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3.3.2 第1课时 简单的线性规划问题_图文

时间:2012-10-19

3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时 简单的线性规划问题

1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、 可行域、可行解等基本概念; 2.了解线性规划问题的图解法,并能解决一些简单的问 题.

1.某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产

一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使
用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B配件,按每天工作8h计算,该厂所有可能的 日生产安排是什么? (1)设甲、乙两种产品分 别生产x、y件,由已知 条件可得二元一次不等 式组:
? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? y ? 0. ?

将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内所有坐标 为整数的点
P( x, y)

时 ,安排生产任务

x, y

都是有意义的.

y 4 3
y=3

x 0

4
x?4

8

x ? 2y ? 8

简单线性规划问题及有关概念 进一步,若生产一件甲种产品获利2万元,生产一 件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? 设生产甲产品x件,乙产品y件时,工厂获得的利润为

z,则z=2x+3y.
上述问题就转化为:当x、y满足不等式组并且为非 负整数时,z的最大值是多少?

把 z ? 2 x ? 3 y变 形 为 y ? ?

2 3

x?

z 3

,这 是 斜 率 为 ?

2 3

,

z 在 y轴 上 的 截 距 为 的 直 线 , 3
当 z变 化 时 , 可 以 得 到 一 组 互 相 平 行 的 直 线 .

故 可 先 作 出 过 原 点 的 直 线 l 0: y ? ?

2 3

x, 再 作 l 0 的 平 行 线 .

当点P在可允许的取值范围内变化时, 求截距 z 3 的 最 值 ,即 可 得 z的 最 值 .

y
l0 : y ? ?
由图可知 当直线y ? ? 2 3 x? z 3

2 3

4
x

3

y=3
M (4, 2)

x 0
z

4
x?4

8
14 3

经 过 直 线 x ? 4与 直 线 x ? 2 y ? 8

x ? 2y ? 8

的交点 M (4, 2) 时,截距 3 的值最大, 最大值为
即 z 的最大值为 z ? 2 ? 4 ? 3 ? 2 ? 14.

.

所以,每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工厂获得最

大利润14万元.

1.线性约束条件
? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? 是一组对变量 ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ?y?0 ?

上述问题中,不等式组

x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y 的一次不等式,所以又称为线性约束条件.

2.线性目标函数 我们把要求最大值的函数z=2x+3y称为目标函 数.又因为z=2x+3y是关于变量x、y的一次解析式, 所以又称为线性目标函数. 3.线性规划 一般的,在线性约束条件下求线性目标函数

的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题.

4.可行解、可行域、最优解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.
由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个 问题的最优解.

(1)在上述问题中,如果每生产一件甲产品 获利3万元,每生产一件乙产品获利2万元, 又当如何安排生产才能获得最大利润? (2)由上述过程,你能得出最优解与可行域之间的关 系吗? 设生产甲产品x件乙产品y件时,工厂获得的利润为 z,则z=3x+2y.
把 z ? 3 x ? 2 y变 形 为 y ? ? z 3 2 x? z 2 ,这 是 斜 率 为 ? 3 2 ,

在 y轴 上 的 截 距 为 的 直 线 . 2

y
l0 : y ? ? 3 2 x

4
y=3

3
由图可知 当直线y ? ? 3 2 x? z 2

M (4, 2)

x O
z

4
x?4

8

经 过 直 线 x ? 4与 x ? 2 y ? 8

x ? 2y ? 8

最大值为 8 . 的交点 M (4, 2) 时截距 2 的值最大, 即 z 的最大值为 z ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ? 16. 所以,每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工厂获得最 大利润16万元.

在确定约束条件和线性目标函数的前提下, 用图解法求最优解的步骤为: (1)在平面直角坐标系内画出可行域; (2)将目标函数 z ? ax ? by ( b ? 0) 变形为
y??
z b

a b

x?

z b

, 将求 z


z

最值问题转化为求直线 y ? ?
的最值问题;

a b

x?

