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黑龙江齐齐哈尔市五校联谊2018届高三上学期期末联考数学(理)试题+Word版含答案

时间:2018-02-19


“五校联谊”2017~2018 学年度上学期高三年级期末考试 理科数学试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

1.设集合 A ? ?? 1,0,1,2?,集合 B ? x y ? 3x ? x 2 ,则 A ? B ? ( A. ?0,2? 2.计算复数 z ? A. B. ?0,1,2? C. ?1,2? ) C. ) C. ? 0, D. ?1,2?

?

?



1 3 ? i 2 2

2?i ? i 的结果是( 1? i 1 3 B. ? i 2 2

3 1 ? i 2 2

D.

3 1 ? i 2 2

3.函数 f ?x? ? 3 ? lg x 定义域为(

? A. ?0,1000

? B. ?3,1000
? ? ? ? ?

1 ? ? ? 1000? ?


D. ?

? 1 ? ,3? ?1000 ?

4.对于非零向量 a, b ," a ? b ? 0" 是“ a / / b ”的( A.充分不必要条件 也不必要条件 B.必要不充分条件

?

?

C.充要条件

D.既不充分

?y ? x ? 5.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? x ? 4 y 的最大值为( ? y ? 3x ? 6 ?
A. 2 B. 5 C. 15 D. 12



6.下图为一个几何体的侧视图和俯视图,若该几何体的体积为

4 ,则它的正视图为( 3



A.

B.

C.

D.

7.等比数列 ?an ?的前三项和 S3 ? 13,若 a1 ? a2 ? 2 ? a3 成等比数列,则公比 q ? ( A. 3 或



1 3

B. ? 3或

1 3

C. 3或 ?

1 3

D. ? 3 或 ?

1 3


8.执行如图所示的程序框图,若输出的 n ? 7 ,则输入的整数 K 的最大值是(

A. 78

B. 50

C. 18

D. 306

9.有黑、白、红三种颜色的小球各 5 个,都分别标有数字 1,2,3,4,5 ,现取出 5 个,要求这 5 个 球数字不相同但三种颜色齐备,则不同的取法种数有( A. 120 种 B. 150 种 C. 240 种 ) D. 260 种

x2 y 2 10.过双曲线 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的右焦点 F 和虚轴的一端点 B 作一条直线,若右顶点 a b
A 到直线 FB 的距离等于
A. 2 B. 2或

b ,则该双曲线的离心率 e 为( 7
4 5
C. 2 2 或 2



D. 2

11.已知函数 y ? g ?x ? 满足 g ?x ? 2? ? ? g ?x ? ,若 y ? f ?x ? 在 ?? 2,0? ? ?0,2? 上为偶函数,且 其解析式为 f ?x ? ? ? A. ? 1

?log2 x,0 ? x ? 2 ,则 g ?? 2017? 的值为( ? ? g x , ? 2 ? x ? 0 ?
C.



B. 0

1 2

D. ?

1 2

12.设 f ?x ?, g ?x ? 是 R 上的可导函数, f ??x ?, g ??x ? 分别为 f ?x ?, g ?x ? 的导函数,且满足

f ??x?g ?x? ? f ?x?g??x? ? 0 ,则当 a ? x ? b 时,有(
A. f ?x ?g ?x ? ? f ?b?g ?x ? C. f ?x ?g ?x ? ? f ?b?g ?b?



B. f ?x ?g ?a ? ? f ?a ?g ?x ? D. f ?x ?g ?x ? ? f ?b?g ?a ? 第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.若 sin ? a ?

? ?

??
2

4 ? ? , a 为第二象限角,则 tan?? ? a ? ? . 2? 5

? 1 ? ? 的展开式中 x 2 项的系数为. 3 x ? 14. ? ? 2 ? 3 x ? ?
15.不难证明:一个边长为 a ,面积为 S 的正三角形的内切圆半径 r ?

2S ,由此类比到空间, 3a

若一个正四面体的一个面的面积为 S ,体积为 V ,则其内切球的半径为. 16.在平行四边形 ABCD 中, ?A ?

?
3

,边 AB, AD 的边长分别为 2,1 ,若 M , N 分别是边

BC, CD 上的点,且满足

BM BC

?

CN CD

,则 AM ? AN 的取值范围是.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知在 ?ABC 中, 2 B ? A ? C ,且 c ? 2 a. (1)求角 A, B, C 的大小; (2)设数列

?an ?满足 a

n

? 2n cosnC ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 20 ,求 n 的值.
1 , 汽车走路②堵 4

18.已知从 A 地去 B 地有①或②两条路可走, 并且汽车走路①堵车的概率为

车的概率为 p ,若现在有两辆汽车走路①,有一辆汽车走路②,且这三辆车是否堵车相互之 间没有影响, (1)若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为

7 ,求走路②堵车的概率; 16

(2)在(1)的条件下,求这三辆汽车中被堵车辆的辆数 ? 的分布列和数学期望. 19.如图所示, PA ? 平面 ABC ,点 C 在以 AB 为直径的⊙ O 上, ?CBA ? 300 ,

PA ? AB ? 2 ,点 M 在 A B 上,且 OM // AC ,

?

