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2012届高三数学复习课件(广东文)第10章第2节

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1.(2009? 州一模)已知过A(?1,a),B ? a,8 ? 两点的直线 广 与直线2 x ? y ? 1 ? 0平行,则a的值为? B A. -10 B. 2 C. 5 D. 7

?

解析: 因为直线AB与已知直线平行,所以a ? ?1. 8?a 所以直线AB的斜率k ? ? 2,所以a ? 2. a ?1

2.点P ? 4, 0 ? 关于直线5x ? 4y ? 21 ? 0的对称点为? D A.?6,8 ? ? B. 8, 6) (? ? C. ? D. 6, 8) (? ? ? 6,8
解析:设点P ? 4, 0 ? 关于直线5x ? 4y ? 21 ? 0的 对称点为P ( x1,y1 ). 1 x1 ? 4 y1 由轴对称概念,知PP的中点M ( , )在对称轴 1 2 2 5x ? 4y ? 21 ? 0上,且PP与对称轴垂直, 1 y ? x1 ? 4 5? ? 4? 1 ? 21 ? 0 ? ? x1 ? ?6 2 2 ? 则有 ? ,解得 ? , ? y1 ? ?8 ? y1 ? 4 ? x1 ? 4 5 ? 所以P (?6, 8),故选D. ? 1

?

3.已知两条直线y ? ax ? 2和y ? ? a ? 2 ? x ? 1互相垂直, 则a等于 ? D ? A. B. C. D. 1 2 1 0 ? 解析: a ? 0,两直线y ? ?2与y ? 2 x ? 1不垂直, 若

故舍去; 若a ? 0,由于两直线互相垂直,故有a ? a ? 2 ? ? ?1, 解得a ? ?1. 综上所述,a ? ?1.

4.已知点P(2, 1),则过P点与原点O距离最大的直线l的 ?
2x 方程为   ? y ? 5 ? 0 ,最大距离为

5

解析:作图可证,过P点与原点O距离最大的直线是过 P点且与PO垂直的直线. 由l ? OP,得kl ? kOP 1 ? ?1,所以kl ? ? ? 2. kOP

由直线方程的点斜式得y ? 1 ? 2 ? x ? 2 ?,即2 x ? y ? 5 ? 0, 即直线2 x ? y ? 5 ? 0是过P点且与原点O距离最大的直线, | ?5 | 最大距离为 ? 5. 5

5.若三条直线l1:x ? y ? 0,l2:x ? y ? 2 ? 0,l3:x ? ky ? 15 ? 0 5 构成一个三角形,则k的取值范围是 {k | k ? ?10且k ? 5且k ? ?.5}
解析:解方程组,得直线l1与直线l2的交点A ?1,1?. ①当点A ?1,1? 在直线l3上,即k ? ?10时,三直线不能 构成三角形,所以k ? ?10; ②当直线l1与直线l3平行,即k ? 5时,三直线不能 构成三角形,所以k ? 5; ③当直线l2与直线l3平行,即k ? ?5时,三直线不能 构成三角形,所以k ? ?5. 综上,当k ? ?10且k ? 5且 ? ?5时,三直线构成三角形.

求直线的方程

例题1 : 求经过两直线l1:x ? 2y ? 4 ? 0和l2:x ? y ? 2 ? 0 的交点,且与直线l3: 3x ? 4y ? 5 ? 0垂直的直线方程.
?x ? 2 y ? 4 ? 0 解析:方法1:解方程组 ? , ?x ? y ? 2 ? 0 得直线l1和l2的交点坐标为? 0, 2 ?. 4 直线l3的斜率为,从而所求直线的斜率为 ? . 3 4 由点斜式得所求直线的方程为y ? ? x ? 2, 3 即4x ? 3y ? 6 ? 0.

?x ? 2 y ? 4 ? 0 方法2:解方程组 ? ,得直线l1和l2的 ?x ? y ? 2 ? 0 交点坐标为 ? 0, 2 ?. 设所求直线的方程为4 x ? 3 y ? m ? 0,将点 ? 0, 2 ? 代入, 得m ? ?6,所以所求直线的方程为4 x ? 3 y ? 6 ? 0. 方法3:设所求直线的方程为x ? 2 y ? 4 ? ? ? x ? y ? 2 ? ? 0, 即(1 ? ? ) x ? (? ? 2) y ? 4 ? 2? ? 0. 由4(2 ? ? ) ? 3(1 ? ? ) ? 0,得? ? 11, 代入并化简得4 x ? 3 y ? 6 ? 0.