在 y 轴上的截距 b

(3)画出直线 ax ? by =0 并平行移动,平移过程中最先 或最后经过的点为最优解; (4)求出最优解并代入目标函数,从而求出目标函数的 最值.

简单线性规划问题的图解方法 例1 设 z=2x+y,式中变量x、 y满足下列条件:
? x ? 4 y ? ?3, ? ? 3 x ? 5 y ? 25, ? x ? 1, ?

求z的最大值和最小值.

分析:作可行域,画平行线,解方程组,求最值.

y

x ?1
3 x ? 5 y ? 25 ? 0

解:作出如图所示的可行域,
作 l 0 : 2 x ? y ? 0, 及 l / / l0 . 当直线 l 经过点B时,对应 的 z 最小,当直线 l 经过 点A时,对应的 z 最大. O

4 C 2
B

x ? 4y ? 3 ? 0

A 6 x

2
l0 : 2 x ? y ? 0

4

? x ? 1, 由? 得 B (1, 1), ? x ? 4 y ? 3 ? 0. ? 3 x ? 5 y ? 25, 由? 得 A (5, 2). ? x ? 4 y ? 3 ? 0. ? z 最 小 值 = 2 ? 1+1= 3, , z 最 大 值 = 2 ? 5+ 2=12.

解线性规划问题的步骤: (1)画:画出线性约束条件所表示的可行域; (2)移:在线性目标函数所表示的一组平行线中, 利用平移的方法找出与可行域有公共点

且纵截距最大或最小的直线;
(3)求:通过解方程组求出最优解; (4)答:作出答案. 最优解一般在可行域的顶点处取得.

例2

? x ? 4 y ? ? 3, ? 已 知 x , y 满 足 ? 3 x ? 5 y ? 25, 设 z ? ax ? y ( a ? 0), ? x ? 1. ? 若 z 取 得 最 大 值 时 , 对 应 点 有 无 数 个 , 求 a的 值 .

分析:对应无数个点,即直线与边界线重合时. 作出可行域,结合图形,看直线 l : y ? ? ax ? z

与哪条边界线重合时,可取得最大值.

解:当直线 l : y ? ? ax ? z 与边界 线重合时,有无数个点,

使函数值取得最大值,
此时有 k l
? k AC ? ? 即a ? 3 5 .
x ? 4 y ? ?3

? k AC .
,? k l ? ? a ? ? 3 5 .
3 x ? 5 y ? 25

y

3 5

C
A B x
x?1

O

? x ? y ? 5 ? 0, ? 1. 已知 x、y满足 ? x ? 3, ? x ? y ? k ? 0, ?
且z=2x+4y的最小值为-6,则常数k等于( D ).
A. 2 B. 9 C. 3 10 D. 0

2.已知 x , y 满足

? y ? x ? 1, ? ? x ? 5 y ? 3, ? 5 x ? 3 y ? 15. ?

求 z ? x ? 2y 的

最大值和最小值. 解:作出如图所示的可行域,
由 z ? x ? 2 y得 y ? 1 2 x? z 2 .

作 l 0 : x ? 2 y ? 0, 并 平 行 移 动 ,

y 当直线l经过点B时,对应 的z最小,当直线l经过C 时,对应的z最大. ∴z最小值=1.5-2×2.5=-3.5 z最大值=3-0=3. 1 O
A(-2,-1)

5
y ? x ?1
B(1.5,2.5) x ? 2y ? 0

x ? 5y ? 3
C

3
5 x ? 3 y ? 15

x

1.线性约束条件、线性目标函数、可行域、 可行解等基本概念; 2.线性目标函数的最值的图解法及其步骤. 最优解在可行域顶点或边界取得. 把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行域边界 所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚.

真理喜欢批评,因为经过批评,真理就会取胜; 谬误害怕批评,因为经过批评,谬误就会失败。


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