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高三数学第一轮复习_椭圆_图文

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§9.5 椭圆 基础知识
要点梳理

自主学习

1.椭圆的概念
在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大 于|F1F2|)的点的轨迹叫 椭圆 .这两定点叫做椭圆 的 焦点 ,两焦点间的距离叫做 焦距 . 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中

a>0,c>0,且a,c为常数:
(1)若 a>c ,则集合P为椭圆; (2)若 a=c ,则集合P为线段;

(3)若 a<c ,则集合P为空集.

定 义

|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y y
M F 2
M

图 形

F 1

o

F2 x

o
F 1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间的关系

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

F(±c,0)

F(0,±c)

c2=a2-b2

椭圆标准方程的再认识:
共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上,中心 在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是1. x 2 项分母较大. 不同点:焦点在x轴的椭圆 y 2 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆

范围
对称性

-a≤x≤a -b≤y≤b 对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

-b≤x≤b -a≤y≤a 对称中心:原点 A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

顶点
性 质 轴 焦距 离心率
a,b,c的关系

长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b |F1F2|=2c

c e ? ? (0,1) a
c2=a2-b2

一条规律 椭圆焦点位置与x2,y2系数间的关系: x2 y2 给出椭圆方程 m + n =1时,椭圆的焦点在x轴上?m>n>0; 椭圆的焦点在y轴上?0<m<n. 两种方法 (1)定义法:根据椭圆定义,确定a2、b2的值,再结合焦点位 置,直接写出椭圆方程. (2)待定系数法:根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上,设出相应形 式的标准方程,然后根据条件确定关于a、b、c的方程组,解 出a2、b2,从而写出椭圆的标准方程.

三种技巧 (1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴端点到焦点 的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为a+c,最小 距离为a-c. (2)求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次方程,再结 合b2=a2-c2就可求得e(0<e<1). (3)求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断是否为标 准方程,判断的依据是:①中心是否在原点;②对称轴是否为 坐标轴.

题型分类
题型一 椭圆的定义

深度剖析

【例1】一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与 圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨 迹方程. 思维启迪 两圆相切时,圆心之间的距离与两圆 的半径有关,据此可以找到动圆圆心满足的条件.

解 两定圆的圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1; O2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R, 则由题设条件可得|MO1|=1+R,|MO2|=9-R. ∴|MO1|+|MO2|=10.

由椭圆的定义知:M在以O1、O2为焦点的椭圆上,
且a=5,c=3. ∴b2=a2-c2=25-9=16,
x2 y2 故动圆圆心的轨迹方程为 ? ? 1. 25 16

探究提高

平面内一动点与两个定点F1、F2的距

离之和等于常数2a,当2a>|F1F2|时,动点的轨迹

是椭圆;当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2;
当2a<|F1F2|时,轨迹不存在. 知能迁移1 学案139页8题

题型二 椭圆的标准方程 例2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且 长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆 的方程; (2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称 轴,且经过两点P1( 6 ,1)、P2(求椭圆的方程.

3 ,- 2 ),

x2 y2 解 (1)若焦点在x轴上,设方程为 2 ? 2 ? 1 a b (a>b>0).

32 02 ∵椭圆过P(3,0),∴ 2 ? 2 ? 1, 即a ? 3 a b x2 又2a=3?2b,∴b=1,方程为 ? y 2 ? 1.
9

y2 x2 若焦点在y轴上,设方程为 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b 0 2 32 =1, b=3. ∵椭圆过点P(3,0),∴ ? 2 2 a b 又2a=3?2b,∴a=9,

y2 x2 ∴方程为 ? ? 1. 81 9 x2 y2 x2 ∴所求椭圆的方程为 ? y 2 ? 1或 ? ? 1. 9 81 9

(2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).

