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第13届中国北方数学奥林匹克

时间:2018-03-27

2017年第10期

21

第1 3届中国北方数学奥林匹克
中图分类号:G424.79 文献标识码:A 文章编号:1005—6416(2017)10一0021—05

基础班
1.设数列{口。}满足

形可以分割成n个全等的三角形. (缠祥瑞供题) 7.定义Js(n)为n在十进制表示下的数 码和,例如,S(2 017)=2+0+1+7=10.证 明:对于任意素数p,存在无穷多个正整数n 满足Js(n)三n(mod p). (李无为供题) 8.给定正整数n(n>1),n个实数戈,,菇:, …,石。满足石1,戈2,…,石。∈[O,凡],且 供题) 戈1戈2…戈。=(n一戈1)(n一戈2)…(n一戈n). 试确定y=z1+戈2+…+戈。的最大值. (张利民供题)

口。=?心=÷,

坐掣掣:半(n∈z+).
口:+l 证明:对于任意的正整数n,均有
(1+o。+1)2




+7

。。+口:+…+口。<碧.(刘宏明
2 0172

2.证明:存在无穷多个正整数n,使得 f(1“+2“+…+2 0164). (张雷供题) 3.在△ABC中,D为边Bc的中点,E、F 分别为边A曰、AC上的点,且DE=DF证明:
AE+AF=BE+CF

提高班
1.已知数列{o。}满足
n1=e,口2
e 8n 2 e3,

铮么肋F=么烈C.

e1-‘8:“=%+】8翼l(恐≥2,忍∈z+,j}∈R+). L恐;z,忍∈厶+,拧℃K+,?
=8n+18n—I

(缠祥瑞供题)

缈卫

4.记Q为l,2,…,100的若干个排列组 成的集合,且满足对于任意的1≤口、6≤100, 口≠6,至多存在一个盯∈Q,使得在盯中n 的下一个数恰为6.求集合Q的元素个数的 最大值. 5.如图1,在 △A8C中,么A= 600,M为曰C的中 点,Ⅳ在A曰上,且 (孙公春供题)

求儿口。.
i=1

(郝红宾供题)

2.同基础班第3题. 3.同基础班第4题. 4.已知n≥3(n∈Z+),n个两两互素的 正整数口,,o:,…,口。满足:可以适当添加 “+”或“一”使它们的代数和为O.问:是否

么脚=300,D、E
分别为边AB、AC上

8丛c
(金磊供题)

存在一组正整数6。,6:,…,6。(允许相同),使
得对任意正整数后,61+玩1,62+尼02,…,6。+ 玩。两两互素? (张利民供题) 5.已知正六边形A曰优)EF边长为o,两 个动点M、Ⅳ分别在边BC、DE上运动,且满

任意点,F、G、日分

足么MⅣ=600.证明:埘?AⅣ一删?删恒
为定值. 数码和.例如, (黄全福供题) 6.定义S,(n)为n在r(r>1)进制下的

别为边船、凹、胞的中点,D为△F伽的外

心.证明:点0在删上.

6.求所有的正整数n,使得存在凸五边

万方数据

22

中等数学

38=(1 102)3,.s,(38)=1+1+O+2=4.

证明:(1)对于任意r>2,存在素数p,使 得对任意正整数n,有S,(n)三n(mod p); (2)对于任意r>1及素数p,存在无穷 多个正整数儿满足s,(n)三n(mod p). (李无为供题) 7.同基础班第8题. 8.青青草原上生活着编号为1,2,…,7 的7只羊和编号为1,2,…,2 017的2 017匹 狼.在该草原上有如下奇怪的规则: (1)定义P(n)为小于n的素数个数,仅

<?+号+寺+寺阻争..+嘉)








34

<l+了+了+了2万。
2.取珏=2 017殆(南为奇数). 易知,这样的n有无穷多个. 此时,对任意的1≤口≤2 016,由二项式 定理得 口“+(2 017一口)“

三口”+c:2 017(一口)“一1+c::(一口)“
=2

017黼“~三O(mod
0172

2 0172).

