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2012高一数学 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2

时间:2012-04-12


2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1.给出下列四个命题,其中正确的是( B ) ①在空间若两条直线不相交,则它们一定平行; ②平行于同一条直线的两条直线平行; ③一条直线和两条平行直线的一条相交,那么它也和另一 条相交; ④空间四条直线 a、b、c、d,如果 a∥b,c∥d,且 a∥d, 那么 b∥c. A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③ 解析:①错,可以异面.②正确,公理 4.③错误,和另一 条可以异面.④正确,由平行直线的传递性可知.

2.空间两条互相平行的直线指的是( D ) A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线. D.在同一平面内且没有公共点的两条直线 3.若 a 和 b 是异面直线,b 和 c 是异面直线,则( D ) A.a∥c B.a 和 c 是异面直线 C.a 和 c 相交 D.a 和 c 或平行或相交或异面

4.一条直线和两条异面直线中的一条相交,则它与另一条 的位置关系是( D ) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或相交或异面

重点

两直线的位置关系及公理 4

1.空间两条直线的位置关系:

? ?相交直线:同一平面内,有且只有一个公 ? ? ?共面直线? 共点 ? ?平行直线:同一平面内,没有公共点 ? ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点 ?
2.公理 4:平行同一条直线的两条直线互相平行,它反映 了空间中的平行线也具有传递性. 3.等角定理:空间中如果两个角的两边分别平行,那么这 两个角相等或互补.

难点

两异面直线所成的角

已知两条异面直线 a、b,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a, b′∥b,把 a′、b′所成的锐角(或直角)叫异面直线 a、b 所成 的角(或夹角).a′、b′所成的角的大小与点 O 的选择无关, 为了简便,点 O 通常取在异面直线的一条上;异面直线所成的 角的范围为(0,90°],如果两条异面直线所成的角是直角,则叫 两条异面直线垂直,记作 a⊥b.求两条异面直线所成角的步骤可 以归纳为四步:选点→平移→定角→计算. 特别注意:如果已知条件中有中点,应首先考虑三角形的 中位线.

判断空间两直线的位置关系 例 1:下列说法正确的有( )

①平行于同一直线的两条直线平行; ②垂直于同一直线的两条直线平行; ③过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行; ④与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

思维突破:①③正确.②④在平面内成立,在空间中不成 立,如图 1 中,A1A⊥AD,AB⊥AD,但 A1A∩AB=A,故②不 正确;④在空间中有无数条.

图 1 答案:B 判断空间两直线的位置关系需紧扣概念, 结合平移的思想,发挥空间想象力,借助长方体等几何模型, 得出正确答案.

1-1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1、AB 的中点,试判断下列各对线段所在直线的位置关系: 异面 平行 (1)AB 与 CC1 _______;(2)A1B1 与 DC _____; 相交 异面 (3)A1C 与 D1B _____;(4)DC 与 BD1 ________; 相交 (5)D1E 与 CF _____. 1-2.一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一 条的位置关系是( D ) A.平行 C.异面 B.相交 D.相交或异面

平行公理的应用 例 2:空间四边形 ABCD 中,P、Q、R、H 分别是 AB、BC、 CD、DA 的中点. (1)求证:四边形 PQRH 是平行四边形; (2)若 AC=BD,则四边形 PQRH 是什么四边形? (3)若 AC⊥BD,则四边形 PQRH 是什么四边形? (4)空间四边形 ABCD 满足什么条件时,PQRH 是正方形?

解:(1)在△ABD 中,P、H 分别为 AB、AD 的中点, 即 PH 为中位线. 1 ? ∴PH綊2BD ?

? ??PH 綊 QR. 1 同理QR綊2BD? ? ?

∴ 四边形 PQRH 为平行四边形. (2)在△ABC 中,P、Q 为 AB、BC 中点, 1 ∴PQ 綊2AC,

1 又 PH 綊2BD,AC=BD,

∴PH=PQ. ∴平行四边形 PQRH 为菱形. (3)∵AC⊥BD,∴异面直线 AC 与 BD 所成角为直角. ∵PH∥BD,PQ∥AC, ∴∠HPQ 为 AC 与 BD 所成的角. ∴∠HPQ=90°,即四边形 PQRH 为矩形. (4)由(2)、(3)的证明可知,当 AC=BD 且 AC⊥BD 时,四边 形 PQRH 为正方形.

2-1.如图 2,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,E、F、G、H 分别为 AB、AD、C1B1、C1D1 的中点,试判断下列直线是否平行. (1)AD1 与 BC1;(2)EF 与 GH;(3)DE 与 HB1. 解:(1)平行.

∴ABC1D1 是平行四边形,∴AD1∥BC1. (2)平行. ∵EF∥BD∥B1D1∥GH. (3)平行. 取CD 中点为 S,连接 BS,可证 DE∥BS∥HB1. 图2

求异面直线所成的角. 例 3:如图 3,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中.

图3 (1)哪些棱所在的直线与直线 BA1 是异面直线? (2)哪些棱所在的直线与直线 AA1 垂直? (3)直线 BA1 和 CC1 的夹角是多少? (4)直线 BA1 和 B1C 的夹角是多少? (5)直线 BD 和 AC1 的夹角是多少?

解:(1)经过顶点 B、A1 的六条棱与直线 BA1 都相交,不是 异面直线,其余六条 CD、C1D1、CC1、DD1、C1B1、DA 与直线 BA1 都是异面直线. (2)根据异面直线所成角的定义知,上底面、下底面的四条棱 都和直线 AA1 垂直,即 AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、 D1A1 所在的直线与直线 AA1 垂直. (3)因为 CC1 ∥BB1,则∠B1BA 为直线 BA1 和 CC1 的夹角, 显然为 45°. (4)连接 BD、A1D,因为 A1D ∥B1C,则∠BA1D 为直线 BA1 和 B1C 的夹角,又△ A1BD 是正三角形,所以∠BA1D=60°.

(5)分别取 B1B、D1D 的中点 E、F,连接 AE、EC1、C1F、 FA 、EF,显然 EF∥BD,四边形 AEC1F 为菱形,EF⊥AC1,即 BD⊥AC1,故直线 BD 和 AC1 的夹角是 90°. 求异面直线所成角的基本方法就是平移, 有时候平移两条直线,有时候只需要平移一条直线,得到两条 相交直线,最后在三角形或四边形中解决问题.

3-1.如图 4,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、 H 分别为 AA1、AB、BB1、B1C1 的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于( B ) A.45° B 60 B.60° C.90° 图4 解析:连接 BC1、A1B、A1C1、EF,则 EF∥A1B,GH∥BC1, ∴∠A1BC1 是异面直线 EF、GH 所成的角,∵在正方体中,△ A1BC1 是等边三角形,∴∠A1BC1=60°. D.120°

例 4:若 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点,则( A.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直 C C.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交 l m D.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面

)

错因剖析:由公理 4 知过点 P 没有与 l、m 都平行的直线; C、D 选项中,都有无数条直线. 正解:B

4-1.(2010 年江西)如图 5,过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等,这 样的直线 l 可以作( )

图5 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

解析:如图 13,将 A 移到 O 点,对应在 O 点建立坐标系, 形成 x 轴、y 轴、z 轴,l 与 x、y、z 轴所成角相等,这样的直线 刚好是 4 条体对角线所在直线,所以 4 条.

图 13 答案:D


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