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等比数列前n项和公式_图文

时间:2018-05-19

人民教育出版社高中《数学》第一册(上)第三章

等比数列前n项和公式
教 师:武占斌 山西大同市第二中学校

说课的四个环节
? 教材分析

?教法选取
?学法指导 ?教学程序

一、教材分析
1、教材背景分析:
主要概念 数列

通项、递推公式
求和 等差数列

数列极限

两类特殊数列 等比数列

数学归纳法

等比数列的前n项和

微积分、级数

一般数列问题及实际应用题

一、教材分析
2、教学目标
知识目标:使学生掌握等比数列前n项和公式及其推导方法错位 相差法,并能灵活运用等比数列前n项和公式 能力目标:通过展示公式的发现和证明过程,培养学生猜想 、 分析、综合的思维能力,掌握由特殊到一般的数学思 想,提高学生的数学素质

思想目标:⑴通过等比数列前n项和公式的学习进一步培养学生 “实践——认识——再实践”的辨证唯物主义观点
⑵通过猜想之后还需证明及对公比q的讨论,培养学 生严谨治学的学习态度

一、教材分析
3、重点和难点

重点:等比数列前n项和公式及应用 难点:等比数列前n项和公式的推导方法

二、教学方法
引导发现法:
数学故事 类比通项推导 分析猜想结论
观察实例 分析法

激发兴趣

(呼应于思考题引用历史名题)

猜想求和公式 证明猜想

反思分析过程
举例、练习

发现错位相差法
熟练公式 巩固错位相差法
思考题

实例照应

回归实际 提升能力

二、教学方法
为学生增加动眼、动口、动脑、动手的机会,调 动学生思维的积极性创造性 ? 学习过程转化为:观察、猜想、分析、证明、反 思、巩固的认知过程 ? 使学生主动参与到整个教学的全过程之中在教法 上体现把学习的主动权交给学生,让学生真正成 为教学活动的主体 ? 突出特点:重视知识的发生过程,有助于培养学生 的创新精神和实践能力
?

二、教学方法
采用投影等电教手段,对增大教学容 量、激发学习兴趣、解决重、难点问题起 到辅助作用

三、学法指导
―治学之道” 求知之法

改变学生被动

的学习状态

三、学法指导
本节课学生经历三个学习阶段:
第一阶段:公式的类比猜想阶段
教师激发学生去想,鼓励学生去说,要求学生尝试设计解决问题 的方案,并不遗余力的完成自己的设计。培养学生顽强的学习精神

第二阶段: 公式的分析证明阶段
鼓励学生用分析法贯通思路发现推理方法。培养学生对获得的结 论进行评价和估测的习惯和能力

第三阶段: 公式的练习巩固阶段
为使学生获得一个完整的知识结构,进行解决问题的练习

三、学法指导
原有认知结构 求和公式 数 列 等差数列 通项公式 等比数列 通项公式
不 完 全 归 纳 法 猜 想

贯通证明思路

分析法

新认知结构

等比数列求和公式

逐步使学生掌握动手实践、大胆想象的学习方法

四、教学程序
回顾历史 (开篇)

第一环节:创立情景

引出课题

复习概念 (过渡)

引用典故 (引题)与思考题呼应


第二环节:启发诱导 探求公式

第一层:展示发现过程 第二层:展示证明过程 第三层:反思证明过程 第四层:加深公式认识

学 过 程
第三环节:练习巩固 反馈回授

第一方面:探究其他推导方法

第四环节:发散思维

深化目标

第二方面:师生互动共同小结 第三方面:分层布置课外作业

四、教学程序
第一环节
第一方面: 同学们,我们已经学习了有关数列的基本概念,我 国对数列的概念的认识很早,早在公元前一世纪成书的 《周髀算经》上已有关于等差数列的文字记 载,到了宋、元年间,著名数学家沈括、杨 辉、朱世杰等人对数列进行了深入的研究, 达到了较高的水平。

