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高考数学专题复习:圆锥曲线能力训练

时间:2017-12-18


高考数学专题复习:圆锥曲线能力训练
(一)选择题 ( )1.在△OAB 中,O 为坐标原点, A(1, cos ? ), B(sin ? ,1), ? (A) .?
6

? (0,

? ,则当△OAB 的面积达最大值时,? ]
2

?

(B) .?
4

(C) .?
3

(D) .?
2

( )2.设集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长},则 A 所表示的平面区域(不含边界阴影部分)是

( )3.若直线 2 x ? y ? c ? 0 按向量 a ? (1,?1) 平移后与圆 x 2 ? y 2 ? 5 相切,则 c 的值为 (A) .8 或-2 (B) .6 或-4 (C) .4 或-6 (D) .2 或-8

x ? 2 ? 0, ( )4.已知点 P(x,y)在不等式组 ? ?

? y ? 1 ? 0, ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

表示的平面区域上运动,则 z=x-y 的取值范围是

(A) .[-2,-1]
2

( B) .[-2,1]
2

(C) .[-1,2]

(D) .[1,2]

( )5. 若动点(x,y)在曲线 x ? y ? 1 (b>0)上变化,则 x2?2y 的最大值为 2
4 b
?b 2 ?b 2 (A) ? ? 4 (0 ? b ? 4) ; (B) ? ?4
?4 ? ? 2b (b ? 4)
2

? 4 ? ? 2b

( 0 ? b ? 2) ; (b ? 2)

2 (C) b ? 4 ; 4

(D) 2b。

( )6.函数 y=ax +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a= (

(A) 1
8

(B) 1
4

(C) 1

2

(D)1

2 2 ) 7. 设双曲线以椭圆 x ? y ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为

25

9

(A) .? 2

(B) .?

4 3

(C) .? 1

2

(D) .?

3 4

2 2 ( )8.从集合{1,2,3…,11}中任选两个元素作为椭圆方程 x ? y ? 1 中的 m 和 n,则能组成落在矩形区域 B={(x,y)| 2 2

m

n

|x|<11 且|y|<9}内的椭圆个数为
2

(A) .43

(B) . 72 (C) . 86

(D) . 90

( )9.过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线 (A) .有且仅有一条 (B) .有且仅有两条 (C) .有无穷多条 (D) .不存在
4

2 ( )10.设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ? ,若 l ? 与椭圆 x 2 ? y ? 1 的交点为 A、B、 ,点 P 为椭圆上的

动点,则使 ?PAB 的面积为 1 的点 P 的个数为
2

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

( )11.已知双曲线的中心在原点,离心率为 3 .若它的一条准线与抛物线 y 2 ? 4 x 的准线重合,则该双曲线与抛物 2 线 y ? 4 x 的交点到原点的距离是 (A)2 3 + 6 (B) 21 (C)18 ? 12 2 (D)21 x2 y 2 ( )12.已知双曲线 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 ,点 M 在双曲线上且 MF1 ? x 轴,则 F1 到直线 F2 M 的距离为 6 3 (A)
3 6 5

(B)

5 6 6

(C) 6
5

(D) 5
6

( )13.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则 椭圆的离心率是 (A) 2 (B) 2 ? 1 (C) 2 ? 2 (D) 2 ? 1
2

2

1

( )14.抛物线 y=4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 ( A ) 17 ( B ) 15 ( C ) 7 ( D ) 0
16
2 2

16

8

( )15.点 P(-3,1)在椭圆

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上.过点 P 且方向为 a=(2,-5)的光线,经直线 y =-2 反射后通 2 a b
(A)
3 3

过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为 ( )16.已知双曲线
2 2

(B)

1 3

(C)

2 2

(D) 1

2

2 x y - 2 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于点 A,△OAF 的面积为 a (O 2 a b 2 为原点) ,则两条渐近线的夹角为 (A)30? (B)45? (C)60? (D)90?

