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河北省沧州市五校2012~2013学年度高三第一次联考文科数学试题

时间:2013-03-25

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河北省沧州市五校 2012~2013 学年度高三第一次联考 数 学 试 题(文)
本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 2 ?( ) 1. 1? i (A) ?1 ? i (B) ?1 ? i (C) 1 ? i (D) 1 ? i
2.如下图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 上任意一点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q, 则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) (A)

1 4

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

3. a ? log0.3 4, b ? log4 3, c ? 0.3?2 ,则( ) (A) a ? c ? b (B) c ? b ? a (C) a ? b ? c (D) b ? a ? c

4. 过点 P(1,3) 且在 x 轴上的截距和在 y 轴上的截距相等的直线方程为( ) (A) x ?

y?4? 0

(B) 3x ?

y?0

x (C) ?

y ? 4 ? 0 或 3x ? y ? 0 (D)x ? y ? 4 ? 0 或 3x ? y ? 0

5. 某几何体的三视图如右图所示,则它的体积是( ) (A) 8 ?

2? 3

(B) 8 ? (D)

?
3

(C) 8 ? 2?

2? 3

6.已知 a ? R, 则 " a ? 2" 是" a2 ? 2a " 成立的( ) (A)充分不必要条件 条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要

7. 已知向量 a ? (2,1) ,b ? (1, k ) , a 与 b 的夹角为锐角, k 的取值范围是( 且 则 (A) ? ?2, ??? (B) ( ?2, ) ? ( , ?? )

r

r

r

r



1 2

1 2

(C) (??, ?2)

(D) (?2, 2)

8. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) (其中 A ? 0, ? ?

π )的 2

y
1

部分图象如右图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图象,则 只需将 f ( x ) 的图象( ) (A)向右平移

?
3

7? 12

O

?1
(B)向右平移

x

π 个长度单位 6

π 个长度单位 12

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(C)向左平移

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(D)向左平移

π 个长度单位 6

π 个长度单位 12

9.曲线 y ? 3x ? x3 上切点为 P(2, ?2) 的切线方程是( ) (A) y ? ?9 x ? 16 (B) y ? 9 x ? 20 (C) y ? ?2 (D) y ? ?9 x ? 16 或 y ? ?2

n n 10. 下 列 命 题 : ① 在 ?ABC 中 , 若 A ? B , 则 s i A ? s i B ; ② 已 知

AB ? (3,4),CD ? (?2,?1) ,则 AB 在 CD 上的投影为 ? 2 ;③已知 p : ?x ? R, cos x ? 1 ,

q : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则“ p ? ?q ”为假命题.其中真命题的个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

11. 设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,若曲线 C 上存在点 P 满足 PF1 : F1 F2 :

PF2 =
4:3:2,则曲线 C 的离心率等于( ) (A) 或

2 3

3 2

(B) 或2

2 3

(C) 或2

1 2

(D) 或

1 2

3 2

12.对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ( a ? 0 ) ,定义:设 f″(x)是函数 y=f′(x)的 导数, 若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y ? f ( x) 的“拐点”.有同学发 现:“任、 何一个三次函数都有?拐点?;任何一个三次函数都有对称中心;且?拐点?就是对称中心.” 请你将 这一发现为条件,若函数 g ( x) ?

1 3 1 2 5 1 ,则 x ? x ? 3x ? ? 3 2 12 x ? 1 2 1 2 3 4 2010 g( ) ? g( ) ? g( ) ? g( ) ??? g( ) =( ) 2011 2011 2011 2011 2011
(A)2010 (B)2011 (C)2012 (D)2013

二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.执行右侧的程序框图,输出的结果 S 的值为 。

14. 已知 tan(? ? ? ) ?

1 1 ,tan ? ? ? ,tan(2? ? ? ) ? 2 7



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15.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S9 ? ?36 , S13 ? ?104 ,则 a6 ? 16.如右图, 设 A、B、C、D 为球 O 上四点,若 AB、AC、AD 两两互相垂直, 且 AB ? AC ? 6 , AD ? 2 ,则 A、D 两点间的球面距离 。 D

O A C B

三、解答题:共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.

