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3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)_图文

时间:2016-12-22

3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示

例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
P O α A l

已知:如图,PO,PA分别是平面α的 垂线,斜线,AO是PA在平面α内的射 影, l ? ? , 且l ? OA, 求证 : l ? PA.

已知:如图,PO,PA分别是平面α的 垂线,斜线,AO是PA在平面α内的射 影, l ? ? , 且l ? OA, 求证 : l ? PA.

证明:如图,在直线 l上取向量a, 同时取向量PO, OA.
α

P O A l a

因为l ? OA, 所以a ? OA ? 0. 因为PO ? ? , 且l ? ? , 所以l ? PO,
因此a ? PO ? 0 又因为a ? PA ? a ? ( PO ? OA) ? a ? PO ? a ? OA ? 0 所以l ? PA.

三垂线定理:在平面内的一条直线, 如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
反过来,在平面内的一条直线 ,如果和这个平面 的一条斜线垂直 , 那么它也和这条斜线的射影垂直 . 成立吗? PA 分别是平面 ? 的垂线、 已知:如图, PO 、 斜线, AO 是 PA 在平面 ? 内的射影, l ? ? ,且 l ? PA , 求证: l ? OA ?P

分析:同样可用向量, 证明思路几乎一样,只 不过其中的加法运算 用减法运算来分析.

?

O?

?A

l

? a

例2 如图,m,n是平面α内的两条相交直线。 如果l⊥m,l⊥n,求证:l⊥α z
l

证明:在?内作任一直线 g , 分别在
n α

g l m g

m n

l , m, n, g上取非零向量 l , m, n, g. 因为m与n相交,所以向量 m, n不平行。 由向量共面的充要条件 知,存在唯一
的有序实数对( x, y ),使 g ? x m ? y n.

所以l ? g ? 0
所以l ? g

将上式两边与向量 l作数量 积,得l ? g ? xl ? m ? yl ? n.

即l ? g

这就证明了直

因为 l ? m ? 0, l ? n ? 0

线l垂直于平面?内的任 意一条直线,所以 l ??

3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示

复习:
共线向量定理:
??? ? ? 对空间任意两个向量a、 ( b b ? 0), a // b的 ? ? 充要条件是存在实数?,使a=? b。

共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线,则向量 p与向量a, b 共面的充要条件是存在 实数对x,y,使 p=x a+yb。

平面向量基本定理:
如果e1, e 2是同一平面内的两个不 共线向量, 那么对于这一平面内的 任一向量a,有且只有 一对实数?1,?2,使a=?1 e1+?2 e 2。 (e1、 e 2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底。)

平面向量的正交分解及坐标表示

? ? ? a ? xi ? y j ? ?

y

? a
x

? ? i ? (1,0), j ? (0,1),0 ? (0,0). i

? o j

?? 我们知道,平面内的任意一个向量 p 都可以 ? ? 用两个不共线的向量 a, b 来表示(平面向量基本定 理)。对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢?

问题:

??? ? ??? ? ? ? ? ? OP ? OQ ? zk ? xi ? y j ? zk. ?? ? 由此可知,如果 i, j , k 是空间两
两垂直的向量,那么,对空间任一 ?? 向量 p ,存在一个有序实数组 ? ? ? ? ? {x,y,z}使得 p ? xi ? y j ? zk .

? ? ??? ? ???? ? ???? OP ? OQ ? zk. OQ ? xi ? y j.

z

?? ? ? ? 我们称 xi, y j, zk 为向量 p ?? ?

? ? k ? j O i
x

?? p

P

y Q



i, j, k上的分向量。

探究:在空间中,如果用任意三个不共面向量

?? ? 代替两两垂直的向量 i, j , k
结论吗?

? ? ? a, b, c

,你能得出类似的

空间向量基本定理:

? ?? 如果三个向量 a, b, c不共面,那么对空间任一 ??

向量 ,存在一个唯一的有序实数组 x , y , z , p ? ? ? ? ? 使 p ? xa ? yb ? zc.

任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

? ?? a, b, c 都叫做基向量

特别提示:对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面,

? (2) 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任 意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着 ? 它们都不是 0 。
(3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基 底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念。

还应明确: (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

推论:设O、A、B、C是不共线的四点,则对空间任一 点P,都存在唯一的有序实数组{x,y,z},使

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC.

当且仅当x+y+z=1时,P、A、B、C四点共面。

一、空间直角坐标系 单位正交基底:如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系:在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点,分别 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴:x轴、y轴、 z轴,它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 空间直角坐标系O--xyz 点O叫做原点,向量e1,e2,e3都叫做坐标向 量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。

二、空间向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向 量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量, 由空间向量基本定理,存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标, 记作.P=(x,y,z)
x e3 e1 O e2

z

p
y

在空间直角坐标系O--xyz中,对空间任一点, A,对应一个向量OA,于是存在唯一的有序实数 组x,y,z,使 OA=xe1+ye2+ze3
z

在单位正交基底e1, e2, e3 中与向量OA对应的有序实数 组(x,y,z),叫做点A在此空间 直角坐标系中的坐标,记作 A(x,y,z),其中x叫做点A的横 坐标,y叫做点A的纵坐标,z 叫做点A的竖坐标.
x

A(x,y,z) e3 e1 O e2 y

练习:

e2、 e3 分 AB ? e1 ? 2e2 ? 3e2 ( e1、 1、在空间坐标系o-xyz中, 别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为 ,点B的坐标为 。 AB
2、点M(2,-3,-4)在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正 投影的坐标分别为 ,关于原点的对称点 为 ,关于轴的对称点为 ,

例题
已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC, M,N,分别是对边OA,BC的中点,点P, Q是线段MN三等分点,用基向量OA,OB, OC表示向量OP,OQ.
O M A Q P C

N
B

练习
1、已知向量{a,b,c}是空间的一个基底. 求证:向量a+b,a-b,c能构成空间的一个基底.


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