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高中数学选修4-5 教案一 不等式(2)——基本不等式

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基本不等式 目的要求: 复习与掌握基本不等式及其运用。 重点难点: 利用基本不等式的运用技巧。 教学设计: 一、引入: 我们已经学习过重要不等式 二、定理 1 让学生自己给出证明. 探究: 你能从几何的角度解释定理 1 吗? 分析:a? 与 b? 的几何意义是正方形面积,ab 的几何意义是矩形面积,可考虑从图形 的面积角度解释定理。 几何意义:如图把实数 a,b 作为线段 长度,以 a≥b 为例,在正方形 ABCD 中, AB=a;在正方形 CEFG 中,EF=b.则 S 正方形 ABCD+S 正方形 CEFG=a? +b?. S矩形BCGH ? S矩形CEFG ? 2ab,其值等 B J a a b b a? +b? ≥2ab,下面将它以定理的形式给出. 如果 a, b∈R, 那么 a? +b? ≥2ab.当且仅当 a=b 时等号成立。 A H I K D G F C b E 于图中有阴影部分的面积,它不大于 形成为正方形,此时有 a?+b?=2ab。 正方形 ABCD 与正方形 CEFG 的面积和。即 a?+b?≥2ab.当且仅当 a=b 时,两个矩 三、定理 2:将定理 1 做简单变形即可得到定理 2,如下: 如果 a,b>0,那么 证明:因为 所以 a?b ? ab ,当且仅当 a=b 时,等号成立. 2 a?b ? ? a? ? ? b? 2 2 ? 2 a b ? 2 ab a?b ? ab , 2 上式当且仅当 a ? b ,即 a=b 时,等号成立。 其中 a?b 为 a,b 的算术平均, ab a,b 的几何平均,于是基本不等式可以表述为: 2 C 两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 A O D B 几何意义为: 如图在直角三角形中,CO、CD 分别是斜边上的中线和高,设 AD=a,DB=b,则由 图形可得到基本不等式的几何解释。 四、.教学例题 例3 求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方形的面积最大;(2)在所有 面积相同的矩形中,正方形的周长最短。 结论:已知 x, y 都是正数。(1)如果积 xy 是定值 p,那么当 x=y 时,和 x+y 有最 1 小值 2 p ;(2)如果和 x+y 是定值 s,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值 S 2 4 例4 某居民小区要建一座八边形的休闲场所, 它的主体造型平面图(右图)是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积为 200 平方米的十字型 地域,计划在正方形 MNPQ 上建一座花坛,造价为 每平方米 4200 元,在四个相同的矩形上(图中阴影 部分)铺花岗岩地坪,造价为每平方米 210 元,再 在四个空角(图中四个直角三角形)上铺上草坪, 造价为每平方米 80 元。 (1)设总造价为 S 元,AD 长为 x 米,试建立 S 关于 x 的函数关系式。 (2)当 x 为何值时 S 最小,并求出这个最小值。 五、小结:理解并熟练掌握基本不等式及其应用,特别要注意利用基本不等式求最 值时, 一定要满足“一正二定三相等”的条件。 .六、课后作业 第三课时 三个正数的算术—几何平均不等式 目的要求: 了解三个正数的算术—几何平均不等式及其一般形式. 重点难点:三个正数的算术—几何平均不等式及其应用。 教学设计: 一、 引入: 思考:类比基本不等式的形式,猜想对于 3 个正数 a,b,c,可能有怎样的不等式 成立? 类比基本不等式的形式,猜想对于 3 个正数 a,b,c,可能有:若 a?b?c 3 ? abc ,当且仅当 a=b=c 时,等号成立. 3 a, b, c ? R? ,那么 二、给出定理 证明: 若a, b, c ? R? , 则a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc,当且仅当a ? b ? c时, 等号成立 . 和的立方公式:( x ? y) 3 ? x 3 ? 3x 2 y ? 3xy 2 ? y 3 立方和公式: x 3 ? y 3 ? ( x ? y)(x 2 ? xy ? y 2 ) a?b?c 3 ? abc 当且仅当 a=b=c 时,等号成立. 定理 如果 a, b, c ? R? ,那么 3 (三个正数的算术平均不小于它们的几何平均) 说明:(1)若三个正数的积是一个常数,那么当且仅当这三个正数相等时,它 们的和有最小值. (2)若三个正数的和是一个常数,那么当且仅当这三个正数相等时,它们的积有 最大值. 定理推广:n 个正数的算术—几何平均不等式: 若a 1 , a 2 , a 3 ,?, a n ? R? , 则 a 1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n n ? a 1 a 2 a 3 ?an , n 当且仅当a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n时, 等号成立. 三、教学实例 ( 1 )出示例5 已知x, y, z ? R? , 求证?x ? y ? z ? ? 27xyz. x? y?z 3 证明 因为 ? xyz ? 0, 3 3 ?x ? y ? z ? ? xyz,即?x ? y ? z ?3 ? 27xyz. 所以 27 (三个正数的算术—几何平均不等式的一个简单变形,主要是这种变形的意识很重 3 要). (2)出示例 6 如下图,把一块边长 是a 小正 的正方形铁片的各角切去大小相同的 方形,再把它的边沿着虚线折转成一 盖方底的盒子,问切去的正方形边长是 时,才能使盒子的容积最大? 解:设切去的正方形边长为 x,无盖方底盒子的容积为 V,则 a 个无 多少 V ? (a ? 2x) 2 x ? 当且仅当 3 3 1 (a ? 2 x)( a ? 2 x) ? 4 x ? 1 ? (a ? 2 x) ? (a ? 2 x) ? 4 x ? ? 2a 4 ? 4? 3 27 ? ? a ? 2x ? a ? 2x ? 4x ,即当 x ? a 时,不等式取等号,此时V取

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