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2015-2016学年高中数学 第1章 1.1第2课时 瞬时变化率与导数课件 新人教B版选修2-2

时间:2015-12-29


第一章
导数及其应用

第一章 1.1 导 数

第2课时 瞬时变化率与导数

1

课前自主预习

2

课堂典例探究

3

课 时 作 业

课前自主预习

中国高速铁路,常被简称为“中国高铁”.中国是世界上
高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运营里程 最长、运营速度最快、在建规模最大的国家.同学们,高速列

车,风驰电掣,呼啸而过,怎样确定它的瞬时速度?怎样研究
它的速度与路程的关系呢?

1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx是否可 以为任意实数?Δy呢? 2.对于函数f(x),若x1≠x2,平均变化率能否表示为 f?x1?-f?x2? ? x1-x2

答案:1.在平均变化率的定义中,增量Δx可正、可负,但 不能等于0;而Δy可以为任意实数. f?x2?-f?x1? 2.能.若从x1变为x2,平均变化率为 , x2-x1 f?x1?-f?x2? 若从x2变为x1,平均变化率为 , x1-x2 f?x2?-f?x1? f?x1?-f?x2? 而 = . x2-x1 x1-x2

一、瞬时速度 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的,物体 在某一时刻的速度叫瞬时速度. 设物体运动路程与时间的关系是s=f(t),当Δt趋近于0时, 函数f(t)在t0到t0+Δt这段时间内的平均变化率 Δs Δt =

f?t0+Δt?-f?t0? 趋近于常数,我们把这个常数称为t0时刻的瞬时 Δt 速度.

对瞬时速度的理解要注意以下两点: Δs (1)在平均变化率 中,Δt趋于0是指时间间隔Δt越来越 Δt 短,能越过任意小的时间间隔,但始终不能为0. Δs (2)Δt,Δs在变化中都趋于0,其比值 趋近于一个确定的 Δt 常数,这时此常数才称为t0时刻的瞬时速度.

以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体,t秒时的高度为s(t)= 1 2 v0t- gt ,则物体在t0时刻的瞬时速度为________. 2
[答案] v0-gt0

1 1 2 2 [解析] 因为Δs=v0(t0+Δt)- g(t0+Δt) -(v0t0- gt0) 2 2 1 =(v0-gt0)Δt- g(Δt)2, 2 Δs 1 所以 =v0-gt0- gΔt, Δt 2 Δs 所以当Δt无限趋近于0时, 无限趋近于v0-gt0, Δt 故物体在时刻t0的瞬时速度为v0-gt0.

二、瞬时变化率与导数 设函数y=f(x)在x0附近有定义,当自变量在x=x0附近的改 变量为Δx时,函数值相应地改变Δy=f(x0+Δx)-f(x0). Δy f?x0+Δx?-f?x0? 如果当Δx趋近于0时,平均变化率 = 趋 Δx Δx 近于一个常数l,那么常数l称为函数f(x)在点x0处的瞬时变化 f?x0+Δx?-f?x0? 率.当Δx趋近于0时, 趋近于常数l,可以用符 Δx 号“→”(读作“趋近于”)记作:

f?x0+Δx?-f?x0? 当Δx→0时, →l.上述过程通常也记作 Δx

lim Δ x→0

f?x0+Δx?-f?x0? =l.函数在点x0处的瞬时变化率通常称为f(x)在x Δx =x0处的导数,这时,记作f′(x0),即f′(x0)= f?x0+Δx?-f?x0? ,也可记作y′|x=x0. Δx lim Δ x→0

对导数的理解应注意以下几点: (1)导数是研究函数在点x0处及其附近函数值的改变量Δy与 自变量的改变量Δx之比的极限,它是一个局部性概念,若 Δ lim x→0 Δy 存在,则函数y=f(x)在x0处有导数,否则就没有导数. Δx 并不是任何一个函数在定义域中的某点处均有导数.