17. (满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , an?1 ? 3Sn ? 1 , n ? N? 。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 Tn 为数列 ?n ? an ? 的前 n 项和,求 Tn ;

18. (满分 12 分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个 数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示.

(Ⅰ )如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (II)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学, 求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率.

19.(满分 12 分)如右图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AA1=AB,D 是 AC 的中点。 (Ⅰ )求证:B1C//平面 A1BD; (Ⅰ )求二面角 A—A1B—D 的余弦值。

20. (满分 12 分) 已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

离心率 e ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点为 B (0, 4) ,

5 , 5

直线 l 交椭圆于 M、N 两点. (Ⅰ )求椭圆的标准方程; (II)如果Δ BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F,求直线的方程. 21. (满分 12 分)设函数 f ( x ) ? 2 ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? .
2

(Ⅰ )求函数 f (x) 的单调递增区间;
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的取值范围.

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(II)若关于 x 的方程 f ? x ? ? x2 ? 3x ? a ? 0 在区间 ? 2, 4? 内恰有两个相异的实根,求实数 a

选做题:请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
22. (满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》

如下图,AB、CD 是圆的两条平行弦,BE//AC,BE 交 CD 于 E、交圆于 F,过 A 点的切线交 DC 的延长线于 P,PC=ED=1,PA=2. (I)求 AC 的长; (II)求证:BE=EF.

23. (满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? 原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线 P 的方程为 p2 ? 4 p cos? ? 3 ? 0 。 (Ⅰ )求曲线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程; (Ⅱ )设曲线 C 和曲线 P 的交点为 A 、 B ,求 | AB | 。

?x ? 2 ? t ,以该直角坐标系的 (t 为参数) ? y ? t ?1

24. (满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 | . (I)证明: ? 3 ≤ f (x) ≤3;
2 (II)求不等式 f (x) ≥ x ? 8x ? 15 的解集.

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1~5 DCCDA 6~10 A BAAC 11~12 DA

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二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13. ;14. ;15. ?6 ;16.
2? 3

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意, an?1 ? 3Sn ? 1 ,则当 n ? 2 时, an ? 3Sn?1 ? 1 . 两式相减,得 an?1 ? 4an ( n ? 2 ). 又因为 a1 ? 1 , a2 ? 4 , ?????????????????2 分

a2 ? 4 ,?????????????????4 分 a1

所以数列 ?an ? 是以首项为,公比为 4 的等比数列,????????5 分 所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 4
n ?1

( n ? N? ). ????????????6 分

(Ⅱ)因为 Tn ? (1 ? a1 ) ? (2 ? a2 ) ? (3 ? a3 ) ? ? ? (n ? an ) ,

? (1 ? 2 ? ? ? n) ? (1 ? 4 ? 42 ? ? ? 4n?1 )
? n(1 ? n) 1(1 ? 4n ) ? 2 1? 4
????????????12 分

n ? n 2 4n ? 1 ? ? 2 3

18. (满分 12 分) 解:(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; ??????????????3 分 4 4 1 35 2 35 2 35 2 11 2 . ?????????6 方差为 s ? [(8 ? ) ? (9 ? ) ? (10 ? ) ] ? 4 4 4 4 16
所以平均数为 x ? 分 (Ⅱ )记甲组四名同学为 A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为 9,9,11,11; 乙组四名同学为 B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为 9,8,9,10,分别从甲、 乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有 16 个,它们是: (A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)(A1,B4) , , , , (A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)(A2,B4) , , , , (A3,B1)(A2,B2)(A3,B3)(A1,B4) , , , , (A4,B1)(A4,B2)(A4,B3)(A4,B4) , , , , 用 C 表示:“选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件,则 C 中的结果有 4 个,它
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4 1 ? . ?? 16 4

们是: 1,B4)(A2,B4)(A3,B2)(A4,B2) (A , , , ,故所求概率为 P (C ) ? 12 分 19.(满分 12 分) 解:(1)证明:连 AB1 交 A1B 于点 E ,连 DE . 则 E 是 AB1 的中点, ∵ D 是 AC 的中点,∴ DE // B1C

