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抛物线(同步辅导教案)

时间:2014-12-04


★ 学好数学“三步曲” :概念---做题---反思
课 重 难 题 点 点



抛物线
①抛物线的定义 ②抛物线的标准方程及几何性质 ①抛物线的定义的灵活应用 ②抛物线的综合问题

一、课前检测 1.抛物线 y ? 4 x 的焦点到准线的距离是 ( D
2



(A)4

(B)2

1 (C) 4

1 (D) 8
( B )

2.若抛物线 y2=x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为

?1 2? , ? ? ? ?4 4 ? ? ? A.

?1 2? , ? ? ? ?8 4 ? ? ? B.

?1 2? ? ? 4 ,4 ? ? ? C. ?

?1 2 ? ? ? 8 ,4 ? ? ? D. ?

提示:P 点在 OF 的中垂线上 3.抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是 x 轴,抛物线过点( ? 5 ,2 5 ),则抛物线的标准方程是(C A. y =-2x B. y =2x C. y =-4x D. y =-6x 2 4.过 M(2,4)作直线与抛物线 y =8x 只有一个公共点,这样的直线有( A.0 B.1 C.2 D.4
2
2 2 2 2

)

C

)条

5.已知点 P 是抛物线 x ? 2 y 上的一动点,焦点为 F ,若定点 M (1, 2) ,则当 P 点在抛 物线上移动时, | PM | ? | PF | 的最小值等于 ( A )

5 A. 2

B. 2

3 C. 2

D. 3

2 6.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) 两点,若 x1 ? x2 ? 3 p ,则 | PQ | 等

于( A A.4p

) B.5p C.6p D.8p

二、知识梳理 1.抛物线的定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称 为抛物线的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程及几何性质:

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y 2 ? 2 px
标准方程


x 2 ? ?2 py

y 2 ? ?2 px

x2 ? 2 py

? p ? 0?


? p ? 0?


? p ? 0?


? p ? 0?


y

y

y

y

图形
O

x

x O

x O

x O

顶点

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ?
x?? p 2
y轴

对称轴

焦点

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?
x? p 2
e ?1

p? ? F ? 0, ? 2? ?
y?? p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?
y? p 2

准线方程

离心率

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

3.通径:过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、 ? 两点的线段 ?? ,称为抛物线的“通径” , 即 ?? ? 2 p .这是过焦点的所有弦中最短的. 4.焦半径公式:

p ; 2 p 2 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y ? ?2 px ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? ? x0 ? ; 2 p 2 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x ? 2 py ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? y0 ? ; 2 p 2 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x ? ?2 py ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? ? y0 ? . 2
2 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? x0 ?

三、范例分析 例 1 已知抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆 4 x2 ? 5 y 2 ? 20 的一个焦点相同, (1)求椭圆的焦点坐标与离心率; (2)求抛物线方程.

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2 2 2 2 2 2 2 解:椭圆方程为 x ? y ? 1 ,∴a =5,b =4,c =a -b =1, 5 4



∴椭圆焦点坐标为(-1,0),(1,0), ;离心率 e= c ? 5 ;
a 5

(2)若抛物线焦点坐标为(1,0),则设抛物线的方程为 y =2px, ∴

2

p ? 1 ,则 p=2, 2

∴所求抛物线的方程为 y 2 ? 4 x
2

若抛物线焦点坐标为(-1,0),则设抛物线的方程为 y =-2px, ∴ p ? 1 ,则 p=2,∴所求抛物线的方程为 y 2 ? ?4x ∴抛物线的方程为 y 2 ? ?4x 2 例 2.点 M 与点 F ?4,0? 的距离比它到直线 x ? 5 ? 0 的距离小 1,求点 M 的轨迹方程,并画出图形? 解析:由题意得,点 M 与点 F ?4,0? 的距离比它到直线 x ? 4 ? 0 的距离相等,∴ p ? 8 , y 2 ? 16x ; 变式:已知点 F(2 ,0) ,直线 l : x ? ?1 ,动点 N 到点 F 距离比到直线 l 的距离大 1 ; (1)求动点 N 的轨迹 C 的方程; (2)直线 y ? x ? 2 与轨迹 C 交于点 A,B,求 ?ABO 的面积. 解:(1)20.解:(1)设 N 点坐标为 ( x, y ) ,所以 y 2 ? 8x( x ? 0) (2) S?ABO ? 8 2 例 3.过抛物线 y =4x 的焦点作直线 AB 交抛物线于 A、B,求 AB 中点 M 的轨迹方程? 2 2 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1 =4x1,y2 =4x2 (y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2) (y1+y2)?
y1 ? y 2 =4(x1≠x2) x1 ? x 2
2

