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江苏省苏泰州南通2010届高三第三次数学模拟考试word版04

时间:2010-05-29


知识改变命运,学习成就未来

南通市 2010 届高三第三次调研测试 数学参考答案及评分建议 必做题部分
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 有一容量为 10 的样本:2,4,7,6,5,9,7,10,3,8,则数据落在 ?5.5 , 7.5? 内的 频率为 ▲ .
l n 2. 已知直线 l,m,n,平面 ? ,m ? ? ,n ? ? ,则“ l ? ? ”是“ l ? m , 且 ? ”的 ▲ 条

件.(填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”之一) 、 、 、 3.
{3 , 已知集合 A ? ?2,7,? 4m ? (m ? 2)i (其中 i 为虚数单位, m ? R ) B ? 8 } ,且 , ?
A I B ? ? ,则 m 的值为

▲ .

4.

在区间[0,1]上任取两个数 a,b,则关于 x 的方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实数根的概率为 ▲ .

x≥0, ?tan x, 5. 若函数 f ( x) ? ? 则 f 2 f 3π 4 log 2 (? x), x ? 0, ?

? ? ?? ?

▲ .

6. 在区间 ? ?a,a? (a ? 0) 内不间断的偶函数 f ( x) 满足 f (0) ? f (a) ? 0 , f ( x) 在区间 ?0,a? 且 上是单调函数,则函数 y ? f ( x) 在区间 (?a,a) 内零点的个数是 ▲ . 7. 执行如图所示的程序框图后,输出的结果是 ▲ . 8. 不等式 x ? 2 ? 1 的解集是 ▲ . x 9. 如图,点 A、B 在函数 y ? tan π x ? π 的图象上,则直线 AB 的方程为 ▲ . 4 2
开始

?

?

n ?6
S ?0
n ? n ?1

y 1 O A

S ?S ?n

S<15 N
输出 n

Y

B B

x

结束 (第 7 题)

(第 9 题)

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2 y2 10. 双曲线 x ? ? 1 上的点 P 到点(5, 0)的距离是 6,则点 P 的坐标是 ▲ . 16 9 a 11. 已知数列 ?an ? 为等差数列,若 5 ? ?1 ,则数列 ? an ? 的最小项是第 ▲ 项. a6

uur uur u 12. 在菱形 ABCD 中,若 AC ? 4 ,则 CA ? AB ?

▲ .

13. 已知点 P 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,点 Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上,PQ 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,且
y0 ? x0 ? 2 ,则

y0 的取值范围是____▲ ____. x0

14. 数 列 ?an ? 满 足 : a1 ? 2,an ? 1 ? 1 (n ? 2, , , ) , 若 数 列 ?an ? 有 一 个 形 如 3 4 ??? an?1
an ? A sin(? n ? ? ) ? B 的 通 项 公 式 , 其 中 A、B、?、? 均 为 实 数 , 且

A ? 0,? ? 0,? ? π ,则 an ? 2

▲ .(只要写出一个通项公式即可)

【填空题答案】 1.0.3 5. 1 9. x ? y ? 2 ? 0 12.-8 2.充分不必要 6. 2 3.-2 7. 3 10.(8, ?3 3 ) 13. ? 1 , 1 ? 2 5 4. 1 2 8. x x ? ?2或 ? x ? 1? 0 ? 11.6 14. 3sin 2π n ? π ? 1 3 3 2

?

?

?

?

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 1 15. (本题满分 14 分) , 3 1 与 n ? 3, A ? , 3 cos A 共线,其中 A 是△ABC 的内角. sin 已知向量 m ? sin A, 2 5 (1)求角 A 的大小;

?

?

?

?

(2)若 BC=2,求△ABC 面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状. 【解】 (1)因为 m//n,所以 sin A ? (sin A ? 3 cos A) ? 3 ? 0 . 2 ?????????2 分

所以 1 ? cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 3 ? 0 ,即 3 sin 2 A ? 1 cos 2 A ? 1 , ????3 分 2 2 2 2 2 即 sin 2 A ? π ? 1 . ???????????????????4 分 6

?