∵ DE ? 平面 A1BD , B1C ? 平面 A1BD ,∴ B1C ∥平面 A1BD .???????6 分 (2)法一:设 AA1 ? 2a ,∵ AA ? AB ,∴ AE ? BA ,且 AE ? 1 1 作 AF ? A1D ,连 EF ∵平面 A1BD ⊥平面 ACC1 A ,∴ AF ? 平面 A1BD , 1 ∴ EF ? BA ∴ ? AEF 就是二面角 A ? A1B ? D 的平面角, 1 在 ?A1 AD 中, AF ?

2a ,

2 a, 5

在 ?AEF 中, EF ?

4 6 AE 2 ? AF 2 ? 2a 2 ? a 2 ? a 5 5
6 a 5 ? 15 ,即二面角 A ? A B ? D 的余弦值是 15 .???? 1 5 5 2a

cos?AEF ?

EF ? AE

12 分 解法二:如图,建立空间直角坐标系. 则 D(0,0,0) , B(0, 3a,0) , A(?a, 0, 0) , A1 (?a,0, 2a) .

DA ∴ AA ? (0,0,2a) , ? (a, 3a,0) , 1 ? (?a,0,2a) , AB 1
??? ? DB ? (0, 3a,0)
设平面 A1BD 的法向量是 m ? ( x, y, z) ,则 由?

????

??? ?

???? ?

?m ? DA ? ? x ? 2 z ? 0 ? 1 ?m ? DB ? 3 y ? 0 ?

,取 m ? (2,0,1)

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设平面 AA B 的法向量是 n ? ( x, y, z) ,则 1 由?

?n ? AB ? x ? 3 y ? 0 ? ?n ? AA ? 2 z ? 0 1 ?

,取 n ? ( 3,?1,0)

?? ? m?n 2 3 15 ? 记二面角 A ? A1B ? D 的大小是 ? ,则 cos ? ? ?? ? ? , 5 | m || n | 2 5
即二面角 A ? A1B ? D 的余弦值是

15 .??????????12 分 5

20. (满分 12 分) 解: (1)由已知 b ? 4 ,且

c2 1 c 5 ,即 2 ? , ? 5 a a 5

∴ 分

a 2 ? b2 1 x2 y 2 ? ,解得 a 2 ? 20 ,∴椭圆的方程标准为 ? ? 1 ; ??????5 20 16 5 a2

(2)椭圆右焦点 F 的坐标为 (2, 0) , 设线段 MN 的中点为 Q ( x0 , y0 ) , 由三角形重心的性质知 BF ? 2FQ ,又 B(0, 4) , ∴ (2, ?4) ? 2( x0 ? 2, y0 ) ,故得 x0 ? 3, y0 ? ?2 , 求得 Q 的坐标为 (3, ?2) ; 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 6, y1 ? y2 ? ?4 ,
2 x1 y2 x2 y 2 ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1 , 20 16 20 16

??? ?

??? ?

????????8 分



????????10 分

以上两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0, 20 16

∴ kMN ?

y1 ? y2 4 x ?x 4 6 6 ?? ? 1 2 ?? ? ? , x1 ? x2 5 y1 ? y2 5 ?4 5

0 故直线 MN 的方程为 y ? 2 ? ( x ? 3) ,即 6 x ? 5 y ?28 ? .

6 5

????????12 分

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21. (满分 12 分)

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(1)函数 f ? x ? 的定义域为 ?1, ?? ? ,??????????????????1 分 ∵ f ?( x) ? 2 ?

2x ? x ? 2? ? 1 ? , ? ? x ? 1?? ? ? x ?1 ? x ?1 ?

???????????????2 分

∵ x ? 1 ,则使 f ?( x) ? 0 的 x 的取值范围为 ?1, 2 ? , 故函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ?1, 2 ? . (2)方法 1:∵ f ( x ) ? 2 ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ,
2

?????????????????4 分

∴ f ( x) ? x ? 3x ? a ? 0 ? x ? a ? 1 ? 2ln ? x ?1? ? 0 .
2

??????????6 分

令 g ? x ? ? x ? a ? 1 ? 2ln ? x ?1? , ∵ g ?( x) ? 1 ?

