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2012-2013概率统计试题B北京大学

时间:2013-12-27


北京大学考试试卷
(2012--2013 学年度第 一 学期) 3109330116B 卷

二.填空题(每空 3 分,共 15 分) 1.设随机事件 A 与 B 相互独立, A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等,且 P( A) ? 则 P(B) ? 1

1 , 3

课 程 名 称:概率统计 命 题:基础教研室
题 号 注意保持装订完整,试卷折开无效 得 分 一. 单项选择题(每小题 3 分,共 15 分) 一 二 三 四 五 六 七 八

3





总分

3? X ,则 P? Y ? 1 ? ? 0.432 , D(Y ) ? 0.18 . 2 3.设总体 X 在区间 [?1, 1 ] 上服从均匀分布, X 1 , X 2 ,?, X n 为其样本,则 D( X ) ? 1 3n
2.设随机变量 X ~ B(3 , 0.4) ,且随机变量 Y ? 4.无论 ? 是否已知,正态总体均值 ? 的置信区间的中心都是 X .
2

1.设 A 、 B 为两个互不相容事件,且 P( A) ? 0 , P( B) ? 0 ,则结论正确的是( C )

三.计算下列各题(共 70 分) 1. 分)某商店拥有某产品共计 12 件,其中 4 件次品,已经售出 2 件,现从剩下的 10 件产品中任取 (8 一件,求这件是正品的概率. 解:设 Ai 表示“已售出的两件中有 i 件正品” i ? 0 ,1 , 2 , B 表示“任取一件是正品” , 则由全概率公式得 (2 分)

姓名

P P A、 ( B A) ? 0 ; B、 ( A B) ? P( A) ;

P C、 ( A B ) ? 0 ;

D、 ( AB) ? P( A) P( B) P

2.随意地投掷一均匀的骰子两次,则这两次出现的点数之和为8的概率是( C ) A、

P ( B ) ? ? P ( Ai )P ( B Ai )
i ?0

2

(4分) (7分)

学号

3 36

B、

4 36

C、

5 36

D、

2 36

? ?

2 C4

2 1 C12 C10

?

1 C8

?

1 1 1 2 1 C8 C 4 C 7 C8 C 6 ? 2 ? 2 ? 1 2 C12 C10 C12 C10

3.设随机变量 X 与 Y 都服从 N (0 ,1) ,则有( C



2 3

(8分)

密封线

装订线

A、 X ? Y 服从正态分布;

B、 X

2

? Y 2 服从 F 分布;

C、 X 和 Y 都服从 ? 分布;
2 2
2

D、

X2 Y2

服从 t 分布.

2. (10 分)设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X ~ N (1 , 2) , Y ~ N (0 , 1) , Z ? 2 X ? Y ? 3 求: (1) E( Z ) ; (2) Z 的概率密度; (3) P(Z ? 10.88) . ?(1.96) ? 0.975 ( ?(1) ? 0.843 ) 解:因为 X ~ N (1,2) , Y ~ N (0,1) ,所以 E ( X ) ? 1, (Y ) ? 0, D( X ) ? 2, D(Y ) ? 1 (2 分) (1) E (Z ) ? 2E ( X ) ? E (Y ) ? 3 ? 5 (2)因为 D(Z ) ? 4D( X ) ? D(Y ) ? 9 (4 分) (6 分)

专业班级

4.设总体 X 服从正态分布 N ( ? ,1) ,其中 ? 为未知参数, X 1 , X 2 , X 3 为样本,下面四个 答题留空不够时,可写到纸的背面 关于 ? 的无偏估计中,采用有效性这一标准来衡量,最好的一个是( D ) A、

2 1 X1 ? X 2 ; 3 3 1 5 X1 ? X 3 ; 6 6

B、

1 1 1 X1 ? X 2 ? X 3 ; 4 2 4 1 1 1 X1 ? X 2 ? X 3 3 3 3
??

C、

D、

2 5.若 X ~ N ( ? , ? ) ,则 ? 增大, P? X ? ?

?

是(

C ) D、增减不定

(8 分) e 3 2? z ? 5 10.88 ? 5 (3) P( z ? 10.88) ? P( ? ) ? ?(1.96) ? 0.975 3 3

而 Z 服从正态分布,故 f z ( z ) ?

1

?

( z ?5) 2 18

(10 分)

系部

A、单调增大;

B、单调减小;

C、保持不变;

1



1



?1 ? Be ? x , x ? 0 . 3. (12 分)设连续型随机变量 X 的分布函数为 F ( x) ? ? x?0 ? 0, 求: (1) B 的值; (2) P(?2 ? X ? 1) ; (3) E( X ) . 解: (1)因为 F (x) 连续,所以 lim F ( x ) ? F (0) (2 分)
x ?0
?

解: (1)由

??? x, y ???

?? f ( x, y)dxdy ? 1
1

(2 分)

?c?

1

?2

(4 分)

(2) P ?

1

?

2

(?

1 x
2

01?

dx) 2 ?

1 16
??

(7 分)

有 1 ? B ? 0 ,即 B ? ?1 (2) P(?2 ? X ? 1) ? F (1) ? F (?2) ? 1 ? e (3) E( X ) ? ? xf ( x) dx
??
?1

(4 分) (7 分) (3) f X ( x) ?