反思小结:本题不难解决,在此介绍了三种解法. 方法1是常规解法;方法2是比较巧妙地用待定系数法, 运算量明显减少;方法3是应用了经过两直线交点的 直线系方程,省去了解方程组的运算,在解本题时没 有显出其优势,但有时此法是非常有用的.一般的, 过两直线A1 x ? B1 y ? C1 ? 0和A2 x ? B2 y ? C2 ? 0交点的直 线系方程为A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0,由另一 条件求出?,再代入即得.

拓展练习:已知P点到两定点M ? ?1,0 ?,N ?1,0 ?的距离 之比为,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程.
解析:方法1:设P( x,y ).由条件 PM ? 2 PN , 即 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ? ( x ? 1)2 ? y 2, 得x 2 ? y 2 ? 6 x ? 1 ? 0. 又由条件可得?PMN ? 30?. ①

3 所以直线PM 的方程为y ? ? ? x ? 1?.② 3 3 由①②,得x ? 4 x ? 1 ? 0,解得x ? 2 ? . 3 所以P(2 ? 3,3 ? (1 ? 3 ))或(2 ? 3,3 ? (1 ? 3 )).
2

从而得直线PN的方程为y ? x ? 1或y ? ? x ? 1, 即x ? y ? 1 ? 0.

方法2:如图所示.由条件 PM ? 2 PN ,得d 2 ? 2d1. 设直线PN:x ? my ? 1,则由d 2 ? 得m2 ? 1 ? 2,解得m ? ?1. 所以直线PN:x ? ? y ? 1,即x ? y ? 1 ? 0 | ?1 ? 1| m2 ? 1 ? 2,

两直线的位置关系

例题2:已知两直线l1: ? 1? x ? ? a ? 1? y ? 1 ? 0, ?a l2:ax ? ? a ? 1? y ? 2 ? 0,则当a为何值时,

?1? l1 //l2;

? 2 ? l1 ? l2?

1 解析:方法1:当a ? 1时,直线l1的方程为y ? ? , 2 直线l2的方程为x ? ?2,显然l1 ? l2; 1 当a ? ?1时,直线l1的方程为x ? ,直线l2的方程 2 为x ? 2y ? 2 ? 0,l1与l2不平行也不垂直; 当a ? 0时,直线l1的方程为 ? x ? y ? 1 ? 0,直线l2的方程 为y ? 2,l1与l2不平行也不垂直; 1? a 当a ? 1且a ? ?1且a ? 0时,直线l1的斜率为 , 1? a a 直线l2的斜率为 . 1? a

1? a a 1 ? ,解得a ? . ?1? 欲使l1 //l2,必须 1? a 1? a 3 1 故当a ? 时,l1 //l2 . 3 1? a a 1 ? ? ?1,解得a ? ? . ? 2 ? 欲使l1 ? l2,必须 1? a 1? a 2 1 故当a ? 1和a ? ? 时,l1 ? l2 . 2

方法2: ? l1 //l2 ? ? a ? 1? ? ? a ? 1? a ? 0, ?1
2

1 即 ? 3a ? 1 ? 0,得a ? ; 3 ? 2 ? l1 ? l2 ? ? a ? 1? a ? ? a ? 1?? a ? 1? ? 0, 1 即2a ? a ? 1 ? 0,解得a ? 1或a ? ? . 2
2

反思小结: 本题是由两直线的位置关系,确定参数的 取值问题.一般的,若直线l1与l2的方程分别为 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0和A2 x ? B2 y ? C2 ? 0,则l1 //l2 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0,且A1C2 ? A2C1 ? 0,l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0. 如果记住了这两个结论,就可以避免讨论.

拓展练习:当a为何值时, (3 ?1? 直线l1:x ? 2ay ? 1 ? 0与直线l2: a ? 1) x ? ay ? 1 ? 0 平行? 2 ? 2 ? 直线l3:x ? ay ? 2与直线l4:ax ? 2y ? 1垂直?
解析: ? ①当a ? 0时,两直线l1、l2的斜率都不存在,且 ?1 直线l1:x ? 1 ? 0,直线l2:x ? 1 ? 0,此时,l1 //l2; 1 1 ②当a ? 0时,直线l1:y ? ? x ? , 2a 2a

直线l2:y ?

