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线性规划的常见题型及其解法学生版(题型全面归纳好)

时间:2016-12-21

课题

线性规划的常见题型及其解法题目

线性规划问题是高考的重点,而线性规划问题具有代数和几何的双重形式,多与函数、平面向量、数 列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透,自然地融合在一起,使数学问题的解答变得更加新颖别致. 归纳起来常见的命题探究角度有: 1.求线性目标函数的最值. 2.求非线性目标函数的最值. 3.求线性规划中的参数. 4.线性规划的实际应用. 本节主要讲解线性规划的常见基础类题型.

x+y≥3, ? ? 【母题一】已知变量 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?2x-y≤3, A.[7,23] C.[7,8] B.[8,23] D.[7,25]

则目标函数 z=2x+3y 的取值范围为(

)

x-4y+3≤0, ? ? 【母题二】变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1, y (1)设 z= ,求 z 的最小值; 2x-1 (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围; (3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围.

角度一:求线性目标函数的最值 x+y-7≤0, ? ? 1.(2014· 新课标全国Ⅱ卷)设 x,y 满足约束条件?x-3y+1≤0, ? ?3x-y-5≥0, A.10 C.3 B.8 D.2

则 z=2x-y 的最大值为(

)

x+2≥0, ? ? 2.(2015· 高考天津卷)设变量 x,y 满足约束条件?x-y+3≥0, 则目标函数 z=x+6y 的最大值为 ? ?2x+y-3≤0,

1

(

) A.3 C.18 B.4 D.40 )

3. (2013· 高考陕西卷)若点(x, y)位于曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值为( A.-6 C.0 角度二:求非线性目标的最值 2x-y-2≥0, ? ? 4.(2013· 高考山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+2y-1≥0, ? ?3x+y-8≤0 动点,则直线 OM 斜率的最小值为( A.2 1 C.- 3 ) B.1 1 D.- 2 2x+y-1 的取值范围. x-1 B.-2 D.2

所表示的区域上一

?0≤x≤ 2, 5.已知实数 x,y 满足?y≤2, ?x≤ 2y,

则 z=

x+y≤2 ? ? 6.(2015· 郑州质检)设实数 x,y 满足不等式组?y-x≤2, ? ?y≥1, A.[1,2] B.[1,4]C.[ 2,2]

则 x2+y2 的取值范围是( D.[2,4]

)

x≥0, ? ? 7.(2013· 高考北京卷)设 D 为不等式组?2x-y≤0, ? ?x+y-3≤0 间的距离的最小值为________. x≥1, ? ? 8.设不等式组?x-2y+3≥0, ? ?y≥x

所表示的平面区域,区域 D 上的点与点(1,0)之

所表示的平面区域是 Ω1,平面区域 Ω2 与 Ω1 关于直线 3x-4y-9=0

对称.对于 Ω1 中的任意点 A 与 Ω2 中的任意点 B,|AB|的最小值等于( 28 A. 5 12 B.4C. 5

) D.2

角度三:求线性规划中的参数 x≥0, ? ? 9.若不等式组?x+3y≥4, ? ?3x+y≤4 ( ) 4 所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分,则 k 的值是 3

2

7 A. 3

3 4 B. C. 7 3

3 D. 4

x+y-2≥0, ? ? 10.(2014· 高考北京卷)若 x,y 满足?kx-y+2≥0, ? ?y≥0, A.2 1 B.-2C. 2

且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为(

)

1 D.- 2

x+y-2≤0, ? ? 11. (2014· 高考安徽卷)x, y 满足约束条件?x-2y-2≤0, ? ?2x-y+2≥0. 则实数 a 的值为( 1 A. 或-1 2 ) 1 B.2 或 C.2 或 1 2

若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,

D.2 或-1

x≥0, ? ?y≥0, 12.在约束条件? x+y≤s, ? ?y+2x≤4. A.[6,15] C.[6,8]

下,当 3≤s≤5 时,目标函数 z=3x+2y 的最大值的取值范围是(

)

B.[7,15] D.[7,8]

x≥0, ? ?y≥0, 13.(2015· 通化一模)设 x,y 满足约束条件? x y ? ?3a+4a≤1, ________.

x+2y+3 3 若 z= 的最小值为 ,则 a 的值为 2 x+1

角度四:线性规划的实际应用 14.A,B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品.已知 A 产品需 要在甲机器上加工 3 小时,在乙机器上加工 1 小时;B 产品需要在甲机器上加工 1 小时,在乙机器上加工 3 小时. 在一个工作日内, 甲机器至多只能使用 11 小时, 乙机器至多只能使用 9 小时. A 产品每件利润 300 元,B 产品每件利润 400 元,则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元. 15.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个,生产一个卫兵需 5 分钟, 生产一个骑兵需 7 分钟,生产一个伞兵需 4 分钟,已知总生产时间不超过 10 小时.若生产一个卫兵可获 利润 5 元,生产一个骑兵可获利润 6 元,生产一个伞兵可获利润 3 元. (1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 w(元);

3

(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?

