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湖北省黄冈中学高三第一次模拟考试(文科)

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湖北省黄冈中学 2008 届高三第一次模拟考试 数 学 试 题(文科) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题有且仅有一个正确答案,请将正确 答案的代号填入答题卡中.) 1.数据 1,3,4,8 的平均数与方差分别是( ) A.2,2.5 B.2,10.5 C.4,2 D.4,6.5 2.在等差数列 {an } 中,已知 a1 + a4 = 11, a3 + a6 = 1, 则 a2 + a5 的值是( A.10 B .6 C.12 ) D.21 ) D.2 3.在△ ABC 中, AB = 2, BC = 1, CA = 3 ,则 CB ×BA 的值是( A.0 B .1 C. - 1 4.下列各数中,与 cos 2058 °最接近的一个数是( ) A. 3 3 1 C. D. 2 2 2 5.若 a,b 都是正实数, p 是圆周率,e 是自然对数的底数,则下列各式中,可能大于 a 2 + b 2 的是 ( ) 1 2 B. A. 2(a + b - 1) B. ( a+ b 2 ) + ab 2 C. (a + b) e 2 D. ) p ab 2 6.已知函数 f ( x) = log a x(a > 0, a A.1 B .3 1) 满足 f (9) = 2 ,则 f - 1 (3) 的值是( C .9 D.27 7.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时, 1 异面直线 AD 与 BC 所成的角为( ) , ? ? ? ? 3 A. B. C. D. 6 4 3 2, 8.已知映射 f : A ? B ,其中 A = {x | x 1}, B =R,对应法则为 f : x ? y log (2 - 5x) 1 2 - 1- x .若实数 k ? B ,在 A 中不存在原象,则 k 的取值范围是( A.k>0 2 2 ) D.k≤0 B.k<0 C.k≥0 9.已知 P 是椭圆 x y ? ? 1 上的一点,F 是椭圆的左焦点,点 Q 是线段 PF 的中点,O 为 25 9 坐标原点,且 OQ ? 4 ,则点 P 到该椭圆左准线的距离为( A.6 B .4 ?x ≥ 0 ? ) D. C .3 5 2 10.已知点 M(a, b)在由不等式组 ? y ≥ 0 ?x ? y ≤ 2 ? 确定的平面区域内,则点 N(a+b, a-b)构 成的平面区域的面积是( A.2 B .4 ) C. 1 2 D. 1 4 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填入答题卡中) 11. ( x ? 1 4 x )8 展开式中含 x 的整数次幂的项的系数之和为__________.(用数字作答) 2 2 12.从原点向圆 x ? y ? 12y ? 27 ? 0 作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 . 13.在△ABC 中,G 是△ABC 的重心,且 aGA ? bGB ? ∠B、∠C 的对边,则∠A= 14.已知正四棱锥 ABCD - A1 B1C1 D1 的底面边长为 2 ,侧棱长是 1,点 P 在线段 A1C1 上运动,则 3 cGC ? 0 ,其中 a、b、c 分别是∠A、 3 PD1 + PC 的最小值是 15.某机关的 2008 年新春联欢会原定 10 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个反映军 民联手抗击雪灾的节目,将这两个节目随机地排入原节目单,则这两个新节目恰好排在 一起的概率是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.请将解答过程写在答题卡上) 16. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 A 为锐角, ? A A ? A A f ( A) ? 2sin( ? )sin(? ? ) ? cos 2 ( ? ) ? cos 2 (? ? ) . 2 2 2 2 2 2 (Ⅰ)求 f(A)的最小值; (Ⅱ)若 f ( A) ? ? 2, A ? B ? 7 ? , a ? 6 ,求 b 的大小. 12 17. (本小题满分 12 分)已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同 的 2 个红球和 4 个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (Ⅲ)求取出的 4 个球中红球的个数为 2 时的概率. 18.(本小题满分 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥ CD, AD=DC=CB=a , ∠ ABC=60° .平面 ACEF⊥ 平面 ABCD, 且四边形 ACEF 是矩形,AF=a. (I)求证:AC⊥BE; (II)求二面角 B-EF-D 的余弦值. E F a A D C 60° B 19. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) = (2a) ; (Ⅰ)用 a 表示 f ? 1 3 1 x - (3a - 1) x2 + [2a 2 - f ? (2a)]x + (a 2 + 2a - 3) . 3 2 (Ⅱ)若 f ( x) 的图象有两条与 y 轴垂直的切线,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a=2 时,求 f ( x) 在[0,3]上的最大值和最小值. 20. (本小题满分 13 分)已知双曲线 an ?1 y 2 ? an x2 ? an ?1an 的一个焦点为 0, cn (n ≥ 2) , 且 c1 ? 6 , 一条渐近线方程为 y ? 2 x , 其中 ?an ? 是以 4 为首项的正数数列. ? ? (I)求数列 ?cn ? 的通项公式; (II) 求证:不等式 1 2 ? ? c1 c2 ? n n 2 ? ? 对一切自然数 n ( n

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