3a ? 1 1 x? . a a

1 3a ? 1 ,直线l2的斜率为k2 ? . 2a a ? 1 3a ? 1 ? ? 2a ? a 1 ? 要使两直线平行,必须 ? ,解得a ? . 6 ? 1 ??1 ? a ? 2a 1 综合①②可得,当a ? 0或a ? 时,两直线平行. 6 所以直线l1的斜率为k1 ? ?

? 2 ? 方法1:
①当a ? 0时,直线l3:x ? 1 ? 0, 1 直线l4:y ? ? 0,此时,l3 ? l4 . 2 a a a 1 ②当a ? 0时,直线l3:y ? ? x ? ,直线l4:y ? ? x ? , 2 2 2 2 a a 所以直线l3的斜率为k3 ? ? ,直线l4的斜率为k4 ? ? . 2 2 要使两直线垂直,必须k3 ?k4 ? ?1,

a a 即 ? ?(? ) ? ?1,故不存在实数a使得该方程成立. 2 2 综合①②可得,当a ? 0时,两直线l3、l4垂直. 方法2:要使两直线l3:x ? ay ? 2和直线l4:ax ? 2y ? 1垂直, 2 根据两直线垂直的充要条件,必须2a ? 2a ? 0,解得a ? 0. 所以,当a ? 0时,两直线垂直.

对称问题

例题3:求直线l1: ? y ? 4 ? 0关于直线l:x ? y ? 2 ? 0 2x 对称的直线l2的方程.

?2 x ? y ? 4 ? 0 解析:方法1:解方程组 ? ,得直线l1与 ?x ? y ? 2 ? 0 2 8 直线l的交点A( , ). 3 3 在直线l1上取一点B ? 2, 0 ?,设点B关于直线l 对称的点 ?x?2 y ? 2 ? 2 ?2?0 ? x ? ?2 ? 为C ( x,y ),则 ? ,解得 ? ,即C ? ?2, 4 ?. ?y ? 4 ? y ? ?1 ?x?2 ? 2 8 又直线l2过A( , )和C ? ?2, 4 ? 两点, 3 3 y?4 x?2 故由两点式得直线l2的方程为 ? ,即x ? 2y ? 6 ? 0. 8 2 ?4 ?2 3 3

方法2:设M ( x0,y0 )是直线l1上任意一点,它关于直线l x ? x0 y ? y0 的对称点为N ( x,y ),则线段MN的中点坐标为( , ), 2 2 y ? y0 直线MN的斜率为 . x ? x0 ? x ? x0 y ? y0 ? 2 ? 2 ?2?0 ? x0 ? y ? 2 ? 由题意,得 ? ,解得 ? . ? y0 ? x ? 2 ? y ? y0 ? ?1 ? x ? x0 ? 因为M ( x0,y0 )是直线l1上任意一点, 所以直线l2的方程为x ? 2y ? 6 ? 0. 所以2x0 ? y0 ? 4 ? 0,即2 ? y ? 2 ? ? ? x ? 2 ? ? 4 ? 0.

反思小结:由平面几何知识知,若直线l1、l2关于直线l 对称,则有如下性质:①若直线l1与直线l相交,则交点 在直线l2上;②若B在直线l1上,则其关于直线l的对称点 C在直线l2上.本题方法1就是利用上述两条性质,找出 确定直线l2的两个点(直线l1与直线l的交点A和直线l1上的 特殊点B关于直线l的对称点),由两点式得到直线l2的方 程;方法2则是用运动的观点,直接求轨迹方程.把握 两点:线段MN的中点在直线l上,直线l与直线MN 垂直.

拓展练习:一束光线通过点P ? 2,3? 经直线l:x ? y ? 1 ? 0 反射,反射光线过点Q ?1,1?.

