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高二数学第二学期期末考试试题 理2 新人教A版

时间:2014-08-04


范县希望中学高二第二学期期末考试试题数学(理)2
一、选择题(本题共有 12 小题,每题 5 分,共 60 分) : 1、在复平面内复数 6 ? 5i , ? 2 ? 3i 对应的点分别为 A, B ,若复数 z 对应的点 C 为线段

AB 的中点,则 z ? z 的值为(
A. 61 B.13

) C.20
2

D. 20 )

1 2、若正项等比数列 {an } 中, a5 ? a3 ? ? (2 x ? ) dx ,则 q = ( 0 2
A.5 B. 5 C.3 D. 4

K 正常工作且 A1 、 A2 至少 3、如图,用 K、 A 1 、 A2 三类不同的元件连接成一个系统。当
有一个正常工作时, 系统正常工作, 已知 K、A 9、 0. 8、 1 、A2 正常工作的概率依次为 0. 0.8,则系统正常工作的概率为( A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.57 4、下列命题中,正确的命题有(
2




2

(1)用相关指数 r 来刻画回归效果, r 越接近 0,说明模型的拟合效果越好; (2)将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个 常数后,方差恒不变; (3)设随机变量 ? 服从正态分布 N(0,1) ,若 P?? ? 1? ? p ,
开始 输入 x

1 则 P?? 1 ? ? ? 0 ? ? ? p ; 2

x ? [? 2 , 2 ]



(4)回归直线一定过样本中心点 x, y A.1 个 B.2 个 C.3 个

? ?
D.4 个



f ( x) ? 2 x
1 1 , ] 4 2
D. [2, ??)
输出 f ( x) 结束

f ( x )? 2

5、阅读右面程序框图,如果输出的函数值在区间 [ 内,则输入的实数 x 的取值范围是 A. (??, ?2] B. [?2, ?1] C. [?1, 2]

6、已知关于 x 的二项式 ( x ? 的值为( )

a
3

x

) n 展开式的二项式系数之和为 32,常数项为 80,则 a

用心

爱心

专心

-1-

A.2 B. ? 1 C.1 D. ? 2 7、2011 年某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,后四位数从“0000” 到“9999”共 10000 个号码。公司规定:凡卡号的后四位数带数字“6”或“8”的一律作 为 “金兔卡” ,享受一定的优惠政策,则这组号码中“金兔卡”的个数为( ) A.2000 B.4096 C.8320 D. 5904 8、气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用, n 第 n 天的维修保养费为 ? 4.9( n ? N*) 元, 使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合 10 算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了 ( ) . A. 800 天 B. 600 天 C.1000 天 D.1200 天 9 、已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点重 a 2 b2


合,它们在第一象限内的交点为 T ,且 TF 与 x 轴垂直,则椭圆的离心率为( A.

2 ?1 2

B. 3 ? 1

C. 2 ? 1

D.

3 ?1 2


10、函数 f ( x ) 的图像如图所示, f '( x)是f ( x) 的导函数,则下列数值排序正确的是(

11、函数 f ( x) 的定义域为 R , f ( ?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的 解集为 ( ) A. ( ?1 , + ? )

B. ( ?1,1)

C. ( ? ? , ?1 )

D. ( ? ?, +? )

12、设 A ? 0,0 ? , B ? 4,0? , C ? t ? 4, 4? , D ? t , 4?? t ? R ? .记 N ? t ? 为平行四边形 ABCD 内部 (不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数 N ? t ? 的 值域为( ) A. ?9,10,11 ? B. ?9,10,12? C. ?9,11,12? D. ?10,11,12?

二、填空题(本题共有 4 个小题,每题 5 分,共 20 分)

用心

爱心

专心

-2-

y 2 x2 ? ? 1 的一个焦点,则 m ? 13.设 m 为常数,若点 F (0,5) 是双曲线 m 9
?x ? y ?1 ? 0, ? 14、若实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 2 , 则 2 x ? y 的最大值为_____. ? x ? 1, ?
15.马老师从课本上抄录一个随机变量 ? 的概率分布律如下表 请小牛同学计算 ? 的数学期望,尽管“! ”处无法完全看清, 且两个“?”处字迹模糊,但能肯定这两个“?”处的数值相同。 据此,小牛给出了正确答案 E? ? 。
x P(ε=x) 1 ?



