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山东师大附中2013届高三12月第三次模拟检测数学(理)试题

时间:2013-01-08




山东师大附中 2010 级高三第三次模拟考试 数学(理工类)
数列、不等式、向量

2012 年 12 月

1. 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟. 2. 本试卷涉计的内容: 集合与逻辑、基本初等函数(Ⅰ)(Ⅱ)、导数及其应用、

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 若全集为实数集 R ,集合 A = {x | log 1 (2 x ? 1) ? 0}, 则CR A =(
2

)

A. ( , ??) 2.若 ? ? ? A

1 2

B. (1, ??)

C. [0, ] ? [1, ?? ) D. (??, ] ? [1, ??)

1 2

1 2

?? 1 ?? ? ? , ? ? , tan ? ? ? ? ? , 则sin ? ? ( 4? 7 ?2 ? ?
B

)
D ?

3 5

4 5

C

?

3 5

4 5


3.等差数列 {an } 的前 n 项的和为 Sn ,且 a1013 ? S2013 ? 2013 ,则 a1 ? ( A. 2012 B. -2012 C. 2011 D. -2011

? ? ? ? ? ? 4.非零向量 a, b 使得 | a ? b |?| a | ? | b | 成立的一个充分非必要条件是(



? ? A . a / /b

? ? ? B. a ? 2b ? 0

C.

? ? a b ? ? ? |a| |b|

D.

? ? a?b


5. 已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? ( A. 7 B. 5 ) C. ?? D. ??

?

6. 函数 f ( x) ? x ? sin x ( x ? R) (

A.是偶函数,且在 (??, +?) 上是减函数 C.是奇函数,且在 (??, +?) 上是减函数

B.是偶函数,且在 (??, +?) 上是增函数 D.是奇函数,且在 (??, +?) 上是增函数

? x ? y ? 0, ? 7.若实数 x , y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 10 ? 0, 则 2x ? y 的最大值是( ? ? 3x ? y ? 5 3 ? 0,

)

第1页



A.11

B.23

C.26

D.30

8.在 ?ABC中,A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列 则 B ?( A . )

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

2? 3

9. 设函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? cos ?? x ? ? ? ? ? ? 0,| ? |? 且 f ? ?x ? ? f ? x ? ,则( A. f ? x ? 在 ? 0, )

? ?

??

? 的最小正周期为 ? , 2? ? ? 单调递减 ? ? ? 单调递增 ?

? ?? ? 单调递减 ? 2? ? ?? C. f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递增 ? 2?
3

? ? 3? , ?4 4 ? ? 3? D. f ? x ? 在 ? , ?4 4
B. f ? x ? 在 ?

10.设函数 f ? x ? ? x ? 4x ? a ? 0 ? a ? 2? 有三个零点 x1、x2、x3 , 且x1 ? x2 ? x3 , 则下列结论正确的是( A. x1 ? ?1 B.
1



x2 ? 0

C.

0 ? x2 ? 1

D.

x3 ? 2
)

11.设 a ? cos xdx, b ? sin xdx, 下列关系式成立的是(
0 0

?

1

?

A

a?b

B

a ?b ?1

C

a?b

D

a ?b ?1
y 1 B

12.如图,函数 y ? f ? x ? 的图象为折线 ABC ,设 g ? x ? ? f ? f ? x ? ? , ? ? 则函数 y ? g ? x ? 的图象为( )
-1

1 O x C

A.
-1

y 1 1 O -1 x

B.
-1

y 1 1 O -1 x

A

-1 (第 11 题图)

C.
-1

y 1 1 O -1 x

D.
-1

y 1 1 O -1 x

第2页



山东师大附中 2010 级高三第三次模拟考试
数学(理工类) 2012 年 12 月

第Ⅱ卷(共 90 分)
二.填空题(每题 4 分,满分 16 分) 13.不等式 | 2 x ? 1| ? | x ? 1|? 2 的解集为 14.在 ?ABC 中, sin A,sin B,sin C 依次成等比数列,则 B 的取值范围是 15. y ? f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数且在 ?0, ??? 上递增,不等式 f ? 解集为 16 下列命题中,正确的是 (1)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2,0) , b ? 1 ,则 a ? b ?
0

? x ? ? 1? ? ? f ?? ? 的 ? x ?1 ? ? 2?

?

?

?

?

?

?

7

? ? ? ? 3π (2)已知 a ? sin ? , 1 ? cos ? , b ? 1, 1 ? cos ? ,其中 θ∈?π, 2 ?,则 a ? b ? ?

