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高中数学排列组合知识总结

时间:2013-03-05


排列组合问题的解题策略
排列组合综合问题的一般解题规律: 1)使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取 的方式而定: “分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件,所以分类 计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰,相互独立,不论哪类办法都 能将事情单独完成;而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件,所以 分步计数原理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成这件事, 步与步之间互不影响,即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。 2)排列与组合定义相近,它们的区别在于是否与顺序有关。 3)处理排列、组合综合问题,一般思想是先选元素(组合) ,后排列,按元素 的性质进行“分类”和按事件的过程“分步” ,始终是处理排列、组合问题的基 本原理和方法,掌握分类和分步的基本技能,达到分类标准明确,分步层次清 楚,不重不漏。 总之,解决排列组合问题的基本规律,即:分类相加,分步相乘,排组分清, 加乘明确;有序排列,无序组合;正难则反,间接排除等。 下面介绍几种常用的解题方法和策略。 一、特殊元素——优先考虑法。 对于特殊元素(位置)的排列组合问题,一般先考虑特殊,再考虑其他。 例 1、 用 0,2,3,4,5,五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数 共有(B ) 。 A. 24 个 B.30 个 C.40 个 D.60 个

例 2. (1995 年上海高考题) 1 名老师和 4 名获奖学生排成一排照像留念,若老 师不排在两端,则共有不同的排法 种. (72 种)

二.正难则反——总体排除法。 对于含“至多”或“至少”的排列组合问题,若直接解答多需进行复杂讨论, 可以考虑“总体去杂” ,即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉,从而计算 出符合条件的排列组合数的方法. 例 3、从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要甲型与乙型电 视机各一台,则不同的取法共有( )种. A.140 种 B.80 种 C.70 种 故选 C. D.35 种

例 4.(1996 年全国高考题)正六边形的中心和顶点共 7 个点,以其中 3 个点为顶 点的三角形共有多少个. 解:从 7 个点中取 3 个点的取法有 种,但其中正六边形的对角线所含的中心和 顶点三点共线不能组成三角形,有 3 条,所以满足条件的三角形共有 35-3= 32 个. 三.相邻问题——用捆绑法。 在解决几个元素要求相邻的问题时,先整体考虑,将相邻的元素“捆绑”起来, 看作一“大”元素与其余元素排列,然后再考虑大元素内部各元素间顺序。 例 5、7 名学生站成一排,甲、乙必须站在一起有多少不同排法? 例 6、有 8 本不同的书;其中数学书 3 本,外语书 2 本,其它学科书 3 本.若将 这些书排成一列放在书架上,让数学书排在一起,外语书也恰好排在一起的排 法共有( )种.(A55 A33 A22=1440(种)) 四.不相邻问题——用插空法” 。 不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其它元素将它们隔开.解决此类问 题可以先将其它元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两 端位置. 例 7、 7 名学生站成一排,甲乙互不相邻有多少不同排法? 例 8、用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数,要求 1 与 2 相

邻, 与 4 相邻, 与 6 相邻, 7 与 8 不相邻。 2 5 而 这样的八位数共有( )个. (A22 A22 A33 A42=288(种)) 五.顺序固定问题——用等几率相除法。 对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进 行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。 例 9、 6 个人排队,甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有 多少种? 分析:不考虑附加条件,排队方法有 A66 种,而其中甲、乙、丙的 A33 种排法 中只有一种符合条件。故符合条件的排法有 A66 ÷A33 =120 种。(或 A63 种) 例 10、 4 个男生和 3 个女生,高矮不相等,现在将他们排成一行,要求从左到 右女生从矮到高排列,有多少种排法。 解:先在 7 个位置中任取 4 个给男生,有 A74 种排法,余下的 3 个位置给女生, 只有一种排法,故有 A74 种排法。(也可以是 A77 ÷A33 种) 六.附加条件多——枚举法。 题中附加条件多,特殊元素或特殊位置多(3 个以上) ,直接解决困难时,将每 种情况逐个列出。 例 11.将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的方格中,每方格填 1 个,方 格标号与所填数字均不相同的填法种数有( A.6 B.9 C.11 ) D.23