例如f(x)=|x|在x=0处不存在导数. Δx>0, ?1, Δy f?0+Δx?-f?x0? |Δx| ? 因为 = = =? 所以当 Δx Δx Δx ? ?-1, Δx<0, Δy Δx→0时, 的极限不存在,从而在x=0处的导数不存在. Δx (2)若函数y=f(x)在x=x0处有导数,则Δx→0时,存在一个 f?x0+Δx?-f?x0? 常数与 无限地接近. Δx

如果某物体作运动方程为s=2(1-t2)的直线运动(s的单位
为m,t的单位为s),那么其在1.2s末的瞬时速度为( A.-4.8m/s C.0.88m/s [答案] A B.-0.8m/s D.4.8m/s )

2[1-?1.2+Δt?2]-2?1-1.22? Δs [解析] v=Δ lim =Δ lim t→0 Δt t→0 Δt =Δ lim (-4.8-2Δt)=-4.8(m/s). t→0

三、导函数 1.如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的,则称f(x) 在区间(a,b)可导.这样,对开区间(a,b)内每个值x,都对应 一个确定的导数f′(x).于是,在区间(a,b)内,f′(x)构成一 个新的函数,这个函数称为y=f(x)的导函数,记为f′(x)或 y′(或y′x).导函数通常简称为导数.

注意:“函数f(x)在某一点处的导数”“导函数”“导
数”的区别与联系: (1)“函数在某一点处的导数”:就是在该点的函数值的改 变量与自变量的改变量的比的极限有,它是一个常数,不是变 数.

(2)导函数也简称导数,“f(x)在一点x0处的导数”与“导
函数”是个别与一般的关系. (3)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x=x0处

的函数值.f′(x0)=f′(x)|x=x0,所以求函数在某一点处的导数,
一般是先求出函数的导函数,再计算这点的导函数值.

2.求导数的步骤:由导数的定义知,求函数y=f(x)在点 x0处的导数的步骤: (1)求函数值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? (2)求平均变化率 = ; Δx Δx (3)取极限,得导数f′(x0)= Δ lim x→0 Δy Δy (或当Δx→0时, Δx Δx

→f′(x0)).上述求导方法可简记为:一差、二化、三极限.

已知函数y=ax2+bx+c,求y′及y′|x=2.

[解析] ∵Δy=a(x+Δx)2+b(x+Δx)+c-(ax2+bx+c)=
2 2 ax Δ x + a ? Δ x ? +bΔx Δ y 2 2axΔx+a(Δx) +bΔx,∴ = =2ax+b+ Δx Δx

aΔx, Δy y′= Δ lim =Δ lim (2ax+b+aΔx)=2ax+b,y′|x=2=4a x→0 Δx x→0 +b.

课堂典例探究

求物体运动的瞬时速度

子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动,如 果它的加速度是a=5×105m/s2,子弹从枪口射出的所用的时 间为t0=1.6×10-3s.求子弹射出枪口时的瞬时速度.

[分析] 解决此题的关键是写出运动方程,求出物体的平 Δs 均速度 ,然后取极限. Δt

1 2 [解析] 运动方程为s= at . 2 1 1 2 1 2 ∵Δs= a(t0+Δt) - at0=at0Δt+ a(Δt)2, 2 2 2 Δs 1 ∴ =at0+ aΔt. Δt 2 Δs ∴Δ lim =at0. t→0 Δt 由题意知a=5×105m/s2,t0=1.6×10-3s, 故at0=8×102=800(m/s), 即子弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.

[方法总结] 求物体运动的瞬时速度的步骤. (1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量 Δs=s(t0+Δt)-s(t0). Δs - (2)求时间t0到t0+Δt之间的平均速度 v = . Δt Δs (3)求Δ lim 的值,即得t=t0时的瞬时速度. x→0 Δt

以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体,t秒时的高度为s(t)= 1 2 v0t- gt ,求物体在时刻t0=1时的瞬时速度. 2 ? ? ? 1 1 2? ? 2? ? [解析] ∵Δs= ?v0?t0+Δt?-2g?t0+Δt? ? - ?v0t0-2gt0? ? =(v0 ? ? ? ?
1 Δs 1 Δs 2 -gt0)Δt- g(Δt) ,∴ =v0-gt0- gΔt,当Δt→0时, →v0 2 Δt 2 Δt -gt0.故物体在时刻t0=1时的瞬时速度为v0-g. ∴t0=1时,物体的瞬时速度为v0-g.

求函数在某点处的导数 求函数f(x)=x2在x=1处的导数. [分析] 可利用导数的定义和导函数的函数值法两种方法

来解.

[解析] 方法一:Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2-1=2Δx +(Δx)2. 2Δx+?Δx?2 Δy ∴f′(1)=Δ lim =Δ lim =Δ lim (2+Δx)=2. x→0 Δx x→0 x→0 Δx 即f(x)=x2在x=1处的导数f′(1)=2.

