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(江苏专用)2018-2019学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念 3.1.2 瞬时变化率—导数学案 苏教

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分分分方 法方法 丰富

3.1.2 瞬时变化率—导数

学习目标:1.理解导数的概念和定义及导数的几何意义.(重点) 2.理解运动在某时刻

的瞬时变化率(瞬时速度).(难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1.曲线上一点处的切线

设曲线 C 上的一点 P,Q 是曲线 C 上的另一点,则直线 PQ 称为曲线 C 的割线;随着点 Q

沿曲线 C 向点 P 运动,割线 PQ 在点 P 附近越来越逼近曲线 C.当点 Q 无限逼近点 P 时,直线

PQ 最终就成为在点 P 处最逼近曲线的直线 l,这条直线 l 称为曲线在点 P 处的切线.

2.瞬时速度

运动物体的位移 S(t)对于时间 t 的导数,即 v(t)=S′(t).

3.瞬时加速度

运动物体的速度 v(t)对于时间 t 的导数,即 a(t)=v′(t).

4.导数

设函数

y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),当

Δ

x

无限趋近于

0

时,比值ΔΔ

y x

=f

x0+Δ x -f Δx

x0

无限趋近于一个常数 A,则称 f(x)在点 x=x0 处可导,并称常数 A

为函数 f(x)在点 x=x0 处的导数,记作 f′(x0).

5.导函数

若函数 y=f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则 f(x)在各点的导数也随自变量 x

的变化而变化,因而也是自变量 x 的函数,该函数称为 f(x)的导函数,记作 f′(x).

6.函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))

处的切线的斜率.

[基础自测]

1.判断正误:

(1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数值与 Δ x 值的正、负无关.( ) (2)在导数的定义中,Δ x,Δ y 都不可能为零.( )

(3)在导数的定义中,ΔΔ

y x>0.(

)

【解析】 (1)√.Δ x 是自变量的增量,可正可负,函数 f(x)在 x=x0 处的导数与它的

正负无关.

(2)×.Δ y 可以为 0,如常数函数.

(3)×.ΔΔ

y x也可能是负数或

0.

【答案】 (1)√ (2)× (3)×

1

分分分方 法方法 丰富

2.函数 f(x)=x2 在点(1,1)处切线的斜率是________.

【解析】 k=

+Δ x Δx

2-1 =2+Δ

x,当

Δ

x→0

时,k→2,故所求的切线的斜率是

2.

【答案】 2

3.一辆汽车运动的速度为 v(t)=t2-2,则汽车在 t=3 秒时加速度为__________.

【解析】

a

=Δ Δ

tv=

+Δ t 2-2- Δt



=6+Δ t,

当 Δ t→0 时, a →6,故汽车的加速度为 6.

【答案】 6

[合 作 探 究·攻 重 难]

求瞬时速度与瞬时加速度 (1)一辆汽车按规律 s=2t2+3 做直线运动,求这辆车在 t=2 时的瞬时速度(时 间单位:s,位移单位:m). (2)设一辆汽车在公路上做加速直线运动,其在 t s 时的速度为 v(t)=t2+1,求汽车在 t=1 s 时的加速度.
【导学号:95902184】

[思路探究]

(1)

设时间变化量Δ t



求位移增量Δ s



求平均速度ΔΔ

s t

→ 令Δ t→0 → 结论 .

(2)

设时间变化量Δ

t



求速度增量Δ

v



求平均加速度Δ Δ

v t



令Δ

t→0



结论

【自主解答】 (1)设这辆车在 t=2 附近的时间变化量为 Δ t,

则位移的增量

Δ

s=[2(2+Δ

t)2+3]-(2×22+3)=8Δ

t+2(Δ

t)2,Δ Δ

s t=8+2Δ

t,

当Δ

t→0 时,ΔΔ

s t→8,所以这辆车在

t=2

时的瞬时速度为

8

m/s.

(2)设这辆车在 t=1 附近的时间变化量为 Δ t,

则速度的增量

Δ

v=[(1+Δ

t)2+1]-(12+1)=(Δ

t)2+2Δ

t,ΔΔ

v t=Δ

t+2,当

Δ

t→0

时,ΔΔ

v t→2,

所以汽车在 t=1 s 时的加速度为 2.