∵椭圆经过P1、P2点,∴P1、P2点坐标适合椭圆 方程, 则 ?6m ? n ? 1, ? ?3m ? 2n ? 1, ① ② 1 ? m? , ? 9 ①、②两式联立,解得 ? ?n ? 1 . ? 3
2 2 ∴所求椭圆方程为 x ? y ? 1. 9 3

探究提高

运用待定系数法求椭圆标准方程,即设

法建立关于a、b的方程组,先定型、再定量,若位 置不确定时,考虑是否两解,有时为了解题需要, 椭圆方程可设为mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n), 由题目所给条件求出m、n即可.

x2 y2 练、方程 25-m +16+m =1

,分别求方程满足
9 (1) m ? 2
(2) ? 16 ? m ? 25且m ? 9 2

下列条件的m的取值范围: ①表示一个圆;

②表示一个椭圆;

9 (3 ③表示焦点在x轴上的椭圆。 ) ? 16 ? m ? 2

题型三

椭圆的几何性质

【例3】已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上 一点,∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 思维启迪 (1)在△PF1F2中,使用余弦定理和 |PF1|+|PF2|=2a,可求|PF1|?|PF2|与a,c的关 系,然后利用基本不等式找出不等关系,从而求 出e的范围;
(2)利用 S Δ F PF
1 2

1 ? |PF1|?|PF2|sin 60°可证. 2

x2 y2 (1)解 设椭圆方程为 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 2 a b |PF1|=m,|PF2|=n.

在△PF1F2中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos 60°. ∵m+n=2a,

∴m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn,
∴4c2=4a2-3mn,即3mn=4a2-4c2. 2 m? n? ? ? a2 又mn≤ ? (当且仅当m=n时取等号), ? ? 2 ? c2 1 1 2-4c2≤3a2,∴ ∴4a ,即e≥ . 2 ≥ 4 2 a 又0<e<1, ?1 ? ∴e的取值范围是 ? ,1?. ?2 ?

由(1)知mn= 4 b 2 , 3 ∴ S Δ F PF ? 1mnsin 60°= 3 b 2 , 1 2 2 3 即△PF1F2的面积只与短轴长有关. (2)证明

探究提高

(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角

形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的 计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、

|PF1|+|PF2|=2a,得到a、c的关系. 定义式的平方 余弦定理 (2)对△F1PF2的处理方法 面积公式
? ?( PF ? PF ) 2 ? (2a ) 2 1 2 ? ? 2 2 ? ?4c 2 ? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos? . ? 1 ?S Δ ? PF1 PF2 sin ? ? 2

x2 y2 知能迁移3 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长、 a b 短轴端点分别为A、B,从椭圆上一点M(在x轴

上方)向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,
AB ∥ OM . (1)求椭圆的离心率e;

(2)设Q是椭圆上任意一点,F1、F2分别是左、右
焦点,求∠F1QF2的取值范围.
b2 解 (1)∵F1(-c,0),则xM=-c,yM= , a b b2 ∴kOM=.∵kAB=,OM ∥ AB , a ac 2 b c 2 ∴=- b ,∴b=c,故e= ? . ac a 2 a

(2)设|F1Q|=r1,|F2Q|=r2,∠F1QF2= ? , ∴r1+r2=2a,|F1F2|=2c,

r12 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 cos ? = ? 2r1r2 2r1r2

a2 a2 ? ?1 ? ? 1 ? 0, r1 ? r2 2 r1r2 ( ) 2
? ?? 当且仅当r1=r2时,cos ? =0,∴ ? ? ?0, ?. ? 2?

忆一忆知识要点

6. 点与椭圆的位置关系:

忆一忆知识要点

. 直线与椭圆的位置关系问题:

(2)假设 AB 椭圆为椭圆的一般弦 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), (2)假设 AB 椭圆为椭圆的一般弦 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 弦中点为M ( x0 , y0 ). 弦中点为M ( x0 , y0 ). 1 2 ? 1? 2 y ? 2 | ①则弦长 l ? 1 ? k |2 x1 ? x2 | ,ll? 1 ? 121|| y11? yy2 .| . ①则弦长 l ? 1 ? k | x1 ? x2 | , l ? 1 ? 2 | y1 ? y2 | . k kk