设 AB 中点 M(x,y),则 y1+y2=2y ∴ 2y?
y ?4 x ?1 y 2 ? 2( x ? 1)

y1 ? y 2 y?0 ? x1 ? x 2 x ?1

当 x1=x2 时,M(1,0)满足上式 2 ∴轨迹方程为 y =2(x-1) 例 4.如图,过抛物线 y 2 ? 2 px (P>0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M、N 两点,自 M、N 向准线 L 作垂 线,垂足分别为 M1、N1 (Ⅰ)求证:FM1⊥FN1: (Ⅱ)记△FMM1、 、△FM1N1、△FN N1 的面积分别为 S1,S2,S3,试判断 S 2=4S1S3 是否成立,并证明你的结论。 解:(Ⅰ)本小题主要考查抛物线的概念,抛物线的几何性质等 平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力 证法 1:由抛物线的定义得
2

MF ? MM1 , NF ? NN1 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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??MFM1 ? ?MM1F , ?NFN1 ? ?NN1F
如图,设准线 l 与 x 的交点为 F 1



Q MM1 // NN1 // FF1 ??F1FM1 ? ?MM1F , ?F1FN1 ? ?NN1F
0 而 ?F 1FM1 ? ?MFM1 ? ?F 1FN1 ? ?N1FN ? 180 0 即 2?F 1FM1 ? 2?F 1FN1 ? 180

??F1FM1 ? ?F1FN1 ? 900
证法 2:依题意,焦点为 F (

故 FM1 ? FN1

p p , 0), 准线 l 的方程为 x ? ? 2 2 p ,则有 2

设点 M,N 的坐标分别为 M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 ), 直线 MN 的方程为 x ? my ?

M 1 (?

p p , y1 ), N1 (? , y2 ), FM 1 ? (? p, y1 ), FN1 ? (? p, y2 ) 2 2
得 y 2 ? 2mpy ? p2 ? 0 于是, y1 ? y2 ? 2mp , y1 y2 ? ? p2

p ? ? x ? my ? 由? 2 2 ? y ? 2 px ?

? FM1 ? FN1 ? p2 ? y1 y2 ? p2 ? p2 ? 0 ,故 FM1 ? FN1
2 (Ⅱ) S2 ? 4S1S3 成立,证明如下:

证法 1:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则由抛物线的定义得

| MM 1 |?| MF |? x1 ?

p p ,| NN1 |?| NF |? x2 ? ,于是 2 2 1 1 p S1 ? ? | MM 1 | ? | F1M 1 |? ( x1 ? ) | y1 | 2 2 2 1 1 S2 ? ? | M 1 N 2 | ? | FF1 |? p | y1 ? y2 | 2 2 1 1 p S3 ? ? | NN1 | ? | F1 N1 |? ( x2 ? ) | y2 | 2 2 2 1 1 p 1 p 2 S2 ? 4S1S3 ? ( p | y1 ? y2 |) 2 ? 4 ? ( x1 ? ) | y1 | ? ( x2 ? ) | y2 | 2 2 2 2 2

1 2 p p2 2 ? p [( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ] ? [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ] | y1 y2 | 4 2 4

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p ? x1 ? my1 ? ? ? y1 ? y2 ? 2mp ? 2 将? 与? 代入上式化简可得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 ? x ? my ? p , ? y1 y2 ? ? p 2 2 ? ? 2

p2 (m2 p2 ? p2 ) ? p2 (m2 p2 ? p2 ) ,此式恒成立。
2 故 S2 ? 4S1S3 成立。

证法 2:如图,设直线 MN M 的倾角为 ? , | MF |? r 1 ,| NF |? r 2 则由抛物线的定义得 | MM1 |?| MF |? r 1 ,| NN1 |?| NF |? r 3

MM1 // NN1 // FF1 , ?FMM1 ? ? , ?FNN1 ? ? ? ?
于是 S1 ?

