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【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示方法课件 新人教A版必修1_图文

时间:2016-10-01

成才之路 ·数学
人教A版 ·必修1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章
集合与函数概念
1.1.1 集合的概念

第一章
1. 2 函数及其表示

1.1.1 集合的概念

第一章 1.2.2 函数的表示法
第一课时 函数的表示方法
1.1.1 集合的概念

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

预习导学

●课标展示 掌握函数的三种表示法,体会函数的三种表示方法的特 点,能根据实际问题情境选择恰当的方法表示函数.

●温故知新 旧知再现 数集 , 如 果 按 照 某 种 确 定 的 1 . 设 A , B 是 非 空 的 _____ 任意 一个数 x ,在集合 B 中都 对应关系f ,使对于集合 A的 _____ _____________ 唯一 确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到 有_____ 集合B的一个函数. 定义域 、__________ 对应关系 、_____ 值域 . 2.函数的三要素是________

R , R 3. 一次函数 y=ax+b(a≠0)的定义域是___ 值域也是___. R 当 a>0 时,值域 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是___.
4ac-b2 4ac-b2 [ 4a ,+∞) (-∞, 4a ] 为_______________;当 a<0 时,值域是_______________.
k {x|x≠0} , 值 域 是 反 比 例 函 数 y = x (k≠0) 定 义 域 是 _________ {y|y≠0} . _________

4.与 y=|x|相等的函数是( A.y=( x)2 C.y=( x) 3
3

)

B.y= x2 D.y= x3 3

[答案] B

5.y=2x+1,x∈N*,且2≤x≤4,则函数的值域是( A.(5,9) C.{5,7,9} B.[5,9] D.{5,6,7,8,9}

)

[答案] C

新知导学

函数的表示法 表示法 定义 数学表达式 表示两个变量之间的对应关系, 用____________ 解析法 这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做 函数的解析式 以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵 坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点 图象法 图象 表示两个 构成了函数y=f(x)的图象,这种用_____ 变量之间对应关系的方法叫做图象法
列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取 表格 来 列表法 值,第二行是对应的函数值,这种列出_____ 表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法

[归纳总结] 三种表示法的优缺点如下表: 表示法 优点 缺点

简明、全面地概括了变 不够形象直观,而且并 量之间的关系,且利用 解析法 不是所有函数都有解析 解析式可求任一自变量 式 对应的函数值

能形象直观地表示变量 只能近似地求出自变量 图象法 的变化情况 所对应的函数值
不需计算可以直接看出 只能表示有限个数的自 列表法 与自变量对应的函数值 变量所对应的函数值

[知识拓展] 画函数f(x)图象的基本方法 (1) 若函数 f(x) 是正比例函数、反比例函数、一次函数、二 次函数等基本初等函数,则依据各种函数的图象特点,直接画 出f(x)的图象.

(2)若函数f(x)不是基本初等函数,则用描点法画出f(x)的图
象,其步骤是:列表、描点、连线.

●自我检测 1. 某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量 2 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y= x-3 +10(x-6)2(3<x<6), 这是用________法表示 y 关于 x 的函数.

[答案] 解析

2 .农业科学家在研究玉米的生长过程时,把生长过程分
为32个生长阶段,通过试验得到了各个生长阶段植株高度的相 关数据,如图所示.

在玉米的生长过程中,给定生长的某个阶段,就可以从这 张图中查到唯一一个与这个阶段相对应的玉米的植株高度,因 此这个图可表示玉米的植株高度关于生长阶段的函数.这种表

示函数的方法叫________.
[答案] 图象法

3.已知函数 f(x)由下表给出: x f ( x) 则 f[f(2)]=________. -1 4 0 2 1 0 2 1

[答案] 0

互动课堂

●典例探究

函数的三种表示方法
某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试 求售出台数x与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象 法、解析法表示出来. [分析] 函 数 的 定 义 域 是 {1,2,3 , ? , 10} , 值 域 是 {3

000,6 000,9 000,?,30 000},可直接列表、画图表示.分
析题意得到表达y与x关系的解析式,注意定义域.

[解析] (1)列表法:
x(台) 1 3 000 2 6 000 3 9 000 4 12 000 5 15 000 6 18 000 7 21 000 8 24 000 9 27 000 10 30 000

y(元)

(2)图象法,如图所示:

(3)解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,?,10}.