2 2 ( )17.双曲线 x ? y ? 1(m n ? 0) 离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,则 mn 的值 m n

(A) 3

16

(B) 3
8

(C) 16
3

(D) 8

3

( )18.已知定点 A、B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是(A) 1 (B) 3 (C) 7 (D)5
2 2
2

( )19. 已知双曲线 (A) 4
3

x

2

?

y
2

2

? 1 的焦点为 F1、F2,点

M 在双曲线上且 MF1 ? MF 2 ? 0, 则点 M 到 x 轴的距离为
3 3

???? ? ?????

(B) 5
3

(C) 2

(D) 3

2 2 ( )20.已知 F1、F2 是双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2,若边 MF1 的中 a b

点在双曲线上,则双曲线的离心率是 (二)填空题 21. 设实数 x, y 满足 ?

(A) 4 ? 2 3

(B) 3 ? 1

(C)

3 ?1 2

(D) 3 ? 1

?x ? y ? 2 ? 0 y __________________ ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 的最大值是 x ?2 y ? 3 ? 0 ?

22.设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 相交于点 A、B,则弦 AB 的垂直平分线方程是 23.已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A、B 两点,且|AB|= 3 ,则 OA ? OB = .

.

24.直角坐标平面 xoy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足 OP ? OA =4.则点 P 的轨迹方程是 . ??? ? ??? ? 25.以下四个关于圆锥曲线的命题中:①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,| PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线;
??? ? 1 ??? ? ??? ? ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ? (OA ? OB ), 则动点 P 的轨迹为椭圆; 2

③方程

2 2 2 2 x 2 ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④双曲线 x ? y ? 1与椭圆 x ? y 2 ? 1 有相同的焦点。 25 9 35

其中真命题的序号为

(写出所有真命题的序号) x ? 1 ? 2 cos? ( ? 为参数)化为普通方程,所得方程是__________ 26. 将参数方程 ? ? ? y ? 2 sin ?
1 ? ,B 是圆 F: ? x ? 1 ? ? y 2 ? 4 (F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P,则动点 P 27.已知 A? ? ? ? ? ,0 ? 2? ? ? 2 ? 的轨迹方程为________________________。
2 2 28. 过双曲线 x ? y ? 1 (a>0,b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、N 两点,以 MN 为直径的圆 2 2

2

a

b

恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于________.
2 2 29.设双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,右准线 l 与两条渐近线交于 P、Q 两点,如果 ?PQF 是直角三角 2 2

a

b

形,则双曲线的离心率 e=_____________.

2

(三)解答题

30.设向量 i =(1,0), j =(0,1), a =(x+m) i +y j , b =(x-m) i +y j ,且 a ? b =6,0<m<3,x>0,y∈R. (Ⅰ)求动点 P(x,y)的轨迹方程; (Ⅱ)已知点 A(-1,0),设直线 y= 1 (x-2)与点 P 的轨迹交于 B、C 两点,问是否存在实数 m,使得 AB · AC =
3

?

?

?

?

? ?

?

?

1 ?若 3

存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

31.过抛物线 C: y ? x 2 上不同的两点 M、N 的直线 l 交 y 轴于点 p(0,b) (1)若∠MON 是钝角(O 为坐标原点) ,求实数 b 的取值范围。 (2)若 b=2,曲线 C 在点 M、N 处的切线的交点为 Q,证明:点 Q 必在一条定直线上运动。

32. 如图:已知△OFQ 的面积为 2 6 ,且 OF ? FQ ? m , (1)若 6 ? m ? 4 6 时,求向量 OF 与 FQ 的夹角 ? 的 取值范围; (2)设 | OF |? c , m ? ( 6 ? 1)c 2 时,若以 O 为中心,F 为焦点的双曲线经过点 Q,当 | OQ | 取得最小值时, 4 求此双曲线的方程.

33. 圆锥曲线 C 的一个焦点为 F(2,0) ,相应的准线是直线 x ? 1 ,以过焦点 F 并与 x 轴垂直的弦为直径的圆截 准线 x ? 1 所得弦长为 2。 (Ⅰ)求圆锥曲线 C 的方程; (Ⅱ)当过焦点 F 的直线 l 的倾斜角 ? 在何范围内取值时,圆锥曲线 C 上有且只有两个不同的点关于直线 l 对称?