方法二:Δy=f(x+Δx)-f(x) =(x+Δx)2-x2=2Δx· x+(Δx)2. x+?Δx? Δy 2Δx· = =2x+Δx. Δx Δx Δy ∴f′(x)=Δ lim =Δ lim (2x+Δx)=2x. x→0 Δx x→0 ∴f′(1)=2. 即f(x)=x2在x=1处的导数f′(1)=2.
2

[方法总结] 求函数在某一点处的导数的思路: Δy (1)直接利用导数定义,但要注意对式子 的变形和约 Δx Δy 分,变形不彻底可能导致Δ lim 不存在,得出错误结论. x→0 Δx (2)先求出导函数,再计算该点处的导数值.

1 用导数的定义,求函数y=f(x)= 在x=1处的导数. x
1 [解析] 因为Δy=f(1+Δx)-f(1)= -1 1+Δx 1- 1+Δx 1-1-Δx = = 1+Δx ?1+ 1+Δx? 1+Δx -Δx = , ?1+ 1+Δx? 1+Δx Δy 1 Δy 1 所以 =- .f′(1)=Δ lim =- . →0 Δx x Δx 2 ?1+ 1+Δx? 1+Δx

导数概念的应用

设函数f(x)在点x0处可导,试求下列各式的值. f?x0-Δx?-f?x0? (1)lim ; Δx→0 Δx f?x0+h?-f?x0-h? (2)lim . h→0 2h

[分析] 在导数的定义中,增量Δx的形式是多种多样的, 但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择相对应的形式.利用 函数f(x)在点x0处可导的条件,可以将已给定的式子恒等变形 转化为导数定义的结构形式.

f?x0-Δx?-f?x0? [解析] (1)原式=Δ lim x→0 -?-Δx? f?x0-Δx?-f?x0? =--lim (Δx→0时 ,-Δx→0) Δx→0 -Δx =-f′(x0).

f?x0+h?-f?x0?+f?x0?-f?x0-h? (2)原式=lim h→0 2h f?x0+h?-f?x0? f?x0-h?-f?x0?? 1? ? ? + lim = ?lim ? h→0 h 2? h→0 -h ?
? f ? x - h ? - f ? x ? 1? 0 0 ? f ′ ? x ? + lim = ? 0 ? -h→0 2? -h ? ?

1 = [f′(x0)+f′(x0)]=f′(x0). 2

[方法总结] 概念是分析解决问题的重要依据,只有熟练 掌握概念的本质属性,把握其内涵与外延,才能灵活地应用概 念进行解题.不能准确分析和把握所给极限式与导数的关系, 盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因,解决这类问题 的关键就是恒等变形,使问题转化.

设函数f(x)在x0处可导,求下列各式的值. f?x0+2Δx?-f?x0? (1)lim ; Δx→0 Δx f?x0-mΔx?-f?x0? (2)lim ; Δx→0 Δx
? Δx? ? f?x0+ t ? ?-f?x0? ? ?

(3)lim Δx→0

Δx

.

f?x0+2Δx?-f?x0? [解析] (1)lim Δx→0 Δx f?x0+2Δx?-f?x0? =2lim Δx→0 2Δx =2f′(x0). f?x0-mΔx?-f?x0? (2)lim Δx→0 Δx f?x0-mΔx?-f?x0? =-mΔ lim =-mf′(x0). x→0 -mΔx

(3)lim Δx→0 1 = Δ lim t x→0

? Δx? ? f?x0+ t ? ?-f?x0? ? ?

Δx
? Δx? ? f?x0+ t ? ?-f?x0? ? ?

1 Δx t

1 = f′(x0). t

求函数f(x)= 2x+1的导数.

[错解] f′(x)= Δ lim x→0 于0,所以此函数无导数.

2?x+Δx?+1- 2x+1 ,分母趋近 Δx

[辨析] 求导数要与代数式的变形结合起来,利用分子有 理化的方法,最终约去分子上的根号.

[正解] f′(x)=Δ lim x→0

2?x+Δx?+1- 2x+1 Δx

2?x+Δx?+1-2x-1 =Δ lim x→0 Δx? 2?Δx+x?+1+ 2x+1? =Δ lim x→0 2 2?x+Δx?+1+ 2x+1

1 = . 2x+1

?瞬时速度 ? 导数的概念?f?x?在点x0处导数?即瞬时变化率? ?导函数 ?


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