?

11π . 因为 A? (0, π) , 所以 2 A ? π ? ? π , 6 6 6

?

?

?????????????5 分

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故 2A ? π ? π , A ? π . 6 2 3 ????????????7 分

(2)由余弦定理,得 4 ? b2 ? c2 ? bc . ??????????????8 分 又 S?ABC ? 1 bc sin A ? 3 bc , 2 4 ??????????????9 分

而 b2 ? c 2≥2bc ? bc ? 4≥2bc ? bc≤4 , (当且仅当 b ? c 时等号成立) ????11 分 所以 S?ABC ? 1 bc sin A ? 3 bc≤ 3 ? 4 ? 3 . 2 4 4 ?????????12 分

当△ABC 的面积取最大值时, b ? c .又 A ? π ,故此时△ABC 为等边三角形.?14 分 3 D 16. (本题满分 14 分) 如图,已知四边形 ABCD 为矩形, AD ? 平面 ABE,AE=EB=BC=2, F 为 CE 上的点,且 BF ? 平面 ACE. (1)求证:AE//平面 BDF; (2)求三棱锥 D-ACE 的体积. 【证明】 (1)设
AC I BD ? G

C

A

G B O

F B E

,连结 GF .

(第 16 题)

因为 BF ? 面 ACE , CE ? 面 ACE ,所以 BF ? CE . 因为 BE ? BC ,所以 F 为 EC 的中点. 在矩形 ABCD 中, G 为 AC 中点,所以 GF // AE . 因为 AE ? 面 BFD , GF ? 面 BFD ,所以 AE // 面 BFD . ???????????3 分 ??????5 分 ??????7 分

(2)取 AB 中点 O ,连结 OE .因为 AE ? EB ,所以 OE ? AB . 因为 AD ? 面 ABE , OE ? 面 ABE ,所以 OE ? AD , 所以 OE ? 面 ADC . ?????????????????9 分

因为 BF ? 面 ACE , AE ? 面 ACE ,所以 BF ? AE . 因为 CB ? 面 ABE , AE ? 面 ABE ,所以 AE ? BC . 又
BF I BC ? B

,所以 AE ? 平面 BCE .

???????????11 分

又 BE ? 面 BCE ,所以 AE ? EB .所以

AB ? AE 2 ? BE 2 ? 2 2 , OE ? 1 AB ? 2 .????12 分 2
故三棱锥 E ? ADC 的体积为
VD ? AEC ? VE ? ADC ? 1 S?ADC ? OE ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 4 . 3 3 2 3

???????14 分

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17 . (本题满分 15 分) 田忌和齐王赛马是历史上有名的故事. 设齐王的 3 匹马分别为 A、B、C,田忌的 3 匹马 分别为 a,b,c,6 匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为:A,a,B,b,C,c. 两人约 定:6 匹马均需参赛,共赛 3 场,每场比赛双方各出 1 匹马,最终至少胜两场者为获胜. (1)如果双方均不知道对方的出马顺序,求田忌获胜的概率; (2)颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情,得知齐王第一场必出 A 马. 那么, 田忌应怎样安排马的出场顺序,才能使获胜的概率最大? 【解】记 A 与 a 比赛为(A,a) ,其它同理. (l) (方法 1)齐王与田忌赛马,有如下 6 种情况: (A,a),(B,b),(C,c)(A,a),(B,c),(C,b) ; ; (A,b),(B,c),(C,a)(A,b),(B,a),(C,c) ; ; (A,c),(B,a),(C,b)(A,c)(B,b)(C,a). ?????2 分 ; , , 其中田忌获胜的只有一种: (A,c),(B,a),(C,b). 故田忌获胜的概率为 P ? 1 . 6 ????????4 分

?????????????7 分

(方法 2)齐王与田忌赛马对局有 6 种可能: A a a b b c c B b c a c a b C c b c a b a ???????????????????????2 分 ??????4 分

其中田忌获胜的只有一种: (A,c),(B,a),(C,b).