[易错警示] 标明定义域.

本题中函数的定义域是不连续的,作图时应

注意函数图象是一些点,而不是直线.另外,函数的解析式应

规律总结: 列表法、图象法和解析法是从三个不同
的角度刻画自变量与函数值的对应关系,同一个函数可以用不 同的方法表示.在应用三种方法表示函数时要注意:

(1)解析法:必须注明函数的定义域;
(2)列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的 特征; (3)图象法:是否连线.

1

(1) 如图所示,在边长为 4 的正方形 ABCD边 BC 上有一动点
M ,由点 B向点 C 移动,设点 M 移动的路程为 x ,△ ABM 的周长 为y,求函数y=f(x)的表达式.

(2)某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位:百公斤) 如表所示. 月份 t 零售 量y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

81 84 45 45 9 5 6 15 94 161 144 123

则零售量是否为月份的函数?为什么?

(3)下列图形能否确定y是x的函数?

[解析] (1)据三角形的周长公式得 f(x)=x+ 16+x2+4,(0≤x≤4). (2)是函数,因为对于集合{1,2,?,12}中任一个值,由表 可知 y 都有唯一确定的值与它对应,所以由它可确定为 y 是 t 的函数.

(3)①不能确定为 y 是 x 的函数.因为当 x 取某些值时,y 有两个值与它对应. ②能确定 y 是 x 的函数.因为当 x 在{x|x<-1 或 x>1}中 任取一个值时,由上图②可确定唯一的 y 值与它对应. ③能确定 y 是 x 的函数. 因为当 x 在{-3, -2, -1, 0,1,2,3,4} 中任取一个值时,由图③可确定 y 有唯一的值与它对应.

[点评]

(1)对于有些函数,它的对应关系是客观存在的,

但却不能用解析法来表示.如本例(2)中的函数,表中所给出的 就是一个对应关系,但却无法用解析法来表示. (2)判断一个在直角坐标系下的图形能否确定 y 是 x 的函数 的方法是:任作垂直于 x 轴的直线,当直线与图形至多只有一 个交点时,则该图形能确定 y 是 x 的函数;否则就不能确定 y 是 x 的函数.

与函数图象有关的问题 作出下列函数的图象并求出其值域.
2 (1)y=2x+1,x∈[0,2];(2)y= x ,x∈[2,+∞);(3)y=x2 +2x,x∈[-2,2].
[ 分 析 ] 求得值域 . 列表 ? 描点 ? 用平滑曲线连成图象 ? 图象
观察

[解析] (1)列表: 1 3 0 1 2 x 2 2 1 2 3 4 5 y 当 x∈[0,2]时,图象是直线的一部分,观察图象可知,其 值域为[1,5].

(2)列表 x y 2 1 3 2 3 4 1 2 5 2 5 ? ?

2 当 x∈[2,+∞),图象是反比例函数 y=x 的一部分,观察 图象可知其值域为(0,1].

(3)列表 x y -2 0 -1 -1 0 0 1 3 2 8

画图象,图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x≤2之间的部分.

由图可得函数的值域是[-1,8].

规律总结:(1)常见函数图象的特征: ①一次函数y=kx+b(k≠0)是一条直线;

k ②y=x(k≠0)是与坐标轴无限接近的双曲线; b 4ac-b 2 ③y=ax +bx+c(a≠0)是顶点为(-2a, 4a ),对称轴 b 为 x=-2a的抛物线.
2

(2)作函数图象时应注意以下几点: ①首先确定义域,然后在定义域内作图; ②图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬 托整个图象; ③要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点与坐标轴的 交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.

2

|x| (1)(2013 ~ 2014· 潍坊高一检测 )y = x + x 的图象是图中的 ( )

(2)作出下列函数的图象,并指出其值域. ①y=x2+x(-1≤x≤1). 2 ②y=x (-2≤x≤1,且 x≠0).
[点评] (1)C (2)见解析

[ 解析 ]

|x| (1) 方法一:易得函数 y = x + x 的定义域为 ①

{x|x≠0},故排除 A,B

当 x=-1 时,y=-2,D 中图象不符合,故排除 D. ② |x| 方法二:函数 y= x +x 的定义域为{x|x≠0},依据绝对值 的概念可得
? ?1+x,x>0 y=? ? ?-1+x,x<0

,易知 C 对应的图象正确.

