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2015年湖南文科高考数学试卷

时间:2015-06-09


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2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(文科)
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 5 页,时量 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。

?1 ? j ? 1.已知
z

2

=1+i(i 为虚数单位) ,则复数 z=

2.在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图 1 所示

若将运动员按成绩由好到差编为 1-35 号, 再用系统抽样方法从中抽取 7 人, 则其中成绩在区间[139,151]上的运动人数是 A.3 B.4 C.5 D.6

3.设 x ? R,则”x>1”是” x3 >1”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 4.若变量 x,y 满足约束条件 A.-1 B.0 C.1 D.2 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 则 z=2x-y 的最小值为

5.执行如图 2 所示的程序框图,如果输入 n=3,则输出的 S= A. B. C. D.

6.若双曲线
7 3

x2 y 2 ,则此双曲线的离心率为 ? ? 1 的一条渐近线经过点(3,-4) a 2 b2

A.

B.

5 4

C.

4 3

D.

5 3

1 2 7.若实数 a,b 满足 ? ? a b ,则 ab 的最小值为 a b

A. 2

B.2

C.2 2

D.4

8.设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,则 f ( x) 是 A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

9.已知点 A,B,C 在圆 ? 2 ? y 2 ? 1 上运动,且 AB⊥BC,若点 P 的坐标为(2,0) , 则 | PA ? PB ? PC | 的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9

10.某工件的三视图如图 3 所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能 大的长方体新工件, 并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件的利 用率为(材料的利用率= 新工件的体积/原工件的体积)

A.

8 9?

B.

8 27?

24
C.

?

2 ?1

?

3

8
D.

?

2 ?1

?

3

?

?

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11.已知集合 U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则 A ? ( C ? B )=________ 12.在直角坐标系 xOyz 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴建立极坐标系,若 曲线 C 的极坐标方程为ρ =3sin ? ,则曲线 C 的直角坐标方程为______ 13.若直线 3x-4y+5=0 与圆 x?+y?=r?(r>0)相交于 A,B 两点,且∠AOB=120°(O 为坐标原点) ,则 r=___________. 14.若函数 f(x)=|2x-2|-b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是___________ 15.已知 w>0,在函数 y=2sin mx 余 y=2 cos wx 的图像的交点,距离最短的两个交 点的距离为 2 3 ,则 w=________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。接答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖方法是: 从袋有 2 个红球 A1 、A2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1 、a2 和 2 个白球 b1、b2 的乙箱中,各随机摸出 1 个球,若摸出的 2 个球都是红球则中奖,否则不 中奖。 (I)用球的标号列出所有可能的摸出结果 (II)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概 率,你认为正确吗?请说明理由。 17. (本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=b tanA. (Ⅰ)证明:sinB=cosA

3 (Ⅱ)若 sinC—sinAcosB= ,且 B 为钝角,求 A,B,C. 4 18.(本小题满分 12 分) 如图 4,直三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 BC, CC1 的中点. (Ⅰ)证明:平面 AEF⊥平面 B1BCC1 (Ⅱ)若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45°,求三棱锥 F—AEC 的体积.

19(本小题满分 13 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,a2=2,且 an+2=3Sn- Sn+1, n (Ⅰ) 证明:an+2=3 an (Ⅱ) 求 Sn .

20.(本小题满分 13 分)

已知抛物线 C1 :X2=4y 的焦点 F 也会椭圆 C1: a 2 +

y2

X2 =1(a>b>0)的一个焦点。C1 与 C2 b2

的公共弦的长为 2 6 .过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, B 两点, 与 C1 相交于 C, D 两点, 且 BD 与 AC 同向。
(1) 求 C2 的方程;

(2)

若︱AC︱=︱BD︱,求直线 l 的斜率。

21.(本小题满分 13 分) 已知 a>0,函数 f(x)=a (x [0,+ ) ) 。记 xe 为 f(x)的从小到大的第 n(n )个极

值点。 (Ⅰ)证明:数列{f(xn)}是等比数列; (Ⅱ)若对一切 n ,xn | f(xn)|恒成立,求 a 的取值范围。

(答案及评分标准仅供参考)


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