?1? 求入射光线和反射光线所在直线的方程; ? 2 ? 求这条光线从P到Q传播的距离.
解析:1? 设P ? 2,3? 关于直线l:x ? y ? 1 ? 0对称的点 ? 是M ( x,y ). ?x?2 y ?3 ? 2 ? 2 ?1 ? 0 ? x ? ?4 ? 则? ,解得 ? ,即M (?4, 3). ? ? y ? ?3 ? y ?3 ?1 ?x?2 ?

y ?1 x ?1 由两点式得反射光线所在直线的方程为 ? , ?3 ? 1 ?4 ? 1 ?x ? y ?1 ? 0 即4x ? 5y ? 1 ? 0.解方程组 ? , ?4 x ? 5 y ? 1 ? 0 2 1 得直线l与直线PM 的交点N (? , ). ? 3 3 y ?3 x?2 所以入射光线PN 所在直线的方程为 ? , 1 2 ? ?3 ? ?2 3 3 即5x ? 4y ? 2 ? 0.

? 2?由平面几何性质得 PN

? MN .

所以 PN ? NQ ? MQ ? ?1 ? 4?2 ? ?1 ? 3?2 ? 41. 即这条光线从P到Q传播的距离是 41.

本节内容主要在四个方面为高考提供素材:一是直线 垂直与平行条件的运用,包括根据条件判定两直线的 位置关系或已知两直线的位置关系求参数的值或取值 范围;二是运用公式求点与点、点到直线、直线与直 线的距离;三是求直线的交点;四是综合运用本节知 识解决一些诸如三角形、对称、求直线方程等问题. 1.判断两条直线的位置关系和求直线方程时,需考虑 斜率不存在的情形.如:若直线ax ? y ? 1 ? 0与直线 x ? a 2 y ? 1 ? 0垂直,求a的值.

①当a ? 0时,两直线显然垂直. 1 ②当a ? 0时,由a ? 2 ? ?1,得a ? ?1.所以a的值是0和 ? 1. a C1 ? C2 2.用公式d ? 求两条平行线间的距离时,要先 A2 ? B 2 将两个方程中x、y项的系数化为相同. 如:直线2x ? y ? a ? 0与直线4x ? 2y ? 1 ? 0的距离是,求 a的值.可先将直线2x ? y ? a ? 0化为4x ? 2y ? 2a ? 0, 7 5 然后用公式,得 ? ,从而得到a ? 3或 ? 4. 2 2 10 4 ?2 | 2a ? 1|

3.光线反射问题、角平分线问题、折叠问题都是 对称问题.关于对称问题,有如下规律:
对称 关于点对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于直线y=x对称 关于直线y=-x对称 关于直线y=x+1对称 关于直线y=-x+1对称 解决办法 用中点坐标公式 x不变,y换成-y y不变,x换成-x x换成y,y换成x x换成-y,y换成-x x换成y-1,y换成x+1 x换成1-y,y换成1-x

轴对称

斜率之积等于-1,中点在对称轴上

1.(2010?   上海卷)圆C:x2 ? y 2 ? 2x ? 4y ? 4 ? 0的圆心到 直线3x ? 4y ? 4 ? 0的距离d ? ________.
解析:圆心 ?1, 2 ? 到直线3x ? 4y ? 4 ? 0的距离 3 ?1 ? 4 ? 2 ? 4 为 ? 3.答案: 3 5

? x ? 2 ? cos ?  (2010? 2. 重庆卷)若直线y ? x ? b与曲线 ? ? y ? sin ? (? ? [0, 2? ))有两个不同的公共点,则实数b的取值范 围为(    ) A. ? 2, (2 1) C. ,? 2 ) ? (2 ? 2, ?) (?? 2 ? B. ? 2,? 2 ] [2 2 D. ? 2,? 2 ) (2 2

? x ? 2 ? cos ? 2 解析:曲线方程 ? 化为普通方程得 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1, ? y ? sin ? 它表示圆.因为直线与圆有两个不同的公共点, | 2?b| 所以 ? 1,解得2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 .答案:D 2

选题感悟:本节内容在考题中主要以四种形式呈现: 一是判断两直线的位置关系或利用垂直和平行求参数 的值或范围;二是利用题设条件求直线的倾斜角、斜 率或倾斜角、斜率的范围;三是求直线的方程或求直 线的交点;四是求距离问题.虽然本节的知识较基础, 但公式较多,复习时要回归课本,记牢公式,力争考 试时不丢分


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