当P(i)号(mod 7)时,编号为i的狼可以吃
掉编号为歹的羊(也可以不吃); (2)若编号为i的狼吃了编号为_『的羊, 则它会立刻变成编号为歹的羊; (3)每匹狼在确保不会被吃的前提下都 非常想体验作为一只羊的生活. 假设每匹狼都很聪明,求最后草原上会 剩下多少匹狼? (李无为 供题)

贝02

2(1“+2“+…+2 016“)
I(1“+2“+…+2 016“).

=今2 0172

3.如图2,取A8、AC的中点M、Ⅳ,延长

DM至点P使得MP=MA,联结EP、MN、DN.
尸k

参考答案
基础班

:;巾=l—1 j等?等=(等)2.
1岫等尝笋
on 口n+2 — 2 口n+1



D 图2



onon+2

一方面,若AE+AF=船+凹,则
EM=FN.



口n+1



则数列f坐1是以2为首项、2为公比

o。

又由[PME=[MAN=Z DNF及
MP=MA=DN.



的等比数列.



△PME丝△DNF.
黜PE=DF=DE,且 [NDF=[MPE=[PDE.

于是,等彰~。=击.
口。

Z”一l

当n=1,2,3时,易证
34

投[EDF=[MDN=[BAC.

另一方面,若么肋F=么烈C,则
[MDE=[NDF. 由正弦定理知
EM

口1+02+…+on<万;
当您≥4时,
口n

2歹j<歹曩F百2了×F









sin么删sin么ZⅥ纪
DF FN

DE

:亭口1+n,+…+8。

sin么DⅣF
万方数据

sin么ⅣDF

2017年第10期 =々EM=b?N=令AE+A壬?=BE+C}1.

么FDG=1200. 从而,D、F、M、G四点共圆. 又0F=DG,则

4.首先,假设IQI≥101. 若在某个排列中戈、y连续出现,则称 (菇,y)为一个“片段”. 由于每个排列恰有99个片段,于是,集 合Q中共有99×101=9 999个片段. 而不同的片段只有100×99=9 900个, 由抽屉原理,知存在一个片段在集合Q中出 现至少两次,矛盾. 从而,I Q I≤100. 其次,令
仃f=(1+i,100+i,2+i,99+i,…, 50+i,51+i)(O≤i≤99),

么伽D=么凹D=30。
=[BNM=[GMN.

因此,点D在删上.
6.首先,易证n=1,2不成立. 下面证明n≥3均可以. 考虑是否存在n个全等的三角形可以拼 成一个凸五边形. 若n为奇数,注意到,两个全等的直角三 角形可以拼成一个平行四边形,则偶数个全 等的直角三角形可以拼成一个平行四边形, 再加一个直角三角形可以拼成凸五边形(如 图4);若乃为偶数,则奇数个全等的直角三 角形可以拼成一个梯形,再加一个直角三角 形可以拼成一个凸五边形(如图5).

其中,所有元素均按模100处理, Q={盯i IO≤i≤99}. 则对于1≤另≤99,盯o(彤+1)一矿o(z)不 重复地取遍模100的除O外的完全剩余系. 故对口≠6,可唯一找到1≤壳≤99,使得 仃o(七+1)一盯o(七)三6一口(mod 100), 然后,可找到唯一适当的i,使得盯;(七)=o.

心晒
图4 图5

从而,此集合Q满足要求
综上,IQI的最大值为100.

从而,对任意n≥3,存在n个全等的三 角形可以拼成一个凸五边形. 选取这个凸五边形,故可以分割成n个 全等的三角形. 7.设p的十进制表示为p=瓦i了ii.

5.如图3,联结肼、眦


令n=p∑10靛.则
S(n)=p(口后+n七一1+…+n1). 于是,pIn且pIS(n). 因此,存在无穷多个正整数n满足
幽3

5(n)三托(mod p). 8.最大值为n2一乃. 令yI=生(七=l,2,…,n).

由中点及中位线定理知
FM

f}托.HG f{托。m?}媪。GM?}媪

j FM/f HG,GM?/HF

j四边形剧砸G为平行四边形,且

于是,y。∈[o,1],Ⅱy。=Ⅱ(1一y。).
詹=l 七=l

么删G=么朋G=600.
由于0为△胛G的外心,则
万方数据

若存在虮=o,则Ⅱn≤n一1.