2 !

3 ?

16.在平面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点。定义 P ( x1, y1 )、Q( x2 , y2 ) 两点之间的“直 角距离”为 d (P, Q) = x1 - x2 + y1 - y2 .若点 A(-1,3) ,则 d ( A, O) = 已知点 B (1,0) ,点 M 是直线 x ? y ? 4 ? 0 上的动点, d ( B, M ) 的最小值为 三、解答题(共有 6 个大题,共 70 分) 17、 (10 分)已知数列{ an },其前 n 项和 S n 满足 S n?1 ? 2?S n ? 1 ( ? 是大于 0 的常数) , 且 a1 ? 1 , a3 ? 4 . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求数列{ an }的通项公式 an ; 18、 (12 分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,相关的数据如下表所示: 文艺节目 新闻节目 总计 20 到 40 岁 40 18 58 大于 40 岁 15 27 42 总计 55 45 100 (1)由表中数据分析,是否有 99 .9% 把握认为收看新闻节目的观众与年龄有关? (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,大于 40 岁的观众应该抽取 几名? (3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率。 ; .

n(ad ? bc)2 附: K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

用心

爱心

专心

-3-

随机变量 K 的概率分布:

2

19、 (12 分)已知 A、B、C、D 为圆 O 上的四点, 直线 DE 为圆 O 的切线,AC∥DE,AC 与 BD 相 交于 H 点 (Ⅰ)求证:BD 平分∠ABC (Ⅱ)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH 的长 20、 (12 分)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点 的收费标准是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时的收费标准为每小时 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) 。甲、乙独立地来该租车点租车骑游。设甲、乙不超过两小时 还车的概率分别为;

1 1 1 1 , ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 , ;两人租 4 2 2 4

车时间都不会超过四小时。 (Ⅰ)求出甲、乙所付租车费用相同的概率; (Ⅱ)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E? ;

21、 (12 分)已知椭圆 M :

x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,且椭圆上一点与椭 2 a b 3

圆的两个焦点构成的三角形周长为 6 ? 4 2 . (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 M 交于 A, B 两点,且以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 C , 求 ?ABC 面积的最大值. 22、 (12 分)已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax ? 1
2

(I)讨论函数 f ( x) 的单调性; (II)设 a ? ?1 .如果对任意 x1 , x2 ? (0,??) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 ,求 a 的取值范 围。
用心 爱心 专心 -4-

数学(理 2)参考答案

100? ?40 ? 27 ? 18? 15? 24300 18、 (1) K ? ? ? 10.88 ? 10.828 58? 42 ? 55? 45 2233 所以有 99 .9% 把握认为收看新闻节目的观众与年龄有关。 5 1 1 ? ,所以大于 40 岁的观众应该抽取 ? 27 ? 3 名。 (2)抽取的比例为 45 9 9
2 2

(3)在年龄 20 至 40 岁得 2 名观众和年龄大于 40 的 3 名观众中共任取 2 名,恰有 1 名
1 1 C2 C3 3 观众的年龄为 20 至 40 岁的概率为 ? 。 5 C52

19、 (1)? DE // AC,? ?CDE ? ?ACD 又? DE 切圆 O 于点 D ,? ?CDE ? ?CBD ? ?ACD ? ?CBD 而 ?ACD ? ?ABD (同弧) ? ?CBD ? ?ABD 所以,BD 平分∠ABC (2) 由 (1) 知 ?CBD ? ?ABD , 又? ?CBD ? ?CAD , ? ?ABD ? ?CAD 又? ?ADH 为公共角,所以 ?DBA 与 ?DAH 相似。 AH AD ? ? ,因为 AB=4,AD=6,BD=8,所以 AH=3 AB BD 1 1 1 1 1 1 ? ? , 20、 (1) 所付费用相同即为 0, 2, 4 元。 设付 0 元为 P 付 2 元为 P2 ? ? ? , 1 ? 4 2 8 2 4 8

用心

爱心

专心

-5-

付 4 元为 P3 ?

1 1 1 ? ? 4 4 16 5 16

则所付费用相同的概率为 P ? P 1?P 2 ?P 3 ?