(2)①用描点法可以作出函数的图象如图. 由图可知 y=x
2

? 1 ? +x(-1≤x≤1)的值域为?-4,2?. ? ?

②用描点法可以作出函数的图象如图.

2 由图可知 y=x (-2≤x≤1,且 x≠0)的值域为(-∞,-1] ∪[2,+∞).

[点评]

(1)①A,B中图象没有扣除什么特殊点,定义域是

R.②D中图象函数值取不到-2,也不符合题意.

规律总结:1.函数图象既可以是连续的曲线,也可以 是直线、折线、离散的点等.

2.画函数的图象时需注意函数的定义域.
3 .一般用描点法画函数的图象,作图时要先找出关键 “点”,再连线.

待定系数法求解析式

已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+3,求f(x).
[ 分析 ] 待定系数法:已知 f(x) 的函数类型,要求 f(x) 的解 析式时,可根据函数类型设其解析式,从而确定其系数即可.
[解析] 可设 f(x)=ax+b,(a≠0), 则 f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3,
2 ? ?a =4, ∴? ? ?ab+b=3,

? ?a=2, 解得? ? ?b=1,

? ?a=-2, 或? ? ?b=-3.

故所求的函数为 f(x)=2x+1 或 f(x)=-2x-3.

规律总结:1.已知函数的模型求函数解析式,常采用 待定系数法,由题设条件求待定系数. 待定系数法求函数解析式的步骤如下:

(1)设出所求函数含有待定系数的解析式.如一次函数解析 k 式设为 f(x) = ax + b(a≠0) ,反比例函数解析式设为 f(x) = x (k≠0),二次函数解析式设为 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

(2)把已知条件代入解析式,列出关于待定系数的方程或方
程组. (3)解方程或方程组,得到待定系数的值. (4)将所求待定系数的值代回所设解析式. 2.求二次函数解析式时,

(1)若已知对称轴或顶点坐标,常设配方式f(x)=a(x-m)2+
n(a≠0); (2)若已知f(x)过三点,常设一般式f(x)=ax2+bx+c(a≠0);

(3)若已知f(x)与x轴两交点横坐标为x1、x2,常设分解式f(x)
=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).

3

已知二次函数f(x)的图象过点A(0,-5),B(5,0),其对称轴
为x=2,求其解析式.
[解析] 因为抛物线的对称轴为 x=2, 所以设抛物线的解析式为 y=a(x-2)2+k(a≠0). 把(0,-5)、(5,0)分别代入上式得
? ?-5=4a+k ? ? ?0=9a+k ? ?a=1 ,解得? ? ?k=-9



所以解析式为 y=(x-2)2-9.

换元法、配凑法求解析式 (1)已知f(x)=x2,求f(2x+1);
(2)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x). 1 (3)设函数 f(x)满足 f(x)+2f(x )=x (x≠0),求 f(x).

[分析] 我们前面指出,对应法则“f”实际上是对“x”计算的 一种“程序”或“方法”.因此要把“2x+1”及“ x+1”看 成一个整体来求解.

[解析] (1)f(2x+1)=(2x+1)2=4x2+4x+1. (2)解法 1:(换元法): 设 t= x+1,∵只有 x≥0,t 才有意义,∴t≥1, 此时 t-1= x,∴x=(t-1)2, 于是 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1). 将 t 用 x 代换,有 f(x)=x2-1(x≥1). 解法 2:(拼凑法): 由于 f( x+1)=x+2 x+1-1=( x+1)2-1, 把 x+1 看成新的自变量 x,则 f(x)=x2-1, ∵ x+1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1).

(3)∵对任意 x∈R 且 x≠0 都有
?1? 1 1 ? ? x ∈R,有 f?x ?+2f(x)=x,

?1? f(x)+2f?x ?=x ? ?

成立. ∴对于

1 ? ?f?x?+2f?x ?=x ① 两式组成方程组? ?f?1?+2f?x?=1 ② x ? x 12 ②×2-①得:f(x)=3(x -x).

规律总结: 可以看出换元法的基本思路是将函数符 号内的式子用一个字母代换,解出自变量x,将x的表达式又代 入原方程,从而得出 f(x) 的表达式;拼凑法主要是将函数方程 中的解析式,凑成函数符号下的式子关系,然后将此式子用自 变量x代换.解此类题要特别注意自变量的取值范围.

4
?1? x-1 (1)设 f(x)= ,则 f(x)+f?x ?=( x+1 ? ?

)

1-x A. 1+x C.1

1 B.x D.0

1 1 (2)设 f(x +1)=x2-1,则 f(x)=________. (3)若对任意 x∈R,都有 f(x)-2f(-x)=9x+2,则 f(x)= ________.

[答案] (1)D (2)x2-2x(x≠1) (3)3x-2

1 -1 1 x-1 x [解析] (1)f(x)+f(x )= +1 x+1 x +1 x-1 1-x = + =0. x+1 x+1

1 1 1 2 (2)解法 1:f(x +1)=(x+1) -2(x +1), ∴f(x)=x2-2x. 1 1 ∵x ≠0,∴x +1≠1,∴f(x)=x2-2x(x≠1). 1 1 解法 2:令x +1=t,则 x=t-1≠0,∴t≠1, ∴f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,∴f(x)=x2-2x(x≠1). (3)由条件知,f(-x)-2f(x)=-9x+2,与原条件式看作关 于 f(x)与 f(-x)的方程组,解出 f(x)=3x-2.

●误区警示 易错点 确定函数关系时忽略定义域易出错
5

某农户计划建一矩形羊圈,现有可作为围墙的

材料总长度为100 m,求羊圈的面积S与羊圈长的函数关系式.

[错解] 设羊圈的长为x m,
则宽为(50-x)m, 由题意,得S=x(50-x), 故羊圈的面积S与羊圈长的函数关系式为 S=x(50-x).

[错因分析]

这位同学在解题的过程中,犯了如下错误:

所求函数关系式不完整,缺少自变量 x 的取值范围,也就是说 解题过程不够严密. [正解] 设羊圈的长为x m, 则宽为(50-x)m,

由题意得S=x(50-x)
因为当自变量 x 取非正数或不小于 50 的数时, S 的值是 0 或 负数,即羊圈的面积为 0 或负数,这样不符合实际情况,所以

自变量x的取值范围为0<x<50.
故函数关系式为S=x(50-x)(0<x<50).

已知 f( x-1)=x,求 f(x).

[解析]

令 x-1=t(t≥-1),则 x=(t+1)2,所以 f(t)=(t

+1)2,故 f(x)=(x+1)2(x≥-1).

随堂测评

1.以下形式中,不能表示“y是x的函数”的是(
A. x y 1 4 2 3 3 2 4 1

)

B.
C.y=x2

D.x2+y2=1
[答案] D

[解析]

1 D 中,当 x=2时,有两个 y 值与它对应,根据函

数的定义,x2+y2=1 不能表示 y 是 x 的函数.

2.已知 f(x)=π(x∈R),则 f(π2)等于( A.π2 C. π
[答案] B

)

B.π D.不确定

3.设甲、乙两地的距离为a(a>0),小王骑自行车匀速从甲
地到乙地用了 20 min ,在乙地休息 10min 后,他又匀速从乙地 返回甲地用了30min,则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x的函数图象为( )

[答案] D [解析] 依据题意,小王两段路程的速度是不一致的,前 者速度要大些,因此前者图象倾斜程度要大些.此外,由于 y

表示的是路程,不是位移,因此中间10分钟y的值不变,选D.

4 .如图,函数 f(x) 的图象是曲线 OAB, 其中点 O, A, B 的坐标分别为(0,0), (1,2), (3,1), 则
[答案] 2
[解析]
? 1 ? ? f(3)=1,f(1)=2,∴f? ?f?3??=f(1)=2. ? ?

? 1 ? ? f? ?f?3??的值等于________. ? ?

5 . 已 知 函 数 y = f(x) 的 图 象 如 图 所 示 , 则 其 定 义 域 是
________.

[答案] [-2,3] [解析 ] 函数y =f(x) 图象上所有点的横坐标的取值范围是

[-2,3],则其定义域为[-2,3].

6.已知二次函数f(x)满足f(0)=0,f(1)=1,f(2)=6,则f(x)
的解析式为f(x)=________. [答案] 2x2-x
[解析] 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∵f(0)=0,∴c=0,∴f(x)=ax2+bx.
? ?f?1?=a+b=1, ∴由? ? ?f?2?=4a+2b=6, ? ?a=2, 解得? ? ?b=-1,

即 f(x)=2x2-x.


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