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高中数学一轮复习函数(1)(带答案)

时间:2014-06-11


一轮函数(第二章) 函数的单调性
1. 函数 f(x)(x∈R)的图象如右图所示, 则函数 g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调减区间是________. 1 解析:∵0<a<1,y=logax 为减函数,∴logax∈[0, ]时,g(x)为减函 2 数. 1 由 0≤logax≤ 2 a≤x≤1.答案:[ a,1](或( a,1))

2.下列函数中,单调增区间是(-∞,0]的是________. 1 ①y=- x ②y=-(x-1) ③y=x2-2 ④y=-|x|

解析:由函数 y=-|x|的图象可知其增区间为(-∞,0].答案:④ 3 .若函数 f(x) = log2(x2 - ax + 3a) 在区间 [2 ,+∞) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析:令 g(x)=x2-ax+3a,由题知 g(x)在[2,+∞)上是增函数,且 g(2)>0. a ? ?2≤2, ∴? ∴-4<a≤4.答案:-4<a≤4 ?4-2a+3a>0, ? a 3 4.若函数 f(x)=x+ (a>0)在( ,+∞)上是单调增函数,则实数 a 的取值范围__. x 4 a 3 9 解析:∵f(x)=x+ (a>0)在( a,+∞)上为增函数,∴ a≤ ,0<a≤ . x 4 16 9 答案:(0, ] 16 f(x2)-f(x1) 5.定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则下列 x2-x1 结论正确的是________. ①f(3)<f(-2)<f(1) ②f(1)<f(-2)<f(3) ③f(-2)<f(1)<f(3) ④f(3)<f(1)<f(-2) f(x2)-f(x1) 解析:由已知 <0,得 f(x)在 x∈[0,+∞)上单调递减,由偶函数性质得 f(2)= x2-x1 f(-2),即 f(3)<f(-2)<f(1).答案:① 6.(2010 年宁夏石嘴山模拟)函数 f(x)的图象是如下图所示的折线 段 OAB,点 A 的坐标为(1,2),点 B 的坐标为(3,0),定义函数 g(x)=f(x)· (x-1),则函数 g(x)的最大值为________.
? (0≤x<1), ?2x(x-1) 解析:g(x)=? ?(-x+3)(x-1) (1≤x≤3), ?

当 0≤x<1 时,最大值为 0;当 1≤x≤3 时, 在 x=2 取得最大值 1.答案:1

6.已知 f(x)=log3x+2,x∈[1,9],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是________. 解析:∵函数 y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为
?1≤x≤9, ? ? ∴x∈[1,3],令 log3x=t,t∈[0,1], 2 ? ?1≤x ≤9,

∴y=(t+2)2+2t+2=(t+3)2-3,∴当 t=1 时,ymax=13.答案:13 1 7.若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间(0, )内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调递增区间 2 为__________. 1 解析:令 μ=2x2+x,当 x∈(0, )时,μ∈(0,1),而此时 f(x)>0 恒成立,∴0<a<1. 2 1 1 1 1 μ=2(x+ )2- ,则减区间为(-∞,- ).而必然有 2x2+x>0,即 x>0 或 x<- .∴f(x) 4 8 4 2 1 1 的单调递增区间为(-∞,- ).答案:(-∞,- ) 2 2 8.试讨论函数 y=2( log 1 x )2-2 log 1 x +1 的单调性.
2 2

1 解:易知函数的定义域为(0,+∞).如果令 u=g(x)=log x,y=f(u)=2u2-2u+1,那 2 1 么原函数 y=f[g(x)]是由 g(x)与 f(u)复合而成的复合函数,而 u=log x 在 x∈(0,+∞)内是减 2 1 1 1 1 函数,y=2u2-2u+1=2(u- )2+ 在 u∈(-∞, )上是减函数,在 u∈( ,+∞)上是增函 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 数. 又 u≤ , 即 log x≤ , 得 x≥ ; u> , 得 0<x< . 由此, 从下表讨论复合函数 y=f[g(x)] 2 2 2 2 2 2 的单调性: 单调性 函数 1 u=log x 2 f(u)=2u2-2u+1 1 1 y=2(log x)2-2log x+1 2 2 1 1 2 2 故函数 y=2(log x)2-2log x+1 在区间(0, )上单调递减,在区间( ,+∞)上单调递增. 2 2 2 2 x1 9.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( )=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. x2 (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的单调性;(3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. 解:(1)令 x1=x2>0,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0. x1 (2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1,由于当 x>1 时,f(x)<0, x2 x1 所以 f( )<0,即 f(x1)-f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2), x2 (0, 2 ) 2 ( 2 ,+∞) 2