忆一忆知识要点

② k AB ② k AB

b 2 x0 2 ? ? b 2 x0 ; ? ? a2 y ; a y0
0

b 2 x0 b 2 x0 ( x ? x0 ) ③直线 AB 的方程: y ? y0 ? ? 2 ( x ? x ) ③直线 AB 的方程: y ? y0 ? ? a 2 y 0 a y0
0

④可通过根与系数的关系来解决中点弦问题;这其 中的解题方法就是常说的“设而不求,整体代入”;


题型四

直线与椭圆的位置关系

x2 y2 【例4】(12分)椭圆C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两 a b 个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2,
4 |PF1|= ,|PF2|= 14 . 3 3 (1)求椭圆C的方程;

(2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆 C于A,B两点,且A,B关于点M对称,求直线l的

方程.

思维启迪

(1)可根据椭圆定义来求椭圆方程;

(2)方法一:设斜率为k,表示出直线方程,然后
与椭圆方程联立,利用根与系数的关系及中点坐 标公式求解; 方法二:设出A、B两点坐标,代入椭圆方程,作 差变形,利用中点坐标公式及斜率求解(即点差

法).

解 (1)因为点P在椭圆C上,
所以2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3. 在Rt△PF1F2中,F1F2 ? 故椭圆的半焦距c= 5 , 从而b2=a2-c2=4,
x2 y2 所以椭圆C的方程为 ? ? 1. 9 4

2分
2

PF2 ? PF1 ? 2 5,
2

4分

6分

(2)方法一 设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的 坐标为(-2,1),由分析知斜率存在

从而可设直线l的方程为:y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得: (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.

8分

(2)方法一 设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的 坐标为(-2,1),由分析知斜率存在,从而

可设直线l的方程为:y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得: (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为A,B关于点M对称,

8分

x1 ? x2 18k 2 ? 9k 8 10分 所以 ?? ? ?2, 解 k ? , 得 2 2 4 ? 9k 9 所以直线l的方程为y= 8 (x+2)+1, 9
即8x-9y+25=0.

(经检验,所求直线方程符合题意)

12分

方法二

已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5, 8分

所以圆心M的坐标为(-2,1), 设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

由题意x1≠x2,
x12 y12 ? ?1 9 4 2 2 x2 y 2 ? ?1 9 4





由①-②得:
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ? 0. 9 4



方法二

已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5, 8分

所以圆心M的坐标为(-2,1), 设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

由题意x1≠x2,
x12 y12 ? ?1 9 4 2 2 x2 y 2 ? ?1 9 4





由①-②得:
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ? 0. 9 4 因为A,B关于点M对称,



所以x1+x2=-4,y1+y2=2,

代入③得 y1 ? y2 ? 8 ,
x1 ? x2 9

即直线l的斜率为 8 ,
9

10分

所以直线l的方程为y-1= 8 (x+2),
9

即8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意). 12分

探究提高(1)直线方程与椭圆方程联立,消元后 得到一元二次方程,然后通过判别式Δ来判断直 线和椭圆相交、相切或相离.

(2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭
圆交点的横坐标或纵坐标,通常是写成两根之和 与两根之积的形式,这是进一步解题的基础.

(3)若已知圆锥曲线的弦的中点坐标,可设出弦
的端点坐标,代入方程,用点差法求弦的斜率.注 意求出方程后,通常要检验.

x2 y2 知能迁移4 若F1、F2分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 a b (a>b>0)的左、右焦点,P是该椭圆上的一个
动点,且|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=2 3 . (1)求出这个椭圆的方程; (2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆 交于不同的两点A、B,使 OA⊥OB (其中O为坐 标原点)?若存在,求出直线l的斜率k;若不存 在,说明理由.

解 (1)依题意,得2a=4,2c=2 所以a=2,c=

3 ,

2 2 3 ,∴b= a ? c ? 1. x2 ∴椭圆的方程为 ? y 2 ? 1. 4

(2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆 交于不同的两点A、B,使 OA⊥ OB (其中O为坐

标原点)?若存在,求出直线l的斜率k;若不存
在,说明理由.