2 x ?3 ? ,且 x ? 1 , x ?1 x ?1

由 g ?( x) ? 0得x ? 3,g ?( x) ? 0得1 ? x ? 3 . ∴ g ( x) 在区间 [2,3] 内单调递减,在区间 [3, 4] 内单调递增, ????????8 分

? g (2) ? 0, ? 故 f ( x) ? x ? 3x ? a ? 0 在区间 ? 2, 4? 内恰有两个相异实根 ? ? g (3) ? 0, ? g (4) ? 0. ?
2

??10 分

?a ? 3 ? 0, ? 即 ? a ? 4 ? 2 ln 2 ? 0, 解得: 2ln 3 ? 5 ? a ? 2ln 2 ? 4 . ?a ? 5 ? 2 ln 3 ? 0. ?
综上所述, a 的取值范围是 ? 2ln3 ? 5, 2ln 2 ? 4? . ????????????12 分

方法 2:∵ f ( x ) ? 2 ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ,
2

∴ f ( x) ? x ? 3x ? a ? 0 ? x ? a ? 1 ? 2ln ? x ?1? ? 0 .
2

??????????6 分

即 a ? 2ln ? x ?1? ? x ?1 , 令 h ? x ? ? 2ln ? x ?1? ? x ?1 , ∵ h?( x) ?

2 3? x ?1 ? ,且 x ? 1 , x ?1 x ?1

由 h?( x) ? 0得1 ? x ? 3, h?( x) ? 0得x ? 3 .

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∴ h( x) 在区间 [2,3] 内单调递增,在区间 [3, 4] 内单调递减.????????8 分 ∵ h ? 2? ? ?3 , h ? 3? ? 2ln 2 ? 4 , h ? 4? ? 2ln3 ? 5 , 又 h ? 2? ? h ? 4? , 故 f ( x) ? x2 ? 3x ? a ? 0 在区间 ? 2, 4? 内恰有两个相异实根 ? h ? 4? ? a ? h ? 3? . ??????????????10 分 即 2ln 3 ? 5 ? a ? 2ln 2 ? 4 . 综上所述, a 的取值范围是 ? 2ln3 ? 5, 2ln 2 ? 4? . ???????????12 分

22. (满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》

解: (I)? PA2 ? PC ? PD, PA ? 2, PC ? 1 ,?PD ? 4 ,?(2 分) 又? PC ? ED ? 1,? CE ? 2 ,? ?PAC ? ?CBA, ?PCA ? ?CAB ,
PC AC ,????(4 分) ? AC AB ? AC 2 ? PC ? AB ? 2 ,? AC ? 2 ????(5 分) (II)? BE ? AC ? 2 , CE ? 2 ,而 CE ? ED ? BE ? EF , 2 ?1 ? EF ? ? 2 ,? EF ? BE . 2
? ?PAC ∽ ?CBA,?
23. (满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 解: Ⅰ 曲线 C 的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 , ( ) 曲线 P 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 .
2 2

????(8 分) ????(10 分)

……5 分 (Ⅱ )曲线 P 可化为 ( x ? 2) ? y ? 1 ,表示圆心在 ( 2,0) ,半径 r ? 的圆,
2 2

则圆心到直线 C 的距离为 d ?

1 2

?

2 2 2 ,所以 AB ? 2 r ? d ? 2 .……10 分 2

24. (满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 解:

x ? 2, ??3, ? (I) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ?2 x ? 7, 2 ? x ? 5, ?3, x ? 5. ?
当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 2 x ? 7 ? 3.

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所以 ?3 ? f ( x) ? 3. (II)由(I)可知,

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………………5 分

当 x ? 2时, f ( x) ? x2 ? 8x ? 15 的解集为空集; 当 2 ? x ? 5时, f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 x | 5 ? 3 ? x ? 5} ; { 当 x ? 5时, f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 x | 5 ? x ? 6} . { 综上,不等式 f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 x | 5 ? 3 ? x ? 6}. { …………10 分

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