3

高考数学专题复习:圆锥曲线能力训练参考答案 一、DAACA BCBBA BCDBA DACCD 二、21. 3x ? 2 y ? 3 ? 0 22. ?

3 1 4 23. 24. x+2y-4=0 25. ③④ 26. (x-1)2+y2=4 27. x 2 ? y 2 ? 1 28. 2 29. 2 2 2 3
( x ? m ) 2 ? y 2 ? ( x ? m ) 2 ? y 2 ? 6.
上式即为点

三、30.解: (Ⅰ)∵ i

? (1,0), i ? (0,1), | a | ? | | b ? 6, ∴

P(x,y)到点(-m,0)与到点(m,0)距离之和为 6. 记 F1(-m,0),F2(m,0)(0<m<3).则 F1F2 =2m<6. ∴ PF + PF2 =6> F1F2 .又∵x>0, ∴p 点的轨迹是以 F1,F2 为焦点的椭圆的右半部分. 1 ∵2a=6, ∴a=3. 又∵2c=2m,∴c=m,∴b =a -c =9-m .
2 2 2 2

∴所求轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1( x ? 0,0 ? m ? 3). 9 9 ? m2

(Ⅱ)设 B(x1,y1),C(x2,y2).∴ AB ? ( x1 ? 1, y1 ), AC ? ( x2 ? 1, y2 ).∴ AB· AC ? x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y2 . 而 y1 y2 = ( x1 ? 2).

1 3

1 1 ( x 2 - 2) ? [ x1 x 2 - 2( x1 ? x 2 ) ? 4], 3 9

∴ AB ? AC

1 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? [ x1 x2 - 2( x1 ? x2 ) ? 4] = 1 [10 x1 x2 ? 7( x1 ? x2 ) ? 13]. 9 9
1 1 1 AC ? [ 10 x1 x2 ? 7( x1 ? x2 ) ? 13] ? 成立 .则由 AB · 9 3 3

若存在实数 m,使得 AB · AC ?

?10x1x2+7(x1+x2)+10=0.

1 ? y ? ( x - 2), ? 2 2 2 3 由? 消去 y,得(10-m )x -4x+9m -77=0 ? 2 2 ?x ? y ? 1( x ? 0) ? 9 ? m2 ?9

? ?△ ? 0 ?? ③ ? 4 由②,有 ? x ? x ? ? 0 ?? ④ ? 1 2 10 ? m 2 ? ? 9m 2 - 77 ?0 ?? ⑤ ? x1 x 2 ? 10 ? m 2 ?

由①、④、⑤解得 m =

2

321 ? 9 ,且此时△>0. 40

但由⑤,有 9m -77=

2

2889 3080 1 - ? 0 与题设矛盾.∴不存在符合题意的实数 m,使得 AB · AC ? . 40 40 3

31. (1) 解:设点 M、N 的坐标为 x1 , x1 , x 2 , x 2
2

?

2

? ?

2

? ?x

1

2 ? x2 ? 则 OM ? ( x1 , x12 ) , ON ? ( x2 , x2 )

?? ? k 2 ? 4b ? 0 ?y ? x ? 由题意可设直线 l 的方程为 y=kx+b,由 ? 得x 2 ? kx ? b ? 0 ? ? x1 ? x 2 ? k ? y ? kx ? b ? x ? x ? ?b ? 1 2
4

∵∠MON 为钝角 ∴ cos MON ? OM ? ON ? 0 且 cosMON≠-1, OM ? ON
2 2 又∵ OM ? ON ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? ?b ? b 2 ? 0

∴0<b<1

即:b∈(0,1)

(2)证明:当 b=2 时,由(1)知 ?

?x1 ? x2 ? k ∵函数 y ? x 2的导数y ? ? 2 x ∴抛物线在 M、N 两点处切线的斜率 x ? x ? ? b ? ? 2 ?1 2

2 分别为 K M ? 2x1 , K N ? 2x2 , ∴在点 M、N 处切线方程分别是 y ? x12 ? 2x1 ( x ? x1 ),y ? x2 ? 2 x2 ( x ? x2 )

联立两方程得

x ? x2 ? k ? x? 1 ?x ? Q(x,y)满足 ? 即 2 , 2 ? ? ? ? y ? ?2 ? y ? x1 ? x 2 ?