1 2 1 1 r1 sin ? , S3 ? r22 sin(? ? ? ) ? r22 sin ? 2 2 2

在 ?FMM1 和 ?FNN1 中,由余弦定理可得

| FM1 |2 ? 2r12 ? 2r12 cos ? ? 2r12 (1 ? cos ? ),| FN1 |2 ? 2r22 ? 2r22 cos ? ? 2r22 (1 ? cos ? )
1 | FM 1 | ? | FN1 | 2 1 1 2 ? S2 ? | FM 1 |2 ? | FN1 |2 ? ? 4r12 ? r22 ? (1 ? cos ? )(1 ? cos ? ) ? r12 r22 sin 2 ? ? 4 S1S3 4 4
由(I)的结论,得 S 2 ?
2 即 S2 ? 4S1S3 ,得证。

四、反思 1.抛物线的焦点弦问题:

(1).焦点弦和通径的概念 ① 焦点弦:在抛物线中,通过其焦点的直线与抛物线的交点连线叫焦点弦。 ② 若在抛物线中通过焦点而垂直坐标轴的直线与抛物线的交点的连线叫做抛物线的通 径,它的长为 2p. (2)焦点弦的有关常用结论: AB为 y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点弦,A( x1 , y1 )B( x2 , y 2 ) ,弦中点 M ?x0 , y0 ? .
2

p2 2 ① x1 x2 ? ② y1 y2 ? ? p ; 4
③弦长 AB ? x1 ? x2 ? p ?

2p , (α为 AB 的倾斜角) sin 2 ?

X1+X2≥ 2 x1 x2 =p,即当 X1=X2 时,此时 AB =通径=2p 为最短

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④以焦点弦 AB 为直径的圆与抛物线的准线 l 相切 ⑤A1F⊥B1F(如图) 五、课外练习
1.抛物线 y ? 4 x 的焦点到准线的距离是
2



( D (D)



(A)4
2.设抛物线 x
2

(B)2

(C)

1 4

1 8

? 4 y 的焦点为 F ,经过点 P(1, 2) 的直线与抛物线交于 A 、 B 两点,又知点 P 恰好为 AB 的
C ) C.6 D.

中点,则 AF ? BF 的值是 ( A.3
〖解〗C

B.4

17 8

过 A 、 B 两 点 分 别 作 抛 物 线 准 线 的 垂 线 , 设 垂 足 分 别 为 A1 、 B1 , 由 抛 物 线 定 义 知

AF ? BF = AA1 ? BB1 ? y1 ? y2 ? p ? 4 ? 2 ? 6
3.抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是( D
2



A. 3

B.

7 5

C.

8 5

D.

4 3

4.从抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为 F,则△MPF 的面积为 A.5 B.10 ( C.20
2

B ) D. 15

5.过点 (0, 2) 与抛物线 y

? 8x 只有一个公共点的直线有( C )
D.无数多条

A.1 条

B.2 条

C.3 条

6.已知直线 l 过定点 A?4,0? ,且与抛物线 C : y 2 ? 2 px?( p ? 0) 交于 P 、 Q 两点,若以 PQ 为直径的圆经过 原点 O ,求抛物线的方程. 解:可设直线 l 的方程为 x ? my ? 4 代入 y ? 2 px? ,
2

得 y ? 2 pmy ? 8 p ? 0
2

设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,
2 2

y1 y 2 ( y1 y 2 ) 2 则 y1 y 2 ? ?8 p , x1 x2 ? ? ? ? 16 2p 2p 4 p2
由题意知, OP ? OQ, 则 OP ? OQ ? 0 ,

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即 x1 x2 ? y1 y2 ? 16 ? 8 p ? 0 , ∴ p ? 2 , 此时,抛物线的方程为 y 2 ? 4 x?



7 已知过抛物线 y2 ? ? px( p ? ?) 的焦点,斜率为 ? ? 的直线交抛物线于 A( x? , y? ) , B( x? , y? ) ( x? ? x? ) 两点,且 | AB | ? ? , (1)求该抛物线的方程; (2) O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若 OC ? OA ? ?OB ,求 ? 的值.
〖解〗(1)直线 AB 的方程是 y ? 2 2( x ?

uuu r

uur

uu u r

p ) ,与 y 2 ? 2 px 联立,从而有 4 x2 ? 5 px ? p2 ? 0, 2

所以: x1 ? x2 ?

5p ,由抛物线定义得: | AB |? x1 ? x2 ? p ? 9, 4

所以 p=4,从而抛物线方程是 y 2 ? 8x. (2)由 p ? 4, 4 x2 ? 5 px ? p 2 ? 0 可简化为 x2 ? 5x ? 4 ? 0, 解得: x1 ? 1, x2 ? 4, 所以 y1 ? ?2 2, y2 ? 4 2, 从而 A(1, ?2 2), B(4, 4 2) 设 OC ? ( x3 , y3 ) ? (1, ?2 2) ? ?(4,4 2) ? (4? ?1,4 2? ? 2 2)
2 又 y3 ? 8x3 , 所以 [2 2(2? ?1)]2 ? 8(4? ? 1), 即 (2? ?1) ? 4? ? 1
2

解得 ? ? 0, 或? ? 2.

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