(2)设甲,乙两个所付的费用之和为 ? , ? 可为 0, 2, 4,6,8

P(? ? 0) ? P(? P(? P(? P(?

1 8 1 1 1 1 5 ? 2) ? ? ? ? ? 4 4 2 2 16 1 1 1 1 1 1 5 ? 4) ? ? ? ? ? ? ? 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 ? 6) ? ? ? ? ? 4 4 2 4 16 1 1 1 ? 8) ? ? ? 4 4 16

分布列

E? ?

5 5 9 1 7 ? ? ? ? 8 4 8 2 2

21、 (Ⅰ)因为椭圆 M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 6 ? 4 2 , 所以 2a ? 2c ? 6 ? 4 2 , 又椭圆的离心率为

2 2 c 2 2 2 2 a, ,即 ? ,所以 c ? 3 a 3 3

所以 a ? 3 , c ? 2 2 . 所以 b ? 1 ,椭圆 M 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 9
1 ( x ? 3) . k

(Ⅱ)不妨设 BC 的方程 y ? k ( x ? 3),(k ? 0) ,则 AC 的方程为 y ? ?

用心

爱心

专心

-6-

? y ? k ( x ? 3), ? 由 ? x2 得 (9k 2 ? 1) x2 ? 54k 2 x ? 9k 2 ?1 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?9
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,因为 3 x2 ?

81k 2 ? 9 27k 2 ? 3 x ? ,所以 , 2 9k 2 ? 1 9k 2 ? 1

同理可得 x1 ?

27 ? 3k 2 , 9 ? k2
2

所以 | BC |? 1 ? k

6 9k 2 ? 1

, | AC |?

1 ? k 2 6k 2 , k 9 ? k2

S?ABC

? 1? 18 ?1 ? ? 1 ? k? ? | BC || AC |? ? 2 2 1 ?? 9 2 ? ? 9k ? 1?? 9 ? k ? ? ? 9k ? ?? ? k ? k ?? k ? ? 18k ?1 ? k 2 ?

1? 1? ? ? 1 18 ? k ? ? 2? k ? ? 2(k ? ) k? k? ? ? k ? ? ? 9 1 82 1 64 81 ? 9k 2 ? 2 ? 1 k 2 ? 2 ? (k ? )2 ? k k 9 k 9
设t ? k ?



1 ? 2 ,则 S ? k

2t 2 3 ? ? , 64 64 8 t2 ? t? 9 9t

当且仅当 t ?

8 3 时取等号,所以 ?ABC 面积的最大值为 . 3 8

22、 (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 ? 0, ?? ? . f '( x) ?

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax ? . x x

当 a ? 0 时, f '( x) >0,故 f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 单调增加; 当 a ? ?1 时, f '( x) <0,故 f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 单调减少; 当 ?1 ? a ? 0 时,令 f '( x) =0,解得 x ?

?

a ?1 . 2a

用心

爱心

专心

-7-

则当 x ? (0, ?

a ?1 a ?1 ) 时, f '( x) >0; x ? ( ? , ??) 时, f '( x) <0. 2a 2a a ?1 a ?1 ) 单调增加,在 ( ? , ??) 单调减少. 2a 2a

故 f ( x ) 在 (0, ?

(Ⅱ)不妨假设 x1 ? x2 ,而 a <-1,由(Ⅰ)知在 ? 0, ?? ? 单调减少,从而

?x1, x2 ? (0, ??) , f ( x x? x 1 )? f ( x 2 )? 4 1 2
等价于

?x1, x2 ? (0, ??) , f ( x2 ) ? 4 x2 ? f ( x1 ) ? 4 x1
令 g ( x) ? f ( x) ? 4 x ,则 g '( x) ?



a ?1 ? 2ax ? 4 x

①等价于 g ( x) 在 ? 0, ?? ? 单调减少,即

a ?1 ? 2ax ? 4? 0 . x

?4 x ? 1 ( 2 x?2 1 ) ? x2 4 ? 2 x ( 2? 2 1 ) ? ? ? 2 从而 a ? 2 x2 ? 1 2x 2 ? 1 2 x2 ? 1
故 a 的取值范围为 (? ?, ?2 .]

用心

爱心

专心

-8-


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