故 Q 点在定直线 y=-2 上运动。

?1 4 6 32. 解 : ( 1 ) 由 已 知 , 得 ? 2 | OF | ? | FQ | sin(π ? ? ) ? 2 6, 所以 t an ,因为 ?? ? m ?| OF | ? | FQ | cos? ? m, ?

6 ? m ? 4 6 ,所以

1 ? t an? ? 4 ,则

π ? ? ? arctan 4 . 4
x2 y2 (a>0,b>0) ,Q 点 ? ?1, a2 b2

(2)以 O 为原点, OF 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,设所求的双曲线方程为

的坐标为( x1 , y1 ) ,则 FQ =( x1 ? c , y1 ) ,因为△OFQ 的面积 1 | OF | ? y1 ? 2 6 ,所以 y1 ? 4 6 ,又由 OF ? FQ ? 2 c (c,0) ( x1 ? c , y1 ) ? ( x1 ? c)c ? (

6 96 3c 2 6 ? 1)c 2 ,所以 x1 ? c , | OQ |? x12 ? y12 ? ? ? 12 ,当且仅当 c=4 4 4 c2 8

?6 6 2 ? ? 2 ? 1, x2 y2 ?a ? 4, 2 时, | OQ | 最小,此时 Q 的坐标为( 6 , 6 ) ,由此可得 ? 解之得 故所求的方程为 ? ?1 ? 2 ?a b 4 12 ? b ? 12 , 2 2 ? ?a ? b ? 16, ? / / 33.解:(Ⅰ) 设过焦点 F 并与 x 轴垂直的弦为直径的圆为圆 C ,圆 M 与曲线 C 在第一象限的交点为 A,圆 C 与直线 x ? 1 | AF | / 正方向的交点为 B。 ∵圆 C 截直线 x ? 1 的弦长为 2∴ AF ? BF ? 2 ,∴ A(2, 2 ), e ? 由圆锥曲线的第二 ? 2 | 2 ?1 |
定义,对于曲线 C 上的任意点 M ( x, y) ,有 整理得圆锥曲线 C 的方程为
( x ? 2) 2 ? y 2 | x ? 1| ?e? 2

x2 ? y2 ? 2 ? (Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 ? ? 时, l : x ? 2 ,此时双曲线 C 上无任何两点关于直线 l 对称;

2 当直线 l 的倾斜角为 ? ? 0 时, l : y ? 0 ,此时双曲线 C 关于直线 l 对称,除顶点外,对双曲线上任一点都存在双曲 线上另一点关于直线 l 对称,不合要求。 ? 当 ? ? , ? ? 0 时,设 l : y ? k ( x ? 2) ,设 P ( x1 , y1 ) 、Q ( x 2 , y 2 ) 两点是双曲线 C 上关于直线 l 的对称点,PQ 中点为 2 1 T ( x 0 , y 0 ) ,直线 PQ 的方程为 y ? ? x ? m , k 1 ? ?y ? ? x ? m 由? ? (k 2 ? 1) x 2 ? 2kmx ? k 2 (m 2 ? 2) ? 0 k ?x 2 ? y 2 ? 2 ?
2 ? ?k ? 1 ? 0 由? ? k ? ?1且m 2 k 2 ? 2k 2 ? 2 ? 0 (1) 2 2 2 2 2 ? ?? ? 4k m ? 4k (k ? 1)(m ? 2) ? 0

由韦达定理及中点坐标公式,求得 T 点坐标 x0 ?

x1 ? x2 km 1 km mk 2 ? , y ? ? ? ? m ? ? 0 2 k 1? k 2 1? k 2 1? k 2
5

又 T 点在直线 l 上,∴ ?