24

中等数学

矗为偶数时,
61+ol知,62+02 j},…,6。+口。七

中有两项同为偶数,不互素. (ii)若6。,6:,…,6。中至多有一个偶数, 于是

,yI:鲁,且血铲1. ∥沪再,且斟铲L

则其中至少有三个奇数,设6。、6:、6,为奇数 考虑o。、口:、口,.由题设其中至少有两个 奇数,不妨设o。、口:为奇数,则当后为奇数时, 6l+n1庇、62+口2而同为偶数,不互素 综上,n≥4时,不存在. (2)当n=3时. 由题设,不妨设口1+口2=口3. 注意到,(口。,口:)=1. 由裴蜀定理,知存在整数x、y使得
口l戈+02y=1.

不 妨 设zl≤z2≤…≤z。.则z1乞≤1.

故客舻骞惫

=蕞瓮毫+毒惫一?.
1+zl+z2+zlz2

j|量l+彳七

而,y=∑菇。=n∑y。≤n2一n.
孟=l 七=l

从又 当戈l,戈2,…,戈。中恰有n一1个为n、 1个为0时,y=n2一n. 因此,所求最大值为n2一n.

不妨设髫>0>弘 吃






62.

提高班 1.对e卜‘o:“=口。+。D苎。,两边同时取自
然对数得 1一南+(后+2)ln j 1+ln o。+1
n。=1n口。+l+2后ln口。一l

馒A
y%%



%“吲 “


_r

㈨)
加 “

一(口l+口2)62 一口l(6l+62) +口l后)=1,
=一1,

吼 A

斗硼

m。

=(.|}+2)(1+1n口。)一2I|}(1+ln n。一1). 设6。=1+ln
o。.



如而后一旷n

贝0 6。+1=(后+2)6。一2七6。一l(几≥2) =令6。+1—26。=岛(6。一26。一1)(n≥2).
又6l=1+ln
01=1+ln e=2,

蜊吲州 一%b



_砂的 ㈣啦啦

=一1.

故6l+口1尼、62+口2|j}、63+口3尼两两互素. 从而,当n=3时,这样的整数存在

5.如图6,延长DC,分别与A曰、胧的延
长线交于点P、Q,联结AC、AE
A F。

62=1+ln口2=1+ln e3=4,

则6。+l一26。=O j 6。=28(n∈Z+) j 6。=1+ln
2 017

o。=28

j口。=e2k1.

记s=∑(2‘一1).
2 017

故Ⅱo;=e5=e22“8。2
i=1



019.

,,


/ P

2. 3. 4.

同基础班第3题 同基础班第4题 (1)当 n≥4时.



C 图6

由正六边形的性质易知

(i)若6。 ,62,…,6。 中有两个偶数,则当

么甜E:60。:么埘Ⅳ

万方数据

2017年第10期

j么cAQ=么尉Ⅳ,
么ACQ=么AEⅣ=900,

取卜.1任一素因子p,于是, r三1(mod p). 任取n=(o。o一…口,),,在模p意义下有 n=(口,o,一1…口1),

Ac=AE=万口,cP=口.

则△cAQ丝△以Ⅳ,
DN=Q—EN=o—CQ=PQ, AM?AN—BM?DN=AM?AQ—BM?PQ. 记么cAQ=良 在△ACM中,由正弦定理得


=∑r¨10。三∑口。=.s,(n),
七=l 丘=l

S,(n)三n(modp). (2)设p的r进制表示为


j埘=高,
CM sin p—sin CM=



再口

2(口^口^一1…口1),.
n—l

30。一sin(30。+p)

令几=p∑r航.则
I=U

S,(n)=p(口I+口I—l+…+口1). 于是,pI凡且pIJs(n). 因此,存在无穷多个正整数n满足 .s,(n)三n(mod p).


万口sin臼
sin(30。+p)‘

故肼=口一CM

2—‘五琢声而厂口
sin(300+p)一√3 sin

7.同基础班第8题. 8.首先,考虑有1只羊和n匹狼且所有 狼均可以吃这只羊的情形. 当n=1时,这匹狼当然会把羊吃掉,不 用担心自己变成羊之后会被吃. 当n=2时,这两匹狼均不敢吃羊,否则, 会在变成羊之后被另外一匹狼吃掉. 当n=3时,这三匹狼均想吃这只羊,因 为即使自己变成羊,由n=2情形时的推论, 另外两匹狼不敢吃自己. 设当n=2蠡时所有的狼均不敢吃羊, n=2后+1时所有的狼均想吃羊.