(1)求证:平面 PAC ? 平面 PCB ; (2)设二面角 M ? BP ? C 的大小为 ? ,求 cos ? 的值.

20.已知椭圆

x2 y 2 6 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的离心率 e ? ,过点 A?0,?b? 和 B?a,0? 的直线与原点 2 a b 3

的距离为

3 . 2

(1)求椭圆的方程; (2)已知定点 E ?? 1,0? ,若直线 y ? kx ? 2?k ? 0? 与椭圆交于 C , D 两点, 问: 是否存在 k 的值, 使以 CD 为直径的圆过 E 点,请说明理由. 21.已知常数项为 0 的函数 f ?x ? 的导函数为 f ?? x ? ? a ? (1)当 a ? ?1 时,求 f ?x ? 的最大值; (2)若 f ?x ? 在区间 ?0, e? ( e 为自然对数的底数)上的最大值为 ? 3 ,求 a 的值. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,取相同的长度单位, 若曲线 C1 的极坐标方程为 ? sin ? ? ?1 , 曲线 C2 的参数方程为 ? 设 P 是曲线 C1 上任一点, Q 是曲线 C2 上任一点.

1 ,其中 a 为常数. x

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) , ? y ? ?2 ? 2 sin ?

(1)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (2)已知直线 l : x ? y ? 2 ? 0 ,点 P 在曲线 C2 上,求点 P 到 l 的距离的最大值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ? 3 ? 2, g ?x? ? ? x ? 1 ? 4 . (1)求不等式 f ?x ? ? 1 的解集; (2)若不等式 f ?x ? ? g ?x ? ? m ? 1 的解集为 R ,求 m 的取值范围.

试卷答案 一、选择题 1-5: BDAAC 二、填空题 13. 6-10: BAABD 11、12: BC

3 4

14. ? 2835

15.

3V 4S

16. ?2,5?

三、解答题 17.解:(1) 由已知 2 B ? A ? C ,又 A ? B ? C ? ? ,所以 B ? 又由 c ? 2a ,所以 b 2 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a cos 所以 ?ABC 为直角三角形, C ? (2) an ? 2 cos nC ? 2 cos
n n

?
3

,

?
3

? 3a 2 ,所以 c 2 ? a 2 ? b 2 ,

?
2

,A?

?
2

?

?
3

?

?
6

,

n? ?0, n为奇数 ?? 2 ?2, n为偶数
4 2k

所以 Sn ? S2 k ?1 ? S2 k ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 ? ...... ? 0 ? 2
2

?

22 k ? 2 ? 4 , k ? N * ,由 3

Sn ?

22 k ? 2 ? 4 ? 20 ? 22 k ? 2 ? 64 3

解得 2k ? 2 ? 6 ,所以 k ? 2 ,所以 n ? 4 或 n ? 5

1 3 7 ?3? 18.解:(1)由已知条件得 C ? ? ? ?1 ? p ? ? ? ? ? p ? , 4 4 16 ?4?
1 2

2

即 3 p ? 1 ,则 p ?

1 . 3

(2) ? 可能的取值为 0,1,2,3.

3 3 2 3 ? ? ? , 4 4 3 8 7 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 P ?? ? 1? ? , P ?? ? 2 ? ? ? ? ? C2 ? ? ? ? , P ?? ? 3? ? ? ? ? 16 4 4 3 4 4 3 6 4 4 3 48 P ?? ? 0 ? ?

? 的分布列为

所以 E ?? ? ? 0 ? ? 1?

3 8

7 1 1 5 ? 2 ? ? 3? ? 16 6 48 6

19.(1)证明:? 点 C 在以 AB 为直径的 ? O 上,

? ?ACB ? 900 ,即 BC ? AC ,
而 PA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 则 PA ? BC ,

? AC ? 平面 PAC , PA ? 平面 PAC , A ? A C A? ,P
而 BC ? 平面 PBC

,? BC ? 平面 PAC ,

? 平面 PAC ? 平面 PCB .
(2)如图,以 C 为原点, CA 所在的直线为 x 轴, CB 所在的直线为 y 轴,建立空间直角坐 标系 C ? xyz

? ?CBA ? 300 , PA ? AB ? 2

?CB ? 2cos300 ? 3, AC ? 1
延长 MO 交 CB 于点 D ,

? OM / / AC ? MD ? CB
MD ? 1 ? 1 3 1 3 ? , CD ? CB ? 2 2 2 2

??? ? ??? ? ?3 3 ? ,则 CP ? ?1, 0, 2 ? , CB ? 0, 3, 0 ? P ?1, 0, 2 ? , C ? 0, 0, 0 ? , B 0, 3, 0 , M ? , , 0 ? ?2 2 ? ? ?

?

?

?

?

设平面 PCB 的法向量是 m ? ? x, y, z ?

?