??

??

?

1 1 1 f ( x, y )dy ? 2 dy ? 2 ? 2 ? (1 ? x ) ?? 1 ? y ? (1 ? x 2 )

(10 分)

(9 分) (12 分)

同理得 fY ( x) ??

? ? xe ? x dx ? 1
0

?? ??

1 , ? (1 ? y 2 )
(12 分)

因为 f ( x, y ) ? f X ( x) fY ( x) ,所以 X 与 Y 相互独立

4. 分)在测量反应时间中,一心理学家估计的标准差为 0.05 秒,为了以 95% 的置信度使他对平均反 (8 应时间的估计误差不超过 0.01 秒,应取多大的样本容量 n ? 解: 平均反应时间 X ~ N ( ? ,

5. (12 分) (文科学生做,工科学生不做)已知 ( X , Y ) 的联合分布为 求: (1) Y 的边缘分布; (2) P( X ? Y ? 2) ;
2 2

Y

?

2

n

) ,其中 ? 2 ? 0.05 2
(4 分)

(2 分)

(3) X 与 Y 是否独立? 解: (1) Y 的边缘分布:

X 1
(4 分)

1
1 16 1 12

2
3 8 1 6

3
1 16 1 4

P ( X ? ? ? 0.01) ? 0.95

即 P(

X ??

?1 ?7 ? 48 ?
(6 分) (2)因为 (8 分)

2 13 24

3? 5? 16 ? ?

2

?
n

?

0.01 1 n ) ? 0.95 ? 2?( n ) ? 1 0.05 5



1 n ? u 0.975 ? 1.96 ? n ? 96 5

( X 2 ? Y 2 ? 2) ? ( X ? 1, Y ? 1)
(6 分)

所以 P( X ? Y ? 2) ? 1 ? P( X ? Y ? 1) ? 1 ?
2 2 2 2

1 15 ? 16 16

(8 分)

5. (12 分) (工科学生做,文科学生不做) 已知二维连续型随机变量 ( X , Y ) 的联合密度 f ( x , y ) ?

c (1 ? x 2 )(1 ? y 2 )

(?? ? x , y ? ?? ) .

(3) X 的边缘分布 ? 1

?1 ?2 ?

2? 1? 2? ?

(10 分)

求: (1)系数 c ; (2) ( X , Y ) 落在以 (0 , 0) , (0 ,1) , (1, 0) , (1,1) 为顶点的正方形内的概率; (3)求边缘密 度函数 f X (x) . X 与 Y 是否独立? 因为

1 13 1 ? ? ,即 P22 ? P2. P.2 6 24 2

故 X 与 Y 不独立.

(12 分)

2



2



? 1 ? x -2 ? , x?2 ? 6. 分)设总体 X 的概率密度为 f ( x) ? ? e (10 , 其中 ? ? 0 为未知参数,X 1 , X 2 ,?, X n ? ? 0, x?2 ?
是来自总体 X 的样本,求 ? 的极大似然估计 ?? .

7. (10 分)某厂用填装机将香水装入同一规格的瓶内,每瓶香水的装量 X ~ N (? , 25) (单位 ml) .现 研制一种新的装速较快的填装机,已知它装入每瓶内的香水量服从正态分布,现从新机器所装的香水瓶 中任取 20 瓶,测得香水量 x1 , x2 ,?, x20 ,经计算得 ? ( xi ? x ) ? 221 .75 .试问新机器装的香水量的方
2 i ?1 20

? 1 ? xi -2 ? , x ?2 ? i 解: X 1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的样本,所以 f i ( xi ) ? ?? e ? 0, xi ? 2 ?
故似然函数 L(? ) ? ? f i ( xi ) ? ? e
i ?1 i ?1 ? n n

差与原来的方差是否有显著差异? (? ? 0.05 解: H 0 : ?
2

2 2 ? 0.975 (19) ? 32.852 , ? 0.025 (19) ? 8.907 )

? 25

(2 分)

1

x ?2 ? i

?

? ? ?n e

n x ?2 ?? i i ?1

?

(5 分)

因为 ? 未知,所以选择统计量 ? ?
2

? n ? 1? S 2
?
2 0

~ ? (n ? 1)
2

(4 分)

所以 ln L(? ) ? ?n ln(? ) ? i ?1
n

? ( xi ? 2)

n

?
n

(6 分)

2 n ? 20, ? n ? 1? Sn ? ? ( xi ? x ) 2 ? 221.75 i ?1

20

[ln L(? )]? ? [?n ln(? ) ? i ?1

? ( xi ? 2)

?

]? ? ?

n

?

? i ?1

? ( xi ? 2)

2 2 ? ? 0.05 ? 0.975 (19) ? 32.852 , ? 0.025 (19) ? 8.907

?2



令 [ln L(? )]? ? 0

(9 分)

拒绝域为 ? 经计算得 ?

2

2 2 ? ? 0.975 或 ? 2 ? ? 0.025

(6 分) (8 分)

? 得? ? X ? 2

(10 分)

2

?

221 .75 2 ? 8.87 ? ? 0.025(19) 25

所以拒绝接受 H 0 ,认为新机器装的香水量的方差与原来的方差有显著差异.

(10 分)

3



3




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