??? ? ???? ??? ??? ? ? ? AB AC ? ? (3) O 是 ?ABC 所在平面上一定点,动点 P 满足: OP ? OA ? ? ? ? sin C sin B ? , ? ? ? ? ? ? 0, ??? ,则直线 AP 一定通过 ?ABC 的内心
三 解答题(满分 74 分) 17.(本题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? sin x ? cos x , g ? x ? ? f ? x ? ? f ' ? x ? ? ? f ? x ? ? ? ? (Ⅰ)求 g ? x ? 的周期和最大值 (Ⅱ)求 g ? x ? 的单调递增区间
2

?

?

?

?

第3页



18.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中, ?A ? 1200 , (Ⅰ)若三边长构成公差为 4 的等差数列,求 ?ABC 的面积 (Ⅱ)已知 AD 是 ?ABC 的中线,若 AB ? AC ? ?2 ,求 | AD | 的最小值

??? ??? ? ?

????

19.( 本 题 满 分 12 分 ) 数 列 {an } 的 前 n 项 的 和 为 Sn , 对 于 任 意 的 自 然 数 an ? 0 ,

4 S n ? ? an ? 1?

2

(Ⅰ)求证:数列 {an } 是等差数列,并求通项公式 (Ⅱ)设 bn ?

an ,求和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 3n

x 20.(本题满分 12 分)已知 x ? 1 是函数 f ? x ? ? ? ax ? 2? e 的一个极值点. ( a ? R )

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 x1 , x2 ??0, 2? 时,证明: | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? e

21.本小题满分 12 分) ( 已知 {an } 是等比数列, 公比 q ? 1 , n 项和为 Sn , 且 前

S3 7 ? , a4 ? 4, a2 2

数列{bn }满足 : bn ?

1 , n ? log 2 an?1

(Ⅰ)求数列 {an },{bn } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn bn?1} 的前 n 项和为 Tn ,求证

1 1 ? Tn ? (n ? N *). 3 2
2a ?a ? R? x

22. (本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ln( x ? 1) ? (Ⅰ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)如果当 x ? 1, 且 x ? 2 时,

ln ? x ? 1? a ? 恒成立,求实数 a 的范围. x?2 x

第4页



山师附中高三第三次模拟考试 2012.12.6

参考答案(理科)
一选择题(每题 5 分,共 60 分) 题 1 2 3 4 5 号 答 D A D B D 案 二填空题(每题 4 分,共 16 分) 13. 三(满分 74 分) 17 解:(1) ,-------------------------------2 分 14. 6 D 7 D 8 C 9 A 10 C 11 A 12 A

15.

16.①②③

第5页



----------------------------------4 分

-------------------------------6 分 的周期 ----------------------7 分 -------------------------8 分

(2)由



所以

---------------------10 分

的增区间为 18 解:(1) 由余弦定理: 即 所以 ,设三边为

-------------------12 分 ,--------------1 分 ---------------2 分 -------------------------3 分 --------------------------------4 分

-----------------6 分 (2) ----------------------7 分 ----------------------------------8 分 因为 ,所以

---------------10 分

第6页



------------------------------11 分 所 以

----------------------------------12 分 19.解 :(1)令 ------------------1 分

(2)-(1) --------------------------3 分
是等差数列 ------------------------5 分

----------------------------6 分

(2)

---①---------------------8 分

---②

①-②

----------10 分

所以
20(Ⅰ)解:

-------------------------------12 分
, --------------------2 分

第7页



由已知得 当 所以 时, .

,解得

. ,在 处取得极小值. ----------------4 分 , , , 在区间 在区间 . 单调递减; 单调递增.

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, 当 当 时, 时, 上, , 上, ,有 ,

所以在区间 又 所以在区间 对于 所以

的最小值为

.------ 8 分

的最大值为

.

----------10 分 .

.

-------------------12 分

21 解 :

----------------4 分

-----------------------------------------5 分

-----------------------6 分

(2)设

------8 分

第8页



=

----------------------------10 分

因为

,所以

----------12 分

22(1)定义域为 设 ① 当 时,对称轴 , ,所以

-----------2 分





是增函数 ② 当 时,

-----------------------------4 分 , 所以 在 上

是增函数 ----------------------------------------6 分 ③ 当 令 所以 时,令 解得 的单调递增区间 得 ;令 和 ; 解得 的单调递减区间

------------------------------------8 分

(2) 设 ① 当

可化为 ,由(1)知: 时, 在 上是增函数

(※)



时,

;所以

若 所以,当

时,

。所以

时,※式成立--------------------------------------12 分

第9页



② 当

时,



是减函数,所以

※式不成立

综上,实数 的取值范围是

.----------------------------14 分

解法二 :

可化为

设 令

,

所以 在

由洛必达法则 所以

第 10 页


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