若齐王出马顺序还有 ACB , BAC , BCA,CAB,CBA 等五种;每种田忌有一种可以获胜. 故田忌获胜的概率为 P ? 6 ? 1 . ??????????????7 分 6?6 6 (2)已知齐王第一场必出上等马 A,若田忌第一场必出上等马 a 或中等马 b,则剩下 二场,田忌至少输一场,这时田忌必败.为了使自己获胜的概率最大,田忌第一场应出下 等马 c.??9 分 后两场有两种情形: ①若齐王第二场派出中等马 B,可能的对阵为: (B,a),(C,b)或(B,b),(C,a) .

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田忌获胜的概率为 1 . 2 ????????????????????11 分

②若齐王第二场派出下等马 C,可能的对阵为: (C,a),(B,b)或(C,b),(B,a) . 田忌获胜的概率也为 1 . 2 ????????????????????13 分

所以,田忌按 c , a , b 或 c , b , a 的顺序出马,才能使自己获胜的概率达到最大 1 ?14 2 分 答: (l)田忌获胜的概率 1 . 6 (2)田忌按 c , a , b 或 c , b , a 的顺序出马,才能使获胜的概率达到最大为 1 ??15 分 2 18. (本题满分 15 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知对于任意实数 k , 直线

?

3k ? 1 x ? k ? 3 y ? 3k ? 3 ? 0

? ?

? ?

?

恒过定点 F. 设椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F,且椭圆 C 上的点到 F 的最大距离为
2? 3 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设(m,n)是椭圆 C 上的任意一点,圆 O: x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 与椭圆 C 有 4 个相 异公共点,试分别判断圆 O 与直线 l1:mx+ny=1 和 l2:mx+ny=4 的位置关系. 【解】 (1) 分
? 3x ? y ? 3 ? 0, ? 解? 得F ? x ? 3 y ? 3 ? 0, ?

?

3k ? 1 x ? k ? 3 y ? 3k ? 3 ? 0 ?

? ?

? ?

?

?

3x ? y ? 3 k ? x ? 3 y ? 3 ? 0 , ?1

? ?

?

?

3,0 .

?

??????????????3 分

设椭圆 C 的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a,2b,2c,
? c ? 3, ? 则由题设,知 ? 于是 a=2,b2=1. ?a ? c ? 2 ? 3.. ?

????????????5 分

所以椭圆 C 的方程为 x ? y 2 ? 1. 4

2

????????????????6 分

(2)因为圆 O: x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 与椭圆 C 有 4 个相异公共点, 所以 b ? r ? a ,即 1 ? r ? 2. ?????????????8 分

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因为点(m,n)是椭圆 x ? y 2 ? 1 上的点,所以 m ? n2 ? 1,且-2≤m≤2 . 4 4 所以 m2 ? n2 = 3 m2 ? 1 ?[1, . 2] 4 于是圆心 O 到直线 l1 的距离 d1 ? 圆心 O 到直线 l2 的距离 d2 ?
2
2 2

???????????????10 分
1 ≤ ? r ,???????????12 分 1 m ? n2

4 ≥2 ? r . m2 ? n2

???????????14 分

故直线 l1 与圆 O 相交,直线 l2 与圆 O 相离.??????????????15 分 19. (本题满分 16 分) 设数列{an}是由正数组成的等比数列,公比为 q,Sn 是其前 n 项和. (1)证明 Sn ? Sn? 2 ? Sn?1 ; (2) bn ? 4 an ?3 ? 4 an ?1 ? 2 an , 记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn, 设 试比较 q2Sn 和 Tn 的大小. 15 5 5 【证明】 (1)由题设知 a1>0,q>0. ???????????????1 分

(i)当 q=1 时,Sn=na1,于是 Sn· n+2- S n2?1 =na1· S (n+2)a1-(n+1)2 a12 =- a12 <0, ?3 分 (ii)当 q≠1 时, Sn ?
a1 ?1 ? q n ? 1? q


a12 ?1 ? q n ?1 ?
2

于是 Sn· n+2- S S

2 n?1

?

a12 ?1 ? q n ??1 ? q n ? 2 ?