一、选择题 1.已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围为( A.(-24,7) C.(-∞,-7)∪(24,+∞) B.(-7,24) D.(-∞,-24)∪(7,+∞) )

x≥0, ? ? 2.(2015· 临沂检测)若 x,y 满足约束条件?x+2y≥3, ? ?2x+y≤3,

则 z=x-y 的最小值是(

)

4

A.-3

3 B.0C. 2

D.3

?x+|y|≤1, ? → → 3. (2015· 泉州质检)已知 O 为坐标原点, A(1,2), 点 P 的坐标(x, y)满足约束条件? 则 z=OA· OP ?x≥0, ?

的最大值为( A.-2 C.1

) B.-1 D.2

x-2y+1≥0, ? ? 4.已知实数 x,y 满足:?x<2, ? ?x+y-1≥0, 5 ? A.? ?3,5? 5 ? B.[0,5]C.? ?3,5?

则 z=2x-2y-1 的取值范围是(

)

5 ? D.? ?-3,5? )

5.如果点(1,b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 和 3x-4y+5=0 之间,则 b 应取的整数值为( A.2 C.3 B.1 D.0

6.(2014· 郑州模拟)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是( A.(1- 3,2) C.( 3-1,2) ) B.(0,2) D.(0,1+ 3)

y≤1, ? ? 7.(2014· 成都二诊)在平面直角坐标系 xOy 中,P 为不等式组?x+y-2≥0, ? ?x-y-1≤0, 动点,则直线 OP 斜率的最大值为( A.2 1 1 B . C. 3 2 ) D.1

所表示的平面区域上一

8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知平面区域 A={(x,y)|x+y≤1,且 x≥0,y≥0},则平面区域 B= {(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为( A.2 ) 1 B.1C. 2 1 D. 4

3x-y-2≤0, ? ? 9.设 x,y 满足约束条件?x-y≥0, ? ?x≥0,y≥0, 的取值范围是( A.(0,4) )

若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 4,则 ab

B.(0,4]C.[4,+∞)

D.(4,+∞)

x≥0, ? ? 10.设动点 P(x,y)在区域 Ω:?y≥x, ? ?x+y≤4

上,过点 P 任作直线 l,设直线 l 与区域 Ω 的公共部分为线

5

段 AB,则以 AB 为直径的圆的面积的最大值为( A.π B.2πC.3π

) D.4π

y≥-1, ? ? 11.(2015· 东北三校联考)变量 x,y 满足约束条件?x-y≥2, ? ?3x+y≤14, 有无穷多个,则实数 a 的取值集合是( A.{-3,0} )

若使 z=ax+y 取得最大值的最优解

B.{3,-1}C.{0,1}

D.{-3,0,1} )

? ?x+y≥a, 12. (2014· 新课标全国Ⅰ卷)设 x, y 满足约束条件? 且 z=x+ay 的最小值为 7, 则 a=( ?x-y≤-1, ?

A.-5

B.3C.-5 或 3

D.5 或-3

x≥0, ? ? 13.若 a≥0,b≥0,且当?y≥0, ? ?x+y≤1 是( ) 1 A. 2 C.1 π B. 4 π D. 2

时,恒有 ax+by≤1,则由点 P(a,b)所确定的平面区域的面积

2x-y+1>0, ? ? 14.(2013· 高考北京卷)设关于 x,y 的不等式组?x+m<0, ? ?y-m>0 满足 x0-2y0=2.求得 m 的取值范围是( 4 -∞, ? A.? 3? ? )

表示的平面区域内存在点 P(x0,y0),

1 2 -∞, ?C.?-∞,- ? B.? 3 3? ? ? ?

