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【步步高】高考数学一轮复习讲义 第二章 2.7 对数与对数函数_图文

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一轮复习讲义 对数与对数函数 要点梳理 1.对数的概念 (1)对数的定义 忆一忆知识要点 如果 ax (a>0 且 a≠1)的 b 次幂等于 N,即 ab=N,那么 就称 b 是以 a 为底 N 的对数,记作 logaN=b,其中 a 叫 做对数的底数, N 叫做真数. (2)几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为 a(a>0 且 a≠1) 底数为 10 底数为 e 记法 logaN lg N ln N 要点梳理 忆一忆知识要点 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 M ①loga(MN)= logaM+logaN;②loga N = logaM-logaN ; n ③logaMn= nlogaM (n∈R);④logamMn= mlogaM . (2)对数的性质 ①a log a N = N ;②logaaN= N (a>0 且 a≠1). (3)对数的重要公式 logaN logbN= logab (a,b 均大于零且不等于 1); ①换底公式: 1 ②logab= ,推广 logab· logbc· logcd= logad . logba 要点梳理 a>1 忆一忆知识要点 3.对数函数的图象与性质 0<a<1 图象 (0,+∞) (1)定义域: (2)值域: R 性质 (3)过点 (1,0) ,即 x= 1 时,y= 0 (4)当 x>1 时, y>0 当 0<x<1 时, y<0 (6)在(0,+∞)上是增函数 (5)当 x>1 时, y<0 当 0<x<1 时, y>0 减函数 (7)在(0,+∞)上是 4.反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们 的图象关于直线 y=x 对称. 5. 第一象限中,对数函数底数与图象的关系 y y=1 o x 图象从左 到右,底数逐渐 变大. [难点正本 疑点清源] 1.关于对数的底数和真数 从对数的实质看:如果 ab=N(a>0 且 a≠1),那么 b 叫做 以 a 为底 N 的对数,即 b=logaN.它是知道底数和幂求指 数的过程.底数 a 从定义中已知其大于 0 且不等于 1;N 在对数式中叫真数,在指数式中,它就是幂,所以它自 然应该是大于 0 的. 2.对数函数的定义域及单调性 在对数式中,真数必须是大于 0 的,所以对数函数 y= logax 的定义域应为{x|x>0}. 对数函数的单调性和 a 的值 有关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按 0<a<1 和 a>1 进行分类讨论. 3.关于对数值的大小比较 (1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法; (3)利用中间量(0 或 1); (4)化同真数后利用图象比较. 对数式的化简与求值 例 1 计算下列各式. (1)lg 25+lg 2· lg 50+(lg 2)2; (lg 3)2-lg 9+1· (lg 27+lg 8-lg 1 000) (2) ; lg 0.3· lg 1.2 (3)(log32+log92)· (log43+log83). (1)lg 2· lg 50 没有办法直接化简,可考虑提取公因数 lg 2. (2)将根号下配成完全平方的形式,开根号.(3)利用换底公 式,是本题的切入口. 解 (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52 =(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+1)lg 2+2lg 5 =2(lg 2+lg 5)=2. 3? 3+3lg 2- ? (lg 3) -2lg 2? (2)原式= (lg 3-1)· (lg 3+2lg 2-1) 3 (1-lg 3)·(lg 3+2lg 2-1) 2 3 = =- . 2 (lg 3-1)· (lg 3+2lg 2-1) 2 ?3 ? lg 3+1· ?2 ?lg 2 lg 2? ?lg 3 lg ? + (3)原式=?lg 3+lg 9?· lg 4 lg ? ?? ?lg 2 lg 2 ? ? lg 3 lg 3 ? ? ? + =?lg 3+2lg 3?· ? ? ?2lg 2 3lg 2? 3? ? 8? 3lg 2 5lg 3 5 = · = . 2lg 3 6lg 2 4 探究提高 (1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化 成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算 法则化简合并,在运算中要注意化同底和指数与对数互化. (2) 熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形 是对数计算、化简、证明常用的技巧. 变式训练 1 3 (1)化简 lg +lg 70-lg 3- lg23-lg 9+1; 7 (2)已知 f(3x)=4xlog23+233,求 f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28) 的值. 解 3 ×70 7 (1)原式=lg - lg23-2lg 3+1 3 =lg 10- (lg 3-1)2=1-|lg 3-1|=lg 3. (2)令 3x=t,∴x=log3t, ∴f(t)=4log23· log3t+233=4log2t+233, ∴f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28) =4(log22+log24+log28+…+log228)+8×233 =4· log2(2· 22 · 23· …· 28)+8×233 =4· log2236+1 864=4×36+1 864=2 008. 对数函数的图象与性质 例 2 作出函数 y=log2|x+1|的图象,由图象指出函数的单 调区间,并说明它的图象可由函数 y=log2x 的图象经过怎 样的变换而得到. 从基本函数 y=log2x 入手到 y=log2|x|再到 y=log2|x+1|. 解 作出函数 y=log2x 的图象,将其关于 y

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