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公开课--余弦定理第1课时_图文

时间:2014-03-19

高一数学 许海

复习回顾

a b c 1.三角形的正弦定理: ? ? sin A sin B sinC
2.三角形正弦定理主要解决哪几类三角形的问题? a、已知两角和任一边,求其它两边和一角; b、两边和其中一边对角,求另一边的对角, 进而求其它的边和角.

情境引入

A 地和 B 地之间隔着一个水塘(如图所示) 现选择一地点 C,可以测得 ?C ? 90? 的大小 及 BC ? a , AC ? b , 求 A、B 两地之间的距离 c.
C

A

B

若其他条件不变,但 ?C 不是直角, C

试求 A、B 两地之间的距离 c。

问题初探

已知三角形的两边及它们的夹角,求第三边。 例:在△ABC中,已知AB=c,AC=b,∠BAC=A 求:a(即BC)
A

c

B

b

a

C

问题证明 在△ABC中,

??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? 设 AB ? c, AC ? b, BC ? a ? ? ? 那么 a ? b ? c ? ? ? a ?| a |?| b ? c | ? 2 ? ?2 | a | ?| b ? c | ? ? ? ? ? (b ? c)?(b ? c) ?2 ?2 ?? ? b ? c ? 2b?c
? b ? c ? 2bc cos A ? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A
2 2

A b 向量法:

c

B

a
C

A

? c ? b
C

B

? a

余弦定理

三角形任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与 它们夹角的余弦的积的两倍。

a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

余弦定理公式理解

若如图 ?ABC 中, AD 是 BC 边上的中线, 已知 AB ? c , BC ? a 和 B,用已知条件表示 AD 。
A

B

D

C

问题解决

在 ?ABC 中,已知 b ? 3, c ? 1, A ? 30? ,求解三角形
解:由余弦定理
2 2

3 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 3 ? 1 ? 2 3 ? ?1 2 ?a ? 1 ? c ? ? ? ?C ? A ? 30 , B ? 180 ? A ? B ? 120
2

训练巩固

在△ABC中,已知a=2 ,b=3 3,C=150°,求c的值。

解:由余弦定理

c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

?a ? 7

3 ? 4 ? 27 ? 12 3 ? (? ) ? 49 2

合作探究

在△ABC中,已知a=5,b=7,c =8,求B。

b ?c ?a cos A ? 2bc a 2 ? c 2 ? b2 cos B ? 2ac 2 2 2 a ?b ?c cos C ? 2ab
2 2 2

在△ABC 中已知 a ? 7, b ? 5, c ? 3 ,求
训练巩固

三角形中最大的角

?a ? b ? c 解:
∴A是△ABC中最大的角 由余弦定理的推论

b ?c ?a 25 ? 9 ? 49 1 cos A ? ? ?? 2bc 30 2 ? ? ? ? 0 ? A ? 180 ? A ? 120
2 2 2



学习了本节内容后,你能否找到另一种方法解答下面问题?

在 ?ABC 中,若 a cos A ? b cos B , 试判断 ?ABC 的形状。

思 考

余弦定理小结

b ?c ?a cos A ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 2bc 2 2 2 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B (推论) a ?c ?b cos B ? 2 2 2 2ac c ? a ? b ? 2ab cos C a 2 ? b2 ? c2 cos C ? C 2 ab a=?
b

三角形任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与 它们夹角的余弦的积的两倍。 2 2 2

余弦定理可以解决的两类解斜三角形的问题. A a:已知两边及其夹角,求解三角形 c B b:已知三边,求解三角形

作业布置

作业本:《全优课堂》第6页, 变式训练2、3 《全优课堂》完成至第7页。

谢谢指导


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