5 -∞,- ? D.? 3? ?

x+y-11≥0, ? ? 15.设不等式组?3x-y+3≥0, ? ?5x-3y+9≤0 点,则 a 的取值范围是 ( A.(1,3] )

表示的平面区域为 D.若指数函数 y=ax 的图象上存在区域 D 上的

B.[2,3]C.(1,2]

D.[3,+∞)

x+y-7≤0, ? ? 16.(2014· 高考福建卷)已知圆 C:(x-a) +(y-b) =1,平面区域 Ω:?x-y+3≥0, ? ?y≥0.
2 2

若圆心 C∈Ω,

且圆 C 与 x 轴相切,则 a2+b2 的最大值为( A.5 C.37

) B.29 D.49

6

y≥0, ? ? 17.在平面直角坐标系中,若不等式组?y≤x, 表示一个三角形区域,则实数 k 的取值范围 ? ?y≤k?x-1?-1 是( ) A.(-∞,-1) C.(-1,1) B.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

? ?x-2y+1≥0, 18.(2016· 武邑中学期中)已知实数 x,y 满足? 则 z=2x+y 的最大值为( ?|x|-y-1≤0, ?

)

A.4 C.8

B.6 D.10

y≥x ? ? 19.(2016· 衡水中学期末)当变量 x,y 满足约束条件?x+3y≤4 ? ?x≥m m 的值是( A.-4 C.-2 ) B.-3 D.-1

时,z=x-3y 的 最大值为 8,则实数

x-3y+1≤0, ? ? 20.(2016· 湖州质检)已知 O 为坐标原点,A,B 两点的坐标均满足不等式组?x+y-3≤0, ? ?x-1≥0, ∠AOB 的最大值等于( 9 A. 4 二、填空题 x+y-2≥0, ? ? 21.(2014· 高考安徽卷)不等式组 ?x+2y-4≤0, ? ?x+3y-2≥0 ) 4 B. 7

则 tan

表示的平面区域的面积为________.

x≥1, ? ? 23. (2015· 重庆一诊)设变量 x, y 满足约束条件?x+y-4≤0, ? ?x-3y+4≤0, x+y-1≤0, ? ? 24.已知实数 x,y 满足?x-y+1≥0, ? ?y≥-1,

则目标函数 z=3x-y 的最大值为____.

则 w=x2+y2-4x-4y+8 的最小值为________.

2x+3y-6≤0, ? ? 25.在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+y-2≥0, ? ?y≥0 最小值是________.

所表示的区域上一动点,则|OM|的

26.(2016· 汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用水 3 吨、煤 2 吨;生产每

7

吨乙产品要用水 1 吨、煤 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,销售每吨乙产品可获得利润 3 万元, 若该企业在一个生产周期内消耗水不超过 13 吨,煤不超过 18 吨,则该企业可获得的最大利润是______万 元.

27.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和 韭菜的产量、成本和售价如下表: 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大, 则黄瓜的种植面积应为________亩.

x≤0, ? ? 28.(2015· 日照调研)若 A 为不等式组?y≥0, ? ?y-x≤2

表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动

直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为________. x+2y-4≤0, ? ? 29.(2014· 高考浙江卷)当实数 x,y 满足?x-y-1≤0, ? ?x≥1 范围是________. 30.(2015· 石家庄二检)已知动点 P(x,y)在正六边形的阴影部分(含边界)内运 动,如图,正六边形的边长为 2,若使目标函数 z=kx+y(k>0)取得最大值的最优 解有无穷多个,则 k 的值为________. y≥x, ? ? 31.设 m>1,在约束条件?y≤mx, 下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 ? ?x+y≤1 2,则 m 的取值范围. y≥1, ? ? 32.已知实数 x,y 满足?y≤2x-1, ? ?x+y≤m, 标函数的最大值的取值范围是________. x+4y≥4, ? ? 33.(2013· 高考广东卷)给定区域 D:?x+y≤4, ? ?x≥0. 若目标函数 z=x-y 的最小值的取值范围是[-2,-1],则目

时,1≤ax+y≤4 恒成立,则实数 a 的取值

令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是 z

=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点},则 T 中的点共确定________条不同的直线. 34.(2011· 湖北改编)已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z),且 a⊥b.若 x,y 满足不等式|x|+|y|≤1,则 z 的取值范围为__________.
8

x+4y-13≤0 ? ? 35.(2016· 衡水中学模拟)已知变量 x,y 满足约束条件?2y-x+1≥0 ? ?x+y-4≥0 函数 z=x+my 取得最小值,则 m=________.

且有无穷多个点(x,y)使目标

9


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