(2)解:假设存在
当直线的斜率不存在,即x=0时,不满足条件. 设l的方程为y=kx+2,

由A、B是直线l与椭圆的两个不同的交点, 设A(x1,y1),B(x2,y2), ? x2 ? ? y2 ? 1 由 ?4 , 消去y并整理,得 ? y ? k x? 2 ?

(1+4k2)x2+16kx+12=0.
∴Δ =(16k)2-4(1+4k2)?12=16(4k2-3)>0, 解得k2> 3 .
4 x1+x2=- 16 k ,x1x2= 12 2 . 1 ? 4k 1 ? 4k 2



∵ OA⊥ OB ,∴ OA? OB =0, ∴ OA? OB =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)

=x1x2+k2x1x2+2k(x1+x2)+4
=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4

12 4(4 ? k 2 ) ? 16 k ? ? (1 ? k 2 ) ? ? 2k ? ? ?4? ? 0, 2 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k ? 1 ? 4k ?
∴k2=4.
由①②可知k=±2, 所以,存在斜率k=±2的直线l符合题意.



解:易知 a=2,b=1,c= 3, a=2,b=1,c= 解:易知a=2,b=1,c= 3,3, 3, 解:易知 a=2,b=1,c= 3, 解:易知 解:易知 a=2,b=1,c= 所以 F(- 3,0),F ( 23,0). (- 3,0),F ( 3,0). 所以 1 (- 3,0),F 3,0). 所以 FF(- 3,0),F222( 3,0). 2( 3,0). 所以 F111 所以 F1(- (3,0),F
1 1 1 2 2 2

x2 ? y2 ? 1 【例】设 F1,F2 分别是椭圆 4 的左右焦点,若 ?????? ?????? ? 圆上的一个动点,求 PF 1?PF 2 的最大值和最小值.

P 是该椭

设 P(x,y), 设 P(x,y), 设 P(x,y), P(x,y), 设 设 P(x,y), ?????? ?????? ?????? ?????? ?? ? ?????? ?????? ? ?????? ?????? ? ?????? ?????? 则 PF PF =(- 3-x,-y)· 3-x,-y) 则 PF ??1??PF=(-?PF 3-x,-y)· 3-x,-y) =(- ((( 3-x,-y) 则 PF PF =(- 3-x,-y)·3-x,-y)· ( 则 PF PF 则=(-3-x,-y)· 3-x,-y)( 3-x,-y) 2 PF 22 xx2 x2 11 x222 2=x2+y2-3=x2+1- -8). 2 2 =x+y222-3=x+1- x -3= (3x 2-3=1 =x2222+y-3=x222+1- -3= 1(3x1-8). (3x2-8). =x +y -3=x +1-44 -3=4(3x -8). =x +y -3=x +1- -3= (3x -8). 4 4 4 4 44 4 , 因为 ??? 2 ,2 ?,故 因为 xx??????,2?,,故?? 2,2? ,故 因为 xx???2222?2x ? 因为 ,故 ?
1 2

?????? ?????? ?????? ???????? ?????? ?????? ? ?????? ?????? ? ?????? ? 当 x=0, 即点 PP为椭圆短轴端点时,PF 1?????????有最小值-2; x=0, 即点P为椭圆短轴端点时, PF 11PF22有最小值-2; 为椭圆短轴端点时, PF PF 2 有最小值-2; 当 x=0, 即点 x=0, 即点 P 为椭圆短轴端点时, PF 1?PF 2 有最 PF 当 当 P 为椭圆短轴端点时, ?????? ? ?????? 当 x=0, 即点 ?????? ?????? ? ?? 1 2 有最小值 ?????? ?????? ?????? ?????? 当 x= ?2,即点 P 2,即点 P 为椭圆长轴端点时, ? ? 1. x= 2,即点P为椭圆长轴端点时, PF 1PF 2 2有最大值 ? 为椭圆长轴端点时, PF 1PF 有最大值 1. 当 x= ??2,即点?P为椭圆长轴端点时,PF 1???PF2有最大值 1. 有最 ?????? ?????? PF 当 当 x= PF 1 2