?1 ? q ?

2

?

?1 ? q ?

2

= ?a12 q n ? 0 .

????7 分

由(i)和(ii),得 Sn· n+2- S n2?1 <0.所以 Sn· n+2< S n2?1 , Sn ? Sn? 2 ? Sn?1 . ?????8 分 S S (2) 方法一: bn ? 4 an ?3 ? 4 an ?1 ? 2 an ? 4 an q3 ? 4 an q ? 2 an , 15 5 5 15 5 5 Tn= ? bk ? ? ( 4 ak q 3 ? 4 ak q ? 2 ak ) ? 4 q 3 Sn ? 4 qSn ? 2 Sn , 5 5 15 5 5 k ?1 k ?1 15 Tn-q2Sn= =
n n

????11 分

Sn (4q3 ? 15q2 ? 12q ? 6) , 15

?????????????13 分 ?????????????15 分

Sn (4q(q ? 2)2 ? (q ? 2)2 ? 2) ≥2>0, 15

所以 Tn>q2S.
n n

??????????????????????16 分

方法二:Tn= ? bk ? ? ( 4 ak q 3 ? 4 ak q ? 2 ak ) ? 4 q 3 Sn ? 4 qSn ? 2 Sn , ???11 分 5 5 15 5 5 k ?1 k ?1 15 由
Tn ? 4 q? 4 ? 2, 5q 5 q 2 Sn 15

???????????????????13 分

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因为 q ? 0 ,所以 4 q ? 4 ≥2 4 ? 4 ? 8 3 (当且仅当 4 q ? 4 ,即 q ? 3 时取“=” 15 5q 15 5q 15 5 15 号) , 因为 8 3 ? 2 ? 6 ? 8 3 ? 1 , 15 5 15 所以
Tn ? 1 ,即 Tn>q2S. q 2 Sn

???????????16 分

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2a cos kπ ? ln x(k ?N* , a ? R ,且 a ? 0 ) . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若 k ? 2010 ,关于 x 的方程 f ( x) ? 2ax 有唯一解,求 a 的值. 【解】 (1)由已知得 x>0 且 f ?( x) ? 2 x ? (?1)k ? 2a . x 当 k 是奇数时, f ?( x) ? 0 ,则 f(x)在(0,+ ? )上是增函数; 当 k 是偶数时,则 f ?( x) ? 2x ? 2a ? x ?????3 分 ????????5 分

2( x ? a )( x ? a ) . x

所以当 x ? 0, a 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? a, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 . 故当 k 是偶数时,f (x)在 0, a 上是减函数,在 ? a, ?? ? 上是增函数.??????7 分 (2)若 k ? 2010 ,则 f ( x) ? x2 ? 2a ln x(k ?N* ) . 记 g (x) = f (x) – 2ax = x 2 – 2 a xlnx – 2ax, g ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2a ? 2 ( x 2 ? ax ? a) , x x 若方程 f(x)=2ax 有唯一解,即 g(x)=0 有唯一解; 令 g ?( x) ? 0 ,得 x 2 ? ax ? a ? 0 .因为 a ? 0, x ? 0 ,
2 2 所以 x 1 ? a ? a ? 4a ? 0 (舍去) x 2 ? a ? a ? 4a . , 2 2

?

?

?

?

??????????9 分

????????11 分

当 x ? (0, x2 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 是单调递减函数; 当 x ? ( x2 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 , ??) 上是单调递增函数. 当 x=x2 时, g ?( x2 ) ? 0 , g ( x)min ? g ( x2 ) . 因为 g ( x) ? 0 有唯一解,所以 g ( x2 ) ? 0 .
2 ? g ( x ) ? 0, ? x2 ? 2a ln x2 ? 2ax2 ? 0, ? 则? 2 即? 2 ? g ?( x2 ) ? 0, ? x2 ? ax 2 ?a ? 0, ?