创立情景、引出课题(1)

四、教学程序
第一环节 第二方面: 上节课,我们站在前人的肩膀上学习了等比数列的基 本概念,请大家回顾: 1、什么是等比数列?公比对等比数列有何影响(要求从 公比的正负,绝对值大于1或小于1说明)? 创立情景、引出课题(2)

2、说出等比数列的通项公式。观察数列an=6n是否是等比 数列,若是求出首项和公比

目的:建立联系 扫清障碍 突破难点

四、教学程序
第一环节 创立情景、引出课题(3)

第三方面:讲述“棋盘上的麦粒”历史典故 大家都见过国际象棋吧!它的棋盘是正四方形,黑 白相间共64格,传说在很久以前,古印度舍罕王在宫廷 单调的生活苦恼中,发现了也就是现今的国际象棋如此 的有趣和奥妙之后,决定要重赏发明人——他的宰相西 萨班?达依尔,让他随意选择奖品,宰相要求的赏赐是: 在棋盘的第一格内赏他一粒麦子,第二格内赏他两粒麦 子,第三格四粒麦子……以此类推每一格上的麦子数都 是前一格的两倍,国王一听,几粒麦子,加起来也不过 一小袋,他就答应了宰相的要求。实际国王能满足宰相 的要求吗?

四、教学程序
第一环节 创立情景、引出课题(4)

设这64个数的和为S,则S=20+21+22+23+……+263
总管共费了三天才计算出来最终的数字是: 18 446 744 073 709 551 615粒麦子

若把这些麦子铺在地球表面一层,竟约有2米厚 . 若按万粒 500克计算,可达922 372亿吨。而我国现年产量在1亿吨左 右。如何能简便、快速地计算出这64个数组成的等比数列的 和,是我们今天要研究的主要内容:
板书课题:等比数列前n项和的公式 目的:使不同层次的学生兴致勃勃的参与到教学活 动之中,师生共同进入教学角色

四、教学程序
第二环节:启发诱导、探求公式(1)

第一层次 展示公式的发现过程:
等比数列的通项公式如何推导的呢?

1、引导学生从等比数列通项公式的推导方法出发,即通过 观察a1、a2、a3、a4的特点归纳an 的一般形式,联想求和公式 的思考方法。
投影演示等比数列通项公式的推导过程 a1 = a1 a2= a1q a3 = a2q =a1q2 an=an-1q =a1qn-1

a4= a3q =a1q3 ……

四、教学程序
第二环节:启发诱导、探求公式(2) 2、设等比数列的前n项和为Sn,请学生写出S1、S2、S3、S4的 表达式

即S1= a1
S2= a1 + a2 = a1+ a1q = a1( 1+q) S3= a1 +a2 +a3 = a1+ a1q + a1q 2= a1( 1+q+ q2) S4= a1+ a2 +a3 +a4 = a1+ a1q + a1q 2+ a1q 3= a1( 1+q+ q2+ q3 )

四、教学程序
第二环节:启发诱导、探求公式(3) 3、我们发现随着n的增大Sn的形式愈加复杂,能否用简洁的 形式来表示Sn呢? 引导学生在S3= a1( 1+q+ q2)的分子分母同乘以1-q (q ≠1) 会得到什么结论?

S3 ?

a 1 (1+q+ q 2 )(1-q) 1-q

a1 (1-q 3 ) = 1-q

S1 、S2 、S4是否有同样的变形?