因为

,故

PF PF

当 x= ? 2,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF 1?PF 2 有最大值

y2 ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为 【2】椭圆 x ? 9 4
2

其上的动点,当 ?F1 PF2 为钝角时,则点 P 的横坐标
(? 3 5 , 3 5 ) 的取值范围是____________. 5 5

y
P
o F2 x

? x 2 ? y 2 ? 5, ?4 x 2 ? 9 y 2 ? 36, ?
? x2 ? 9 5

F1

【1】已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆 的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,则离心率的取值范围
2 , ? 1) [ 是__________. 2

解:当点 P 在椭圆短轴端点时, ?F1 PF2 最大.
?? ≥ 45? ? sin ? ≥ 22
c ? sin ? ≥ 2 a 2 又 0 ? e ?1 ? 2 ≤e ?1 2
F1

y
P
?

o

F2

x

例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,且 PF1 ? PF2 ,求离心率的取值范围.

(Ⅱ)设 PF1 ? m , PF2 ? n ,

构造方程、不等式

( m ? n)2 ? ( m 2 ? n 2 ) ? mn ? ? 2(a 2 ? c 2 ). 2 2 2 m ? n ? 4c , 2 y m , n 是方程 x 2 ? 2ax ? 2(a 2 ? c 2 ) ? 0 的两个根, P 所以 ? ? (2a )2 ? 8(a 2 ? c 2 ) ≥ 0 .
2 2 ? c2 ≥ 1 ? 2c ≥ a 2 a

则 m ? n ? 2a,

2

F1

o

F2

x

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴 端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离, 且最大距离为a+c,最小距离为a-c.

2.过焦点弦的所有弦长中,垂直于长轴的弦是最
2b 2 .把这个弦叫椭圆 短的弦,而且它的长为 a

的通径.

3.求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次 方程,再结合b2=a2-c2就可求得e (0<e<1).

4.从一焦点发出的光线,经过椭圆(面)的反射,

反射光线必经过椭圆的另一焦点.
5.过椭圆外一点求椭圆的切线,一般用判别式Δ =0

求斜率,也可设切点后求导数(斜率).
6.求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断 是否为标准方程,判断的依据是:(1)中心是否 在原点,(2)对称轴是否为坐标轴.

失误与防范
1.求椭圆方程时,在建立坐标系时,应该尽可能 以椭圆的对称轴为坐标轴以便求得的方程为最简 方程——椭圆的标准方程. 2.求两曲线的交点坐标,只要把两曲线的方程联 立求方程组的解,根据解可以判断位置关系,若 方程组有解可求出交点坐标. 3.注意椭圆上点的坐标范围,特别是把椭圆上某

一点坐标视为某一函数问题求解时,求函数的单
调区间、最值时有重要意义. 4.判断椭圆标准方程的原则为:长轴、短轴所在 直线为坐标轴,中心为坐标原点.

5.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与

y2的分母大小,若x2的分母比y2的分母大,则焦点
在x轴上,若x2的分母比y2的分母小,则焦点在y 轴上.

x2 y2 6.注意椭圆的范围,在设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 上点的坐标为P(x,y)时,则|x|≤a,这往往
在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容 易被忽略而导致求最值错误的原因.

定时检测
一、选择题
x2 y2 1.(2008?上海)已知椭圆 =1, ? 10 ? m m ? 2

长轴在y轴上,若焦距为4,则m等于 A.4 解析 B.5 C.7

( D) D.8

椭圆焦点在y轴上,∴a2=m-2,b2=10-m.

又c=2,∴m-2-(10-m)=22=4.∴m=8.

x2 2.已知点M( 3 ,0),椭圆 ? y 2 =1与直线 4 y=k(x+ 3 )交于点A、B,则△ABM的周长为

A.4

B.8

C.12

(B ) D.16

解析 直线y=k(x+ 3 )过定点N(- 3 ,0),而M、N x2 恰为椭圆 ? y 2 ? 1 的两个焦点,由椭圆定义知 4 △ABM的周长为4a=4?2=8.

