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导数的应用2(恒成立问题)

时间:2012-05-02


导数的应用( ) 导数的应用(2)
1 基本模式

(1) f ( x ) ≥ m( x ∈ D ) 恒成立 ? f ( x ) min ≥ m ( m 为常数) ; (2) f ( x ) ≤ m( x ∈ D) 恒成立 ? f ( x )max ≤ m ( m 为常数).

2

变式
已知 f ( x ) ≥ m( x ∈ D) 恒成立,其中 f ( x ) 表达式含参数 k , m 为确定常数.

2.1 函数表达式含参数: 函数表达式含参数:

2.2 常用解法: 常用解法:
若是熟悉的常见函数(如一次函数型、二次函数型、双钩函数型等) ,可直接对 k 分类 讨论最小值: f ( x ) min ≥ m ;此法较一般,典型如二次函数在闭区间上最值问题的含参 讨论; 例1: : ( 全 品 》 P . 变 式 ) 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 2ax + 1 ? a , f ( x ) ≤ 2 对 一 切 《 16
2

x ∈ [0, 2] 恒成立.求常数 a 的取值范围.

非常见函数用上法讨论过于复杂时, 首先考虑用 “参变量分离” 将问题转化为前述 , “基 本模式” ;

“参变量分离” 有时会遇到作除法时除数正负不定的情况, 可考虑对自变量 “分段讨论” ; ( 《精编》 101 , 6 题) P 第 已知函数 f ( x ) = ax ? 3 x + 1 ,f ( x ) ≥ 0 对一切 x ∈ [ ?1,1]
3

例2: :

恒成立.求常数 a 的取值范围.

上述“错误!未找到引用源。例 1: 例 : ”也可用此法. “分段讨论”过于复杂时,或“参变量分离”后,用导数法求“新函数”最值较困难时, 也可采用解法①; 此类解法在 2010 年各地高考导数综合题中较为常见(上述“例 2: ”也可用此法).如: 例 :

例3: :

(2010 湖北理,21)已知函数 f ( x ) = ax +

b + c(a > 0) 的图像在点 (1, f (1) ) 处的 x

切线方程为 y = x ? 1 . (1) 用 a 表示 b, c ; (2) (*)若 f ( x ) ≥ ln x 在 [1, +∞ ) 上恒成立,求 a 的取值范围; (3) 证明: 1 +

1 1 1 n + + L + > ln ( n + 1) + ( n ≥ 1) . 2 3 n 2 ( n + 1)

3

此类问题常见呈现方式

3.1 直接求证不等式恒成立; 直接求证不等式恒成立;
例4: : (2011 届湖北八校第一次联考)已知函数 f ( x ) = ln ?

?1 1 ? 2 + ax ? + x ? ax(a > 0) . ?2 2 ?

1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值; 2 1 (2) (*)求证:当 0 < a ≤ 2 时, f ( x ) 在 [ , +∞ ) 上是增函数; 2 1 (3) 若对于 ?a ∈ (1, 2 ) ,总存在 x0 ∈ [ ,1] ,使得不等式 f ( x0 ) > m (1 ? a 2 ) 成立,求实 2 数 m 的取值范围.
(1) 若 x =

3.2 已知(含参)不等式恒成立,求参数取值范围; 已知(含参)不等式恒成立,求参数取值范围;

3.3 已知函数在区间上的单调性:函数为常见函数时,直接讨论其本身单调区间 已知函数在区间上的单调性:函数为常见函数时,直接讨论其本身单调区间 本身 和已知区间的关系; 非常见函数时, 常用导数法, 转化为 f ' ( x ) ≥ 0(或 f ' ( x ) ≤ 0 ) 和已知区间的关系; 非常见函数时, 常用导数法, 恒成立; 恒成立; 3.4 由较复杂不等式恒成立问题转化而来,如: 由较复杂不等式恒成立问题转化而来,
已知 f ( x ) ≥ g ( x )( x ∈ D ) 恒成立 ? F ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) ≥ 0 ( x ∈ D ) 恒成立. 如: 例5: : ( 《全品》 31 .例 5) P 已知 f ( x ) = x ? ax, g ( x ) =
3

1 2 5 x ? ln x ? , x ∈ (1, +∞ ) 时, 且 2 2

不等式 f ( x ) ≥ 2 x ? g ( x ) ? x + 5 x ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

例6: :

(2010.新课标全国卷.理 21)设函数 f ( x ) = e ? 1 ? x ? ax .
x 2

(1)若 a = 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若当 x ≥ 0 时 f ( x ) ≥ 0 ,求 a 的取值范围. (2010.全国卷Ⅰ.理 20)设函数 f ( x ) = ( x + 1) ln x ? x + 1 .
2

例7: :

(1)若 xf ' ( x ) ≤ x + ax + 1 ,求 a 的取值范围; (2)证明: ( x ? 1) f ( x ) ≥ 0 .


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