四、教学程序
第二环节:启发诱导、探求公式(4)

4、让学生尝试变形:
a1 (1-q) S1 ? 1-q
S2 ? a 1 (1+q)(1-q) 1-q a1 (1-q 2 ) = 1-q

S4 ?

a 1 (1+q+ q 2 +q 3 )(1-q) 1-q

a1 (1-q 4 ) = 1-q

四、教学程序
第二环节:启发诱导、探求公式(5)

5、大家观察S1、S2、S3、S4的特征,能猜出Sn 的形式吗?
a1 (1-q n ) Sn ? .(q ? 1) 1-q

四、教学程序
第二环节:启发诱导、探求公式(6)

本层次的目的在于: 构建解决问题的平台暴露解决问题 的思维过程。鼓励学生去观察、去交流、 去反思,这不仅培养学生的思维能力, 更有助于学生合作精神的培养

四、教学程序
第二环节:启发诱导、探求公式(7)

第二层次 展示公式的证明过程:
1、能证明自己的猜想吗?教师要求学生自主活动独 立思考,并鼓励学生用分析法贯通思路、反思分析 过程,逐步根据学生的情况分析证明思路

四、教学程序
第二环节:启发诱导、探求公式(8)

a1 (1-q n ) Sn ? .(q ? 1) 成立 分析:欲证 1-q 只需证Sn—Snq=a1(1—qn)
∵ Sn=a1+ a1q+ a1q2+ a1q3+……+a1qn-2+ a1qn-1 qSn= ① —②得: Sn (1—q)= a1—a1qn ① a1q+ a1q2+ a1q3+……+a1qn-2+ a1qn-1 + a1qn ②

结论:

当q ≠1时

a1 -a1q n Sn ? 1-q

四、教学程序
第二环节:启发诱导、探求公式(9)
2、请学生仔细观察以上分析过程,探索等比数列求 和公式的证明方法。引导学生发现由① —②式, 可直接推出等比数列求和公式。 3、请学习较好的学生上台板演证明过程。

4、教师适时的补充,规范证明过程和格式。

四、教学程序
第二环节:启发诱导、探求公式(10)

第三层次 反思公式的证明过程:
我们从Sn—qSn这一思路入手推出求和公式,这正 是由等比数列中每一项乘以公比都得到下一项,即: an+1= an q的特点决定,这种方法称为错位相差法,显 然,这是推导等比数列求和公式的一种简单便捷的方 法,教师通过剖析推导过程,加深学生对此法的理解 体现教师的主导作用

四、教学程序
第二环节:启发诱导、探求公式(11)

第四层次

加深对公式的认识: 1、为什么公式要限制q ≠1? 如果q =1, Sn=? 2、我们用a1、q、n表示Sn ,能否用a1、q、 a n来表示Sn呢?

a1 -a n q Sn ? .( q ? 1) 1-q

四、教学程序
第二环节:启发诱导、探求公式(12) 3、指导学生阅读课本,探究公式运用灵活方法。 当已知a1、q、n时,利用 a1 (1-q n ) Sn ? 求S n 1-q 当已知a1、q、 a n时,利用 a1 -a n q Sn ? 求S n 1-q 显然,已知a1、q、 n、 a n 、Sn中的三个量,可求其余 两个量,注意公式的条件“q ≠1”

四、教学程序
第二环节:启发诱导、探求公式(13)

本环节的目的在于: 变公式的推导过程为探索发现新知的过 程,使学生体会人类认识未知事物的过 程即通过观察思考得到一个猜想,然后加 以论证这正是学习数学的一个重要方法

四、教学程序
第三环节:巩固练习、反馈回授(1) 例1:利用等比数列求和公式求解“棋盘上的麦粒”历史 典故中舍罕王究竟应该赏赐宰相多少粒麦子? 解: ∵ a1=1, q =2, n=64 ∴由: 得出

a1 (1-q n ) Sn ? 1-q

S64

1(1-264 ) ? ? 264 ? 1 1-2

四、教学程序
第三环节:巩固练习、反馈回授(2)

练习:(利用投影给出)
1、当a1=3, q =2, n=6 3、等比数列{ an}中 求相应等比数列{ an}的 Sn; 2、当a1=2.4, q =-1.5, n=5时求等比数列 { an}的 Sn;

