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2015届高三数学(文)第一轮总复习课件 第30讲 数列的概念与通项公式_图文

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学海导航 文数 第30讲 数列的概念与通项公式 1 学海导航 文数 2 学海导航 文数 1.以下关于数列的叙述: ①数列是以正整数集为定义域的函数; ②数列都有通项,且是唯一的; ③数列只能用通项公式的方法来表示; ④既不是递增也不是递减的数列,则为常数列; ⑤数列 1,1,2,3,5,8 与数列 8,5,3,2,1,1 是同一数列; ⑥对所有的 n∈N*,都有 an+3=an,则数列{an}是以 3 为 周期的周期数列. 3 学海导航 文数 其中正确的结论有( B ) A.0个 C.3个 B.1个 D.5个 4 学海导航 文数 解析:本题是考查数列及相关概念的题,在解题过程中, 每一个叙述都有可能判断错误,故需一一给予剖析:命题①, 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集 {1,2,3,?,n})的函数;命题②,不是每一个数列都有通项, 有的数列不存在通项;另外,有通项公式的数列,通项公式也 不一定唯一;命题③,数列除了用通项公式表示外还可以用列 表法和图象法表示;命题④,数列存在递增数列、递减数列、 常数列,还有摆动数列;命题⑤,数列是有序的;⑥正确. 5 学海导航 文数 an 2. 在数列{an}中, 若 an+1= , a1=1, 则 a4= 2an+1 . 6 学海导航 文数 an a1 1 解析:因为 an+1= ?a2= = , 2an+1 2a1+1 3 1 1 a3= = ,a4= = . 2 5 2 7 +1 +1 3 5 1 3 1 5 7 学海导航 文数 3.数列{an}的前 n 项和为 Sn,则“a2>0”是“数列{Sn}为递 增数列”的( B ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 8 学海导航 文数 解析:当数列{Sn}为递增数列时,S2-S1=a2>0 成立;但 当 a2>0 时,不能推出“数列{Sn}为递增数列”,如数列 3,1, -1,-3,所以“a2>0”是“数列{Sn}为递增数列”的必要不充 分条件,故选 B. 9 学海导航 文数 4.若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n+1(n=1,2,3,?), 则此数列的通项公式为 . 10 学海导航 文数 解析: 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=2n-11; 当 n=1 时, a1=S1=- 8,而 a1 不适合 n≥2 时的 an. ?-8 ?n=1? 故 an=? ?2n-11 ?n≥2? 11 学海导航 文数 5.数列-1,7,-13,19,?的一个通项公式是 an= . 12 学海导航 文数 解析:符号问题可通过(-1)n 或(-1)n 1 表示,其各项的绝 + 对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比它前面数的绝对值 大 6,故通项公式为 an=(-1)n(6n-5). 13 学海导航 文数 14 学海导航 文数 一 用观察法写数列的通项公式 【例 1】 根据数列的前几项, 写出各数列的一个通项公式. (1)1,-1,1,-1,1,-1,?; (2)3,5,9,17,33,65,?; 1 9 25 (3) ,2, ,8, ,?; 2 2 2 (4)1,0,-1,0,1,0,-1,0,?. 15 学海导航 文数 解析:(1)an=(-1) (2)an=2n+1. n2 (3)an= . 2 nπ (4)an=sin . 2 n+1 或 an=cos(n+1)π. 16 学海导航 文数 【拓展演练 1】 2an 有一数列{an},a1=a,由递推公式 an+1= ,写出这 1+an 个数列的前 4 项,并根据前 4 项观察规律,写出该数列的一 个通项公式. 17 学海导航 文数 2an 解析:因为 a1=a,an+1= , 1+an 4a 1+a 2a 2a2 4a 所以 a2= ,a3= = = , 2 a 1+a 1+a2 1+3a 1+ 1+a 8a 1+3a 2a3 8a a4= = = . 4 a 1+a3 1+7a 1+ 1+3a 18 学海导航 文数 xa 观察规律:an= 形式,其中 x 与 n 的关系可由 1+ya n=1,2,3,4 得出 x=2n 1.而 y 比 x 小 1, - 2 a 所以 an= . n-1 1+?2 -1?a n-1 19 学海导航 文数 二 数列的递推公式及应用 【例2】已知a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*).求: (1)a2,a3,a4,a5; (2)an. 20 学海导航 文数 解析:(1)a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16. (2)由题设,an+1-an=2n-1, 所以an-an-1=2(n-1)-1, an-1-an-2=2(n-2)-1, an-2-an-3=2(n-3)-1, ?? 21 学海导航 文数 解析: a3-a2=2×2-1, a2-a1=2×1-1, 将上式相加,可得 an-a1=2[1+2+?+(n-1)]-(n-1), 所以an=(n-1)2. 22 学海导航 文数 【拓展演练2】 1 (1)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ n ),则an = . n-1 (2)数列{an}的首项a1=1,an= n an-1(n≥2,n∈N*), 则an= . . 2a n (3)已知an+1= ,a1=1(n∈N*),则an= an+2 23 学海导航 文数 n+1 解析:(1)由已知 an+1-an=ln ,a1=2, n n 所以 an-an-1=ln (n≥2), n-1 n-1 an-1-an-2=ln , n-2 ?? 2 a2-a1=ln , 1 24 学海导航

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