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2019年人教版必修五高中数学1.1.1正弦定理(1)优质课课件_图文

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一、复习引入 三角形中的边角关系 1、三个角的关系: A ? B ? C ? ? 任意两边和( 差)大于(小于)第三边 2、三条边的关系: 大边对大角,小边对小角 3、边与角的关系: C A B 已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c, c b a ? ? ,是否成立? sin A sin B sin C 初中学过锐角三角函数定义: a b sinA= sinB= c c a b ? ?c sin A sin B ∠C= 90°, sin C ? 1 A c B a b C a b c ? ? sin A sin B sin C 那么,在任意三角形中,这一关系式是否成立呢? a b c 思考:在任意三角形中, ? ? 是否成立? sin A sin B sin C 当△ABC是锐角三角形时, C 设边AB上的高是CD, a b 根据三角函数的定义, A B c D CD ? a ? sin B, CD ? b ? sin A a b b c ? 得到 同理,在△ABC中, ? sin A sin B sin B sin C a b c ? 在锐角三角形中,等式 ? ? 成立. sin A sin B sin C 当△ABC是钝角三角形时,以上等式仍然成立吗? 当△ABC是钝角三角形时,以上等式仍然成立吗? 过点C作CD⊥AB, A Dc 则CD ? b ? sin A ? a ? sin B b a b ? ? E a C sin A sin B 过点A作AE⊥BC, B 则AE ? c ? sin B ? b ? sin( ? ? C ) ? b ? sin C b c ? ? sin B sin C a b c ? 在钝角三角形中,等式 ? ? 也成立. sin A sin B sin C 这就是说,对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 来说,上面的关系式均成立.因此.我们得到下面的定理. 二、基础知识讲解 正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 a b c ? ? . sin A sin B sin C ①正弦定理的叙述适合于任何三角形 ②也可以利用三角形的面积证明。 B C a b c A 1 1 1 S ? ac sin B ? ab sin C ? bc sin A 2 2 2 ③可以证明 a b c ? ? ? 2 R. sin A sin B sin C (R为△ABC外接圆半径) 二、基础知识讲解 正弦定理 a b c 形式1: ? ? ? 2 R. sin A sin B sin C b c a b a c ? , 形式2: ? , ? . sin C sin A sin A sin B sin B sin C 形式3:a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C 一般地,把三角形的三个角A,B,C和它的 对边a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的几 个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 二、基础知识讲解 正弦定理 a b c 形式1: ? ? ? 2 R. sin A sin B sin C b c a b a c ? , 形式2: ? , ? . sin C sin A sin A sin B sin B sin C 形式3:a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C 问题:由形式2可以得到,正弦定理可以解什么类型的 三角形问题? 每个等式可视为一个方程:知三求一 类型1:已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角 类型2:已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形 的其他的边和角。 三、正弦定理的应用举例 类型1: 已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角 先确定第三个角,再用正弦定理确定剩下的两边 例1、在?ABC中,已知A ? 32.0?,B ? 81.8?, a ? 42.9cm,解三角形。 解:根据三角形内角和定理, C ? 180? ? ( A ? B) ? 180? ? (32.0? ? 81.8? ) ? 66.2? a sin B 42.9 sin 81.8? 根据正弦定理,b ? ? ? 80.1(cm ) ? sin A sin 32.0 a sin C 42.9 sin 66.2? 根据正弦定理, c ? ? ? 74.1(cm) ? sin A sin 32.0 练习:P5 1(1) 类型2:已知两边和其中一边的对角,求三角形其他的边和角 可先求另一边的对角,再确定剩下的边和角 例2、在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40?, 解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm)。 解 : A ? 40? ? 90?且a ? b,? A ? B b sin A 28 sin 40? 根据正弦定理, sin B ? ? ? 0.8999. a 20 因为0? ? B ? 180? , 所以B ? 64? , 或B ? 116? (1)当B ? 64?时,C ? 180? ? ( A ? B) ? 180? ? (40? ? 64? ) ? 76? , a sin C 20 sin 76? c? ? ? 30(cm ). ? sin A sin 40 (2)当B ? 116?时,C ? 180? ? ( A ? B) ? 180? ? (40? ? 116? ) ? 24? , a sin C 20 sin 24? c? ? ? 13(cm ). 练习: P5 2(1) ? sin A sin 40 这两个角是否都符合要求呢? 四、课时小结 正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 a b c ? ? . sin A sin B sin C C a B c b A 作业:课本P10 A组 1(1

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