① a5= 2,a10=10时,求q、 Sn;
② a5= - 8,q= - 0.5时,求an、Sn。

四、教学程序
第三环节:巩固练习、反馈回设(3) 例2:求数列1,3a,5a2,7a3 ……(2n-1)an-1的前n项和 (a ≠1且a ≠0)。 解:

∵Sn= 1+3a+5a2+7a3 +9a4+…+(2n-1)an-1
aSn= a +3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an-1+(2n-1)an

∴ Sn- aSn=1+2 a+2a2+2a3+2a4+…+2an -1-(2n-1)an 2a(1-a n-1 ) 当a ≠1时,Sn(1-a)=1+ - (2n-1)an 1-a

1+a-2a n (2n ? 1)a n ? Sn ? ? 2 (1-a) 1-a

四、教学程序
第四环节:发散思维 深化目标(1)

一、探求公式其它推导方法
1、我们用Sn-qSn这一思路探究发现错位 相差法推导求和公式,起到了化简Sn 的目的。 那么,是否Sn-1/qSn也可以起到同样的化简效 果?Sn-q2Sn呢?引导鼓励学生自由思考大胆 想象,揭示化简本质。

四、教学程序
第四环节:发散思维 深化目标(2)
Sn= qSn= a1+a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1 a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1+a1qn
(1) (2) (3)

1 S n =a1q-1+ a1+a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2 q
q2Sn= a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1+a1qn+a1qn+1

(4)

(1)–(2)

(1) –(3)

(1) –(4)

效果如何 有何启发

四、教学程序
第四环节:发散思维 深化目标(3) 2、围绕等比数列的 基本概念,引导学生从定义出发,利用 等比定理导出公式。 设a1、a2、a3 …an是公比为q的等比数列 则由 a2 ? a3 ? ? ? ? ? an ? q
a1 a2 an ?1

由等比定理得

a2 ? a3 ? ? ? ? ? an ?q a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ?1




S n ? a1 ?q S n ? an

Sn ?

a1 ? an q ( q ? 1) 1? q

四、教学程序
第四环节:发散思维 深化目标(4)

3、利用类比公式 1-q2=(1-q)(1+q) ; 1-q3=(1-q)(1+q+q2) ∴ 1–qn=(1 – q)(1+q+q2+q3+…+qn-1) q≠1
1? q ? 1+q+q 2 +q 3 + ??? +q n-1直接得到 的变形式 1? q
n

Sn=a1+ a1q+ a1q2+ a1q3+……+a1qn-2+ a1qn-1 =a1(1+q+q2+q3+…+qn-1)

a1 (1-q n ) = 1-q

四、教学程序
第四环节:发散思维 深化目标(5) 二、师生小结:学生小结公式的推导过程及应用 公式需注意的地方,老师小结推导公式所蕴含 的思想方法。

三、布置作业:
A.阅读课文、整理笔记、课后习题3.5(1)(2) B.思考题(投影给出)

四、教学程序
第四环节:发散思维 深化目标(6) 思考一:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。问 截n 次后截去的总长是多少? ——《庄子?天下篇》 除用公式外,引导学生用间接法 思考二:甲乙二人约定在一个月(按30天)内甲 每天给乙100元钱,而乙则第一天给甲返还1分,第二天给 甲返还2分,……即后一天返还的钱是前一天的2倍,问谁 赢谁亏? 呼应开头 强化所学 解决实际 (返还钱应为230–1=1073748.32元远大于3000元)

板书设计
§3.3等比数列前n项和公式
例1

: ********* ********* ********* ********* ********* 解: ********* ********* ********* *********

公式的发现过程

公式的推导证明过程

例2:

********* ********* ********* ********* ********* ********* ********* *********

********** ********** ********** ********** ********** ********** ********** **********

********* ********* 解:********* ********* ********* ********* 练习 ********* ********* *********

说课到此结束

欢迎批评指正



谢!


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