3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积 的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为

A.1

B. 2

C.2

(D ) D.2 2

x2 y2 解析 设椭圆 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则使三角 a2 b 形面积最大时,三角形在椭圆上的顶点为椭圆短
轴端点,
1 b2 ? c2 a 2 ∴S= ?2c?b=bc=1≤ ? . 2 2 2 ∴a2≥2.∴a≥ 2 .∴长轴长2a≥2 2 ,故选D.

x2 y2 4.(2009?浙江)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) a b
的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且
??? ? ??? ? BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若 AP ? 2 PB 则椭

圆的离心率是 A. 3 2 B. 2 2 C. 1 3





1 D. 2

解析

如图,由于BF⊥x轴,

b 2 ,设P(0,t), 故xB=-c,yB= a ∵ AP =2 PB , ? b2 ? ∴(-a,t)=2 ? ? c, ? t ?, ? ? a ? ? ∴a=2c,∴e= c ? 1 . a 2 答案 D

5.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长 轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF2是

等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( C )
A. 3 B. 2 C. 2 ? 1 2 2 解析 ∵△ABF2是等腰直角三角形, ∴|AF1|=|F1F2|,将x=-c代入椭圆方程 D. 2

x2 y 2 b2 ? 2 ? 1得A(?c,? ), 2 a b a b2 从而 ? 2c, 即a2-c2=2ac,整理得e2+2e-1=0, a 解得e=-1± 2 ,由e∈(0,1),得e= 2 -1.

x2 y2 6.(2009?江西)过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦
点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( B )
1 A. 2 B. 3 C. 1 D. 3 2 2 3 ? b2 ? ? b2 ? 解析 由题意知点P的坐标为 ? ? c, ?或? ? c,? ?, ? a? ? a? ? ? ? ? ∵∠F1PF2=60°,

∴ 2c ? 3 , 即2ac= 3 b2= 3 (a2-c2). b2 a ∴ 3 e2+2e- 3 =0,∴e= 3 或e=- 3 (舍去). 3

二、填空题 7.(2009?广东)已知椭圆G的中心在坐标原点,

长轴在x轴上,离心率为
x2 y2 ? ? 1. . 36 9

3 ,且G上一点到G的 2

两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为

解析 又e=

设椭圆的长半轴为a,由2a=12知a=6,

c = 3 ,故c=3 3 ,∴b2=a2-c2=36-27=9. a 2 x2 y2 ∴椭圆标准方程为 ? ? 1. 36 9

x2 y2 8.设椭圆 2 ? 2 ? 1(m>0,n>0)的右焦点与抛 m n

物线y2=8x的焦点相同,离心率为 1 ,则此椭圆的 2 x2 y2 ? ?1 标准方程为 16 12 .

解析

抛物线y2=8x的焦点是(2,0),∴椭圆
m2 ? n2 2 1 ? ? , m m 2

的半焦距c=2,即m2-n2=4,又e=

∴m=4,n2=12.
x2 y2 从而椭圆的方程为 ? ? 1. 16 12

9.B1、B2是椭圆短轴的两端点,O为椭圆中心,过 左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P,若|F1B2|是

|OF1|和|B1B2|的等比中项,则 PF1 的值是 OB2
解析 由已知2bc=a2=b2+c2,∴b=c= 2 a.
2

2 2

.