??????????12 分

??????????13 分
(*) .??14 分

两式相减得 a ln x2 ? ax2 ? a ? 0, 因为 a>0,所以 2ln x2 ? x2 ? 1 ? 0 设函数 h( x) ? 2ln x ? x ? 1 ,

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因为在 x>0 时,h (x)是增函数,所以 h (x) = 0 至多有一解. 因为 h (1) = 0,所以方程(*)的解为 x 2 = 1,从而解得 a ? 1 ????16 分 2

附加题部分
21. (选做题)本大题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题. 每小题 10 分, 共 20 分.请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. A. 选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径, C , F 是⊙ O 上的两点, OC ⊥ AB , 过点 F 作⊙ O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D .连结 CF 交 C

AB 于点 E .
求证: DE 2 ? DB ? DA . 【证明】连结 OF. 因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90°. 所以∠OFC+∠CFD=90°. 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90°. ?????????5 分 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB· DA.所以DE2=DB· DA. ?????10分 F A E O B D

B. 选修 4-2:矩阵与变换

?2 1? 求矩阵 ? ? 的特征值及对应的特征向量. ?1 2 ?
【解】特征多项式 f (? ) ?

? ?2
?1

?1 ? (? ? 2)2 ? 1 ? ? 2 ? 4? ? 3 , ????3 分 ? ?2
???????????????6 分

由 f (? ) ? 0 ,解得 ?1 ? 1, ?2 ? 3 .

?? x ? y ? 0, 将 ?1 ? 1 代入特征方程组,得 ? ? x ? y ? 0. ?? x ? y ? 0 ?1? 可取 ? ? 为属于特征值 ? 1=1 的一个特征向量. ??????????8 分 ? ?1?

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? x ? y ? 0, 将 ?2 ? 3 代入特征方程组, 得 ? ? x ? y ? 0. ?? x ? y ? 0

?1? 可取 ? ? 为属于特征值 ?2 ? 3 的一个特征向量. ?1? ?2 1? 综上所述,矩阵 ? , ? 有两个特征值 ?1 ? 1 ?2 ? 3 ;属于 ?1 ? 1 的一个特征向量为 ?1 2 ?

?1? ? ?1? , ? ?
?1? 属于 ?2 ? 3 的一个特征向量为 ? ? . ?1?
C. 选修 4-4:坐标系与参数方程
? x ? ? 3 t ? 2, ? 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) . ?y ? 4 t 5 ?

????????????10 分

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 【解】 (1)曲线 C 的极坐标方程可化为 ? 2 ? 2? sin ? . 又 x2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 . ?????????4 分 ????????2 分

(2)将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程,得 y ? ? 4 ( x ? 2) .???????6 分 3 令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即 M 点的坐标为(2,0). 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(1,0),半径 r ? 1,则 MC ? 5 . ????8 分 所以 MN ≤ MC ? r ? 5 ? 1 . ????????????10 分

D.选修 4-5:不等式选讲 设 a1,a2,a3 均为正数,且 a1 ? a2 ? a3 ? m ,求证 1 ? 1 ? 1 ≥ 9 . a1 a2 a3 m 【证明】因为 ( 1 ? 1 ? 1 )gm ? (a1 ? a2 ? a3 )( 1 ? 1 ? 1 ) ≥3 3 a1 ? a2 ? a3 ? 3 3 1 ? 1 ? 1 ? 9 , a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 当且仅当 a1 ? a2 ? a3 ? m 时等号成立. 3

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又因为 m ? a1 ? a2 ? a3 ? 0 , 所以 1 ? 1 ? 1 ≥ 9 . a1 a2 a3 m 分 22. 必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ,顶点 A1 在 底面 ABC 上的射影恰为点 B,且 AB ? AC ? A1B ? 2 . (1)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小; ( 2 )在 棱 B1C1 上 确 定一 点 P, 使 AP ? 14 , 并 求 出二 面角
C1 B1 A1

?????10

P ? AB ? A1 的平面角的余弦值.
【解】 (1)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系, 则 C ? 2,,?,B ? 0,,?,A1 ? 0,,?,B1 ? