 3 cos y = 3 cos( 2π πx ? ) +1 3 6

π
6

x + 1 中得

∴ 与函数 y = 3 cos

π

y = 3 cos(

2π πx ? ) +1 3 6

6

x + 1 的图像关于直线 x = 2 对称的函数解析式为:

高三数学总复习—三角函数


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