设P(x0,y0),则x0=-c,|y0|=|PF1|.
2 ( ?c ) 2 y0 ? 2 ? 2 ? 1, a b 2 PF1 y0 c2 b2 1 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? .? ? . b a a 2 OB2 2

三、解答题
10.根据下列条件求椭圆的标准方程: (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 4 2 P到两焦点的距离分别为 5和 5 ,过P作长 3 3 轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;
1 (2)经过两点A(0,2)和B ? , 3 ?. ? ? 2 ? ? x2 y2 解(1)设椭圆的标准方程是 ? 2 ?1 或 a2 b y2 x2 ? 2 ? 1, 2 a b

则由题意知2a=|PF1|+|PF2|=2 5 ,∴a= 5 .
x2 y2 在方程 中令x=±c得|y|= b ? 2 ?1 2 a a b b2 y2 x2 在方程 ? 2 ? 1 中令y=±c得|x|= a a2 b 2 依题意并结合图形知 b = 2 5 .∴b2= 10 . 3 a 3 即椭圆的标准方程为
2

x2 3 y 2 y 2 3x 2 ? ? 1或 ? ? 1. 5 10 5 10

?1 (2)设经过两点A(0,2),B ? , 3 ? 的椭圆标 ? ?2 ? 准方程为

mx2+ny2=1,代入A、B得
?4 n ? 1 ?m ? 1 ? ? ?? ?1 1, ? 4 m ? 3n ? 1 ?n ? 4 ? ?

y2 ∴所求椭圆方程为x2+ =1. 4

11.(2008?辽宁)在平面直角坐标系xOy中,点P到 两点(0,- 3)、(0, 3 )的距离之和等于4, 设点P的轨迹为C.

(1)写出C的方程;
(2)设直线y=kx+1与C交于A、B两点,k为何值时
OA ⊥ OB ?此时| AB |的值是多少? 解 (1)设P(x,y),由椭圆的定义可知,点P

的轨迹C是以(0,-

3 )、(0, 3 )为焦点,长半 轴长为2的椭圆,它的短半轴长b= 2 2 ? ( 3 ) 2 ? 1,
y2 故曲线C的方程为x2+ =1. 4

? 2 y2 (2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),其坐标满足 ? x ? 4 ? 1, ? ? y ? k x ? 1, ? 消去y并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0,
2k 3 故x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k ?4 k ?4 若 OA ⊥ OB ,则x1x2+y1y2=0.
而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,

3 3k 2 2k 2 于是x1x2+y1y2= ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 0, k ?4 k ?4 k ?4 化简得-4k2+1=0,所以k=± 1 . 2

4 12 1 当k=± 时,x1+x2=± ,x1?x2=, 17 17 2 | AB |= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2
=
1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2

而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1?x2
12 4 2 ? 52 ? 4? ? ?? ? ? 4? ? . 2 17 17 ? 17 ? 8 13 1 8 13 5 4 65 ? AB ? ? 1? ? ? ? . 17 4 17 2 17
2

x2 y2 12.已知椭圆C: 2 ? 2 =1 (a>b>0)的离心率 a b 1 3 为 ,且经过点P ?1, ?. ? ? 2 ? 2? (1)求椭圆C的标准方程;

(2)设F是椭圆C的左焦点,判断以PF为直径的

圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系,并说
明理由.

x 2 y 2 =1 (a>b>0)的离心 解 (1)∵椭圆 ? 2 2 a b 率为 1 ,且经过点P ?1, 3 ?, ? ?
2

? 2?

? a 2 ? b2 1 ?3a 2 ? 4b 2 ? 0, ? , ? ?a 2 ? 4, ? ? a 2 即? ?? 解 ? 2 得 ?1 9 ?b ? 3. ? 1 ? 9 ? 1, ? 2 ? 2 ? 1. ? 4b ?a ? a 2 4b 2 ?
x2 y2 ∴椭圆C的标准方程为 ? ? 1. 4 3

(2)∵a2=4,b2=3,∴c=

a 2 ? b 2 ? 1.

∴椭圆C的左焦点坐标为(-1,0).

以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=4,圆心
坐标是(0,0),半径为2.
2+ ? y ? 3 ? ? 25 , 圆心 以PF为直径的圆的方程为x ? ? 4 ? 16 ? ? 3 ? 半径为 5 . 坐标是 ? 0, ?, 4 ? 4? 由于两圆心之间的距离为
2

3 5 ?3 ? ( 0 ? 0) ? ? ? 0 ? ? ? 2 ? , 4 4 ?4 ? 故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.
2

2

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