所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. x1 9 (3)由 f( )=f(x1)-f(x2)得 f( )=f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. x2 3 由于函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数, 由 f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x>9 或 x<-9.因此不等式的解集为{x|x>9 或 x<-9}. 10.已知函数 f (x) = x2 , g ( x) = x - 1 . (1)若存在 x∈R 使 f (x) < b g (x) ,求实数 b 的取值范围; (2)设 F (x) = f (x)- mg (x)+ 1- m - m2 , 且 F ( x ) 在[0, 1]上单调递增, 求实数 m 的 取值范围. 解:(1) x∈R,f(x)<b· g(x x∈R,x2-bx+b =x2-mx+1-m2,Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4, 2 5 2 5 ①当 Δ≤0 即- ≤m≤ 时,则必需 5 5 =(-b)2-4b

b<0 或 b>4.(2)F(x)

? 2 ≤0 ? 2 5 2 5 ?- 5 ≤m≤ 5
x1≤0. m ? ? 2 ≥1 ? ? ?F(0)=1-m2≤0 m 若 ≤0,则 x2≤0, 2 m ? ? 2 ≤0 ? ? ?F(0)=1-m2≥0

m



2 5 ≤m≤0. 5

2 5 2 5 m ②当 Δ>0 即 m<- 或 m> 时,设方程 F(x)=0 的根为 x1,x2(x1<x2),若 ≥1,则 5 5 2

m≥2.

2 5 -1≤m<- .综上所述:-1≤m≤0 或 m≥2. 5

函数的性质
11.定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是以 2 为周期的周期函数,则 f(1)+f(4)+f(7)等于 ________. 解析:f(x)为奇函数,且 x∈ R,所以 f(0)=0,由周期为 2 可知,f(4)=0,f(7)=f(1),又 由 f(x+2)=f(x),令 x=-1 得 f(1)=f(-1)=-f(1)? f(1)=0,所以 f(1)+f(4)+f(7)=0.答 案:0 12.已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,对 x∈ R,f(2+x)=f(2-x),当 f(-3)=-2 时, f(2011)的值为________. 解析:因为定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,所以 f(2+x)=f(2-x)=f(x-2),故函数

f(x)是以 4 为周期的函数,所以 f(2011)=f(3+502× 4)=f(3)=f(-3)=-2.答案:-2 3 13.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f(x+ ),且 f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,f(1) 2 +f(2)+…+f(2009)+f(2010)=________. 3 解析:f(x)=-f(x+ )? f(x+3)=f(x),即周期为 3,由 f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2, 2 所以 f(1)=-1, f(2)=-1, f(3)=2, 所以 f(1)+f(2)+…+f(2009)+f(2010)=f(2008)+f(2009) +f(2010)=f(1)+f(2)+f(3)=0.答案:0 14.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(1)=1,若将 f(x)的图象向右平移一个单位后,得 到一个偶函数的图象,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)=________. 解析:f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),将 f(x)的图象向右平移一个单 位后,得到一个偶函数的图象所以有 f(x-1)=f(-x-1)? f(x-1)=-f(x+1)? f(t+2)=-f (t)? f(t+4)=f(t) ,所以周期为 4,∴f(3)=f(-1)=-f(1)=-1;f(2)=-f(0)=0; f(4)=f(0)=0,所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)=f(4)× 502 +f(2)=0.答案:0 15.(2010 年江苏苏州模拟)已知函数 f(x)是偶函数,并且对于定义域内任意的 x,满足 f(x 1 +2)=- ,若当 2<x<3 时,f(x)=x,则 f(2009.5)=________. f(x) 1 解析:由 f(x+2)=- ,可得 f(x+4)=f(x),f(2009.5)=f(502× 4+1.5)=f(1.5)= f(x) 5 5 f(-2.5)∵ f(x)是偶函数,∴ f(2009.5)=f(2.5)= .答案: 2 2 16.(2009 年高考山东卷)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0, 2]上是增函数.若方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4, 则 x1+x2+x3+x4=________. 解析: 因为定义在 R 上的奇函数, 满足 f(x-4)=-f(x), 所以 f(x-2)=-f(x+2), f(2-x)=f(2+x) 因此,函数图象关于直线 x=2 对称且 f(0)=0.由 f(x-4)=-f(x)知 f(x-8)=f(x),所以函 数是以 8 为周期的周期函数.又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以 f(x)在区间[-2,0] 上也是增函数,如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1, x2,x3,x4,不妨设 x1<x2<x3<x4.由对称性知 x1+x2=-12,x3+x4=4,所以 x1+ x2+x3+x4=-12+4=-8. 答案:-8


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