? ? ? 3? (1) (2)联立得: (k 2 ? 1)(k 2 ? 1) ? 0 ? k ? ?1或k ? 1。∴直线 l 的倾斜角 ? 的范围是 ( , ) ? ( , ) 。 4 2 2 4

mk 2 km ? k( ? 2) ,整理得: mk ? 1 ? k 2 1? k 2 1? k 2

(2)

例 1:小明家中有两种酒杯,一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形,称之为直角酒杯(如图 1),另一种酒杯的轴截面近 似一条抛物线,杯口宽 4cm,杯深为 8cm(如图 2),称之为抛物线酒杯. ⑴ 请选择适当的坐标系,求出抛物线酒杯的方程. ⑵ 一次,小明在游戏中注意到一个现象,若将一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中,则任何玻璃球能触及 酒杯杯底.但若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中,则有些小玻璃球能触及酒杯杯底.小明想用所过数学知识研究一下, 当玻璃球的半径 r 为多大值时,玻璃球一定会触及酒杯杯底部.你能帮助小明解决这个问题吗?

解:⑴ 如图 1,以杯底中心为原点,建立直角坐标系,设抛物线方程为 x =2py( p>0). 将 x=2,y=8 代入抛物线方程,得 p=
1 1 ,∴ 抛物线方程为 x 2 ? y . 4 2

2

⑵ (法 1)由题意,要想玻璃珠触及杯底,只需在 y 轴上找一点 P(0,r),使得抛物线上的点到 P 点距离最近的点是 顶点 O 即可.设抛物线上任一点 M(x,y),则 MP2 ? x2 ? ( y ? r )2 ,联立抛物线方程得
2 1 1 1 可知 MP 在 y≥0 时是增函数, 即当 y=0 MP 2 ? y 2 ? ( ? 2r ) y ? r 2 (y≥0)对称轴为 y= ? ? r ,当对称轴 ? ? r =0 时, 2 4 4

时有最小值,也即最近点是原点 O.故 0 ? r ≤

1 1 ,即当 0<r≤ 时,玻璃球一定会触及杯底 4 4
2 2 2 2

(法 2)设圆心在 y 轴正半轴上,且过原点的圆的方程为 x +( y-r) =r ,将之代入抛物线方程,消去 x,得 y + (

1 -2r)y=0. 2

∴ y1=0,y2=2r-

1 . 2
2
4

若要使玻璃球在杯中能触及杯底,则要 y2=2r- 1 ≤0.即当 0<r≤ 1 时,玻璃球一定会触及杯底. 例 2:如图所示,直角坐标平面上的几何图形由一些边长为 1,2,3,4,5,…… ,n 的正方形构成。 (1)写出直线 B1 B2 的方程,并证明点 Bn?1 在此直线上; (2)考察图中若干行小正方形的面积之和可以得到一些等式如下:

1 ? 12 ? 1,1 ? 12 ? 2 ? 2 2 ? 9,1 ? 12 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 3 2 ? 36, 1 ? 12 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 3 2 ? 4 ? 4 2 ? 100 , ??
由此,请你利用图中所有小正方形的面积之和猜想出一个与自然数 n 有关的等式(不必证明) ; (3)试利用图中直角三角形 OABn 的面积来说明你给出的猜想是合理的。 解: (1)直线 B1 B2 的方程是 y ?

1 x , Bn?1 ??n ? 1? ? n,1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1)? , 2
6

即 Bn ?1 ? n(n ? 1),

? ?

n(n ? 1) ? ? 满足此方程, 2 ?

∴点 Bn?1 在此直线上。

? n(n ? 1) ? (2) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? ? ? 2 ?
3 3 3 3

2

(3)图中,每一行中的阴影部分面积相等,∴图中所有正方形的面积之和等于 ? OABn 的面积 ∴1? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? n ?
2 2 2 2

1 1 OA ? AB n ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? ?n ? 1?n 2 2

?

1 n?n ? 1? ? n?n ? 1?? ? ? n?n ? 1? ? ? ? 2 2 ? 2 ?
3 3 3 3

2

? n(n ? 1) ? 即 1 ? 2 ? 3 ??? n ? ? ? ? 2 ?

2

7


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