解:第一方格内可填 2 或 3 或 4,如第一填 2,则第二方格可填 1 或 3 或 4,若 第二方格内填 1,则后两方格只有一种方法;若第二方格填 3 或 4,后两方格也 只有一种填法。一共有 9 种填法,故选 B 七、多元问题——分类讨论法 对于元素多,选取情况多,可按要求进行分类讨论,最后总计。 例 12. (2003 年北京春招)某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开

演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的 种数为(A ) A.42 B.30 C.20 D.12

八、排列组合混合问题——先选后排法 对于排列组合的混合应用题,可采取先选取元素,后进行排列的策略. 例 13. (2002 年北京高考)12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查, 若每个路口 4 人,则不同的分配方案共有(
4 4 A、 C12C84C4 种 4 4 4 B、 3C12C8 C4 种 4 3 C、 C12C84 A3 种

)故选 A。
D、
4 4 C12C84C4 种 3 A3

例 14. (2003 年北京高考试题)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选 出 3 种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方 法共有( )选 C. A.24 种 B.18 种 C.12 种 D.6 种

九、元素相同问题——隔板法。 对于元素相同问题,构造一个隔板模型来解决问题。
3 例 15、方程 a+b+c+d=12 有多少组正整数解? C11

例 16.有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。 在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7 个班级,每一种插板方法对应一种分法共有 C96 种分法。 十.平均分组问题。 例 17. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法? 解: 分三步取书得 C62C42C22 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书 为 ABCDEF,若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该分法记为 (AB,CD,EF),则 C62C42C22 中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 A 3 种 3 2 2 2 3 取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有 C6 C4 C2 / A 3 种分法。 排列组合练习题: 1、将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法? 5 ( C13C84C44 / A 2 ) 2

2、 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组, 10 有多少种不同的分组方法 (1540) 3、某校高二年级共有六个班级,现从外地转入 4 名学生,要安排到该年级的两 2 2 个班级且每班安排 2 名,则不同的安排方案种数为______( C42C22 A6 / A 2? 90 ) 4、10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法? C94 3 5、 x ? y ? z ? w ? 100 求这个方程组的自然数解的组数 C103 6、由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两 个位置. 1 先排末位共有 C3 1 然后排首位共有 C4 最后排其它位置共有 A43 1 3 1 C4 A4 C3 1 1 3 由分步计数原理得 C4C3 A4 ? 288 7、 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 5 2 2 A5 A2 A2 ? 480 种 8、练习题:某人射击 8 枪,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不 同种数为 20 9、.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则 4 节目的出场顺序有多少种? A5 A6 种 5 10、某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节 目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同 插法的种数为 30 11、7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元 素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数, 则共有不同排法种数是: A 7 / A 3 7 3 4 (空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 7 种方法, 其余的
4 三个位置甲乙丙共有 1 种坐法,则共有 A 7 种方法。

思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次插入共有 方法 12、10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加, 5 共有多少排法? C10 13、有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同 的装法. 解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C52 种方法.再把 4 个元素(包 含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有 A 4 种方法, 根据分步计数原理装 4 球的方法共有 C52 A 4 4 14、 一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,

每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种 15.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法 解:10 演员中有 5 人只会唱歌,2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人 员为标准进行研究,只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 C32C32 种,只
1 1 会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员 C5C3C42 种,只会唱的 5 人中只有 2 人

选上唱歌人员有 C52C52 种,由分类计数原理共有
2 2 1 1 2 2 2 C3 C3 ? C5C3C4 ? C5 C5 种。

16.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投 入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子 的编号相同,有多少投法 解:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C52 种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应, 利用实际操作法,如果剩下 3,4,5 号球, 3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时, 则 4,5 号球有只有 1 种装法,同理 3 号球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数原理有 2C52 种

5

3

4

3 号盒 4 号盒 5 号盒 17.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年 卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种? (9) 18.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色方 法有 72 种
1 3 2 5 4

19. (2000 年全国高考题)乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员,派 5 名队 员参加比赛,3 名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余 7 名队员选 2 名安 排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有 种. (252 种.)


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