2

分分分方 法方法 丰富

[规律方法]

(1)求瞬时速度的步骤:

①求位移增量 Δ s=S(t0+Δ t)-S(t0);

②求平均速率-v =Δ Δ

st;

③求瞬时速度:当

Δ

t

趋近于

0

时,ΔΔ

s t趋近于

v.

(2)求瞬时加速度的步骤:

①求平均加速度ΔΔ

v t;

②令 Δ t→0,求瞬时加速度.

[跟踪训练]

1.若一物体的运动方程为 S=7t2+8,则其在 t=__________时的瞬时速度为 1.

【解析】

因为Δ Δ

st=

t0+Δ t 2+8- Δt

t20+

=7Δ t+14t0,

所以当

Δ

t→0

时,Δ Δ

st趋近于

14t0,即

14t0=1,t0=114.

【答案】

1 14

求函数在某一点处的导数

求函数 y=x+1x在 x=1 处的导数.

【导学号:95902185】

[思路探究]

方法一:先求

Δ

y,再求出Δ Δ

yx,令

Δ

x→0,可求

f′(1),先求出

f′(x),

再求出 f′(x)在 x=1 处的值.

方法二:先求出Δ Δ

yx,当

Δ

x

无限趋于

0

时,即可求出

f′(x)在

x=1

处的值.

【自主解答】

方 法 一 : ∵Δ

y = (1 + Δ

x) + 1+1Δ

x - ???1+11??? = Δ

x

-1



1 1+Δ

x=

Δ x- Δ x+ 1+Δ x

+1 =

Δx 1+Δ

x

2,∴Δ Δ

yx=1+Δ Δx

x,当

Δ

x→0

时,ΔΔ

xy→0,∴f′(1)

=0.

方法二:ΔΔ

yf x=

x+Δ x -f Δx

x

3

分分分方 法方法 丰富

x+Δ =

x+x+1Δ Δx

x-???x+1x???

=1-

1 x+Δ x

x,

当 Δ x 无限趋于 0 时,1-

1 x+Δ x

1 x无限趋近于 1-x2,

即 f′(x)=1-x12,故 f′(1)=0.

函数

y=x+1x在

x=1

处的导数为

1 1-12=0.

[规律方法] 由导数的定义知,求一个函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的步骤如下: (1)求函数值的改变量 Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0); (2)求平均变化率ΔΔ xy=f(x0+ΔΔxx)-f(x0);

(3)求当

Δ

x→0

时,Δ Δ

yx的值,即

f′(x0).

[跟踪训练]

2.根据导数的定义求下列函数的导数:

(1)求 y=x2 在 x=1 处的导数;

(2)求 y=x2+1x+5 在点 P???2,129???处的导数.

【解】

(1)∵Δ

y=(1+Δ

x)2-12=2Δ

x+(Δ

x)2,∴Δ Δ

xy=2Δ

x+ Δ

Δ x

x

2
=2+Δ x,



Δ

x

无限趋近于

0

时,Δ Δ

yx=2+Δ

x

无限趋近于

2,所以

f′(1)=2.

(2)∵Δ y=(2+Δ x)2+2+1Δ x+5-???22+12+5???=4Δ x+(Δ x)2-

Δx +Δ x



∴Δ Δ

yx=4+Δ

x-4+12Δ

x,

∴当

Δ

x→0

时,ΔΔ

y 1 15 x→4-4= 4 ,故

f′(2)=145.

导数的几何意义及应用

[探究问题]

f 1.平均变化率

x0+Δ x -f Δx

x0

的几何意义是什么?

4

分分分方 法方法 丰富

【提示】

f 平均变化率

x0+Δ x -f Δx

x0

的几何意义是过点 P(x0,f(x0))和 Q(x0

+Δ x,f(x0+Δ x))割线的斜率. 2.在探究 1 中,若让 Δ x→0,割线 PQ 是如何变化的? 【提示】 当点 Q 沿着曲线无限接近点 P,即 Δ x→0 时,割线 PQ 有一个极限位置 PT,
我们把直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线.

3.根据探究 2 的答案,导数的几何意义是什么?

【提示】 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)) 处的切线斜率 k=f ′(x0).
4.我们在初中学过圆的切线,圆是一种特殊曲线,圆的切线与圆只有一个公共点,其

他曲线和它的切线也只有一个公共点吗?