=瓦面丽‘万仉
在△ACQ中,注意到,

cos口一√歹sin秽

AQ=豢,

cQ=胁粕口=等,
鼬AM?AQ—BM?PQ


PQ=口_cQ=型挚.
口2(3一(cos伊一万sin p)2)
2sin(300+p)?cos


当n=2Ij}+2时,若某匹狼吃了羊,由 n=2|j}+1的推论,它会立刻被某匹其他狼吃 掉.故n=2七+2时所有的狼均不敢吃羊. 当n=2七+3时,若某匹狼吃了羊,由 n=2后+2的推论,其他的狼均不敢吃自己.故 n=2I|}+3时所有的狼均想吃羊. 由数学归纳法,知几为奇数时所有的狼均

而3一(cos p一√§sin p)‘

=3一(cos2臼+3sin2口一2√芋sin臼?cos p)
=2cos =4cos

p(cos臼+√亨sin口) p?sin(300+p).

故AM?AN—BM?DN
=AM?AQ—BM?PQ=2口2(定值). 6.(1)由r>2,知r一1>1. 从而,r一1有素因子.
万方数据

想吃羊,n为偶数时所有的狼均不敢吃羊
其次,记集合 |s={1,2,…,2 017},



中等数学

20 1 7中国北方希望之星数学邀请赛
中图分类号:G424.79 文献标识码:A 文章编号:1005—6416(2017)10—0026—05

由中国北方希望之星数学邀请赛组委会和吉林省数学会主办,东北师范大学附属中学协 办的2017中国北方希望之星数学邀请赛于7月24_27日在吉林长春举行。 此项赛事是在原中国数学奥林匹克委员会副主席裘宗沪先生的倡议下,由中国北方地区 各优秀中学参与的一项全新数学竞赛活动。作为首届赛事,裘宗沪先生发来了致辞。 裘先生在致辞中强调“‘大众化、普及型’是中国数学会普及工作委员会为我国数学竞赛 活动制定的方针。数学竞赛是群众性的课外活动,不能光物色尖子学生,而是要让多数学生对 题目有所作为,要有进步的空间o” 针对赛题的命制,裘先生也提出了建议:“竞赛题目自然要有一定新意、难度,在考场难一 下,出考场后一经点拔就能明白,甚至让学生多想想,也能想出解法。要让学生明白自己努力 的方向,为参加更高层次的竞赛作准备。” 最后,裘先生对所有参赛的学生提出了希望:“我参与数学竞赛已三十多年,讲一句肺腑 之言:‘竞赛要尽力争取好成绩,不必过分计较名次,否则会影响进步。对IMO中的我国成绩 也应如此看待’。” 本届邀请赛以学校为单位,共有19支代表队98名学生参加。比赛分两天进行,每天4题 每题15分,满分120分。此次邀请赛中共有26人获一等奖,38人获二等奖,26人获三等奖。 1.记[菇]表示不超过实数戈的最大整 数.已知正整数数列{口。}满足o。=口,且对任 意正整数n,均有 口。+1=o。+2[√口。]. (1)若口=8,求最小的正整数n,使得口。 为完全平方数; (2)若口=2 017,求最小的正整数n,使 得口。为完全平方数. (缠祥瑞供题)

2.如图1,在梯形A曰cD中,AD∥Bc,对

角线AC、肋交于点E,点M在线段BC上,

且删=彻.设△A删的外接圆与△C肼
的外接圆交于点Ⅳ(异于点M).证明:M、E、

At={n∈Sl P(n)三七(mod 7)}, 其中,后=1,2,…,7,并约定以IA I表示集合A 的元素个数. 由前面的论述,只需要考虑IA。I的奇偶 性即可. 设不超过2 017的所有素数为
p1,p2,…,p。=2 017.

p^+1,pt+2,…,p&+1,共p^+l—p&个. 当尼>1时,lA^I为偶数;

当蠡=1时,㈨l为奇数.
因此,lAl I为奇数,IA^I(Ij}>1)为偶数. 由结论①,知最后草原上会剩下2 匹狼. (毕耜琨提供)
016

则满足P(几)=庇(J|}<m,凡∈5)的n为

万方数据


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