? ? ??? ? ?m ? CP ? 0 ? ?x ? 2z ? 0 由 ? ? ??? 得? ,令 z ? 1 ,则 x ? ?2, y ? 0 ? 3 y ? 0 ? m ? CB ? 0 ? ? ? ? ? 得 m ? ? ?2,0,1? ,同理可求平面 PMB 的一个法向量 n ? 1, 3,1

?

?

? m?n 1 ? ? cos ? m, n ?? ? ? ? ? m n 5
? cos ? ? 1 5

20.(1)直线 AB 方程为: bx ? ay ? ab ? 0 ,

?c 6 ? ? ?a ? 3 3 ?a ? 依题意 ? ,解得 ? 3 ? ?b ? 1 ? ab ? 2 2 ? 2 ? a ?b
所以椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(2)假若存在这样的值,由 ?
2

? y ? kx ? 2 ?x ? 3y ? 3 ? 0
2 2

,得 1 ? 3k 2 x 2 ? 12kx ? 9 ? 0

?

?

?? ? ?12k ? ? 36 ?1 ? 3k 2 ? ? 0 ①
12k ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 3k 2 设 C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,则 ? ② ?x x ? 9 ? 1 2 1 ? 3k 2 ?
而 y1 y2 ? ? kx1 ? 2?? kx2 ? 2? ? k x1x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4
2

要使以 CD 为直径的圆过点 E ? ?1,0? ,当且仅当 CE ? DE 时,则

y1 y ? 2 ? ?1 ,即 x1 ? 1 x2 ? 1

y1 y2 ? ? x1 ?1?? x2 ?1? ? 0

?k

2

? 1? x1 x2 ? ? 2k ? 1? x1 x2 ? 5 ? 0 ③

将②带入③整理解得 k ? 综上可知存在 k ?

7 7 ,经检验, k ? 使①成立 6 6

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E. 6 1 21.(1)因为 f ? ? x ? ? a ? ,? f ? x ? ? ax ? ln x x
当 a ? ?1 时, f ? x ? ? ?x ? ln x

f ?? x? ? 1?

1 1? x ? x x

当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,

? f ? x ? 在 ? 0,1? 上是增函数,在 ?1, ?? ? 上是减函数, f ? x ?max ? f ?1? ? ?1
(2)? f ? ? x ? ? a ?

1 1 ?1 ? , x ? ? 0, e? ,? ? ? , ?? ? x x ?e ?

①若 a ? ? ,则 f ? ? x ? ? 0, f ? x ? 在 ? 0, e 上是增函数,

1 e

?

? f ? x ?max ? f ? e? ? ae ?1 ? 0 ,不合题意,
②若 a ? ? ,则由 f ? ? x ? ? 0 ? a ?

1 e

1 1 ? 0 ,即 0 ? x ? ? ,由 a x

f ?? x? ? 0 ? a ?
减函数,

1 1 1? ? ? 1 ? ? 0 ? ? ? x ? e ,从而 f ? x ? 在 ? 0, ? ? 上为增函数,在 ? ? , e ? 上为 x a a? ? ? a ?

? 1? ? 1? ? f ? x ?max ? f ? ? ? ? ?1 ? ln ? ? ? , ? a? ? a?
令 ?1 ? ln ? ?

1 ? 1? ? 1? 2 ?2 ? ? ?3, 则 ln ? ? ? ? ?2,?? ? e ,即 a ? ?e a ? a? ? a?

1 ? ?e2 ? ? ,? a ? ?e2 为所求. e
2 22.(1) C1 的直角坐标方程为 y ? ?1 , C2 的普通方程为 x ? ? y ? 2 ? ? 4 2

由?

? ?x ? 3 ? ?x ? ? 3 ? y ? ?1 ? ,得 ? 或? 2 2 ? ? ? y ? ?1 ? ? y ? ?1 ? x ? ? y ? 2? ? 4

又?

?? 3?

2

? ? ?1? ? 2,
2

?1 3 3 7 ? ? ? ?1 ?? ? tan ? ? ? , ? ? tan ? , 3 6 3 ? 6? ? 3 3
? ?

所以 C1 与 C2 的交点极坐标为 ? 2, ?

?? ? 7 ? ? 与 ? 2, ? ? 6 6
? ? ?

(2)圆 C2 的圆心 ? 0, ?2 ? 到直线 l 的距离为 d ? 所以点 P 到 l 的距离的最大值为 2 2 ? 2 .

2?2 ? 2 2 ,圆半径为 2 2

23.(1)由题意得 f ? x ? ? 1 ,即 x ? 3 ? 2 ? 1 ,得 x ? 3 ? 3 解得 0 ? x ? 6 ,所以 x 的取值范围是 0,6 . (2) f ? x ? ? g ? x ? ? x ? 3 ? x ? 1 ? 6 因为对于 ?x ? R ,由绝对值的三角形不等式得 f ? x ? ? g ? x ? ? x ? 3 ? x ? 1 ? 6

? ?

3 ? x ? x ? 1 ? 6 ? ? 3 ? x ? ? ? x ? 1? ? 6 ? 4 ? 6 ? ?2
于是 m ? 1 ? ?2 ,得 m ? ?3 ,即 m 的取值范围是 ? ??, ?3

?


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