【提示】 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以有无穷

多个.

求双曲线 y=1x过点???2,12???的切线方程.

【导学号:95902186】

[思路探究] 由导数的几何意义先求出斜率,再求方程.

【自主解答】

Δ Δ

yx=f

+Δ x -f Δx

1 =2+Δ
Δ

x-21 x =-

1 +Δ x





Δ

x→0

时,ΔΔ

y1 x→-4,即

k=f′(2)=-14.

所以由直线方程的点斜式知切线方程为:

y-12=-14(x-2),即 y=-14x+1.

[规律方法]

1.求曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线方程.即点 P 的坐标既适合曲线方程,又 适合切线方程,若点 P 处的切线斜率为 f′(x0),则点 P 处的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x -x0);如果曲线 y=f(x)在点 P 处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在),可由切线定义确定 切线方程为 x=x0.
2.若切点未知,此时需设出切点坐标,再根据导数的定义列关于切点横坐标的方程,

最后求出切点坐标或切线的方程,这种情况下求出的切线方程往往不止一条.

[跟踪训练]

3.已知直线 y=3x+a 和曲线 y=x3 相切,求实数 a 的值.

【解】

设切点为 M(x0,y0),则ΔΔ yx=

x0+Δ x Δx

3-x03=3x20+3x0(Δ x)+(Δ x)2,

5

分分分方 法方法 丰富
当 Δ x 无限趋近于 0 时,3x20+3x0(Δ x)+(Δ x)2 无限趋近于 3x20. 由题意得,3x20=3,解得 x0=1 或 x0=-1. 所以切点坐标为(1,1)或(-1,-1). 将点(1,1)代入直线 y=3x+a,可得 a=-2; 将点(-1,-1)代入直线 y=3x+a,可得 a=2. 综上可知,a=-2 或 a=2.
[构建·体系]

[当 堂 达 标·固 双 基]

1.设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,且有 f(x0+Δ x)-f(x0)=aΔ x+b(Δ x)2 (a,b 为

常数),则 f′(x0)=________.

【解析】

∵f

x0+Δ x -f Δx

x0

=aΔ

x+b Δ

Δ x

x

2
=a+b·Δ x,当 Δ x→0 时,

f

x0+Δ x -f Δx

x0

→a,∴f′(x0)=a.

【答案】 a

2.已知曲线 y=13x3+43,则以点 P(2,4)为切点的切线方程是________.

【导学号:95902187】

1

【解析】

∵ΔΔ

y3 x=

x+Δ x Δx

3-x3]=x2+13(Δ x2)+Δ x·x,

当 Δ x→0 时,ΔΔ yx→x2,所以 f′(x)=x2,∴k=f′(2)=4,

∴切线方程为 y-4=4(x-2),即 y=4x-4.

【答案】 y=4x-4

3.设函数 f(x)=ax3+2,若 f′(-1)=3,则 a=________.

【解析】

Δ Δ

yx=f

-1+Δ x -f Δx



=a

-1+Δ x

3+2-a Δx



3-2=3a

6

分分分方 法方法 丰富
-3aΔ x+a(Δ x)2 当 Δ x→0 时,ΔΔ yx→3a,所以 f′(-1)=3a=3,即 a=1. 【答案】 1 4.如图 3?1?3 所示,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=x+5,则 f(3)-f′(3)
=__________.

图 3?1?3

【解析】 由导数的几何意义知 f′(3)=-1,又 f(3)=-3+5=2,

∴f(3)-f′(3)=2-(-1)=3.

【答案】 3

5.以初速度 v0 (v0>0)做竖直上抛运动的物体,t 时刻的高度为 s(t)=v0t-12gt2,求

物体在时刻 t0 时的瞬时速度.

【导学号:95902188】

【解】 ∵Δ s=v0(t0+Δ t)-12g(t0+Δ t)2-v0t0+12gt20=(v0-gt0)Δ t-12g(Δ t)2,

∴Δ Δ

st=v0-gt0-12gΔ

t,当

Δ

t→0

时,Δ Δ

ts→v0-gt0,

∴物体在时刻 t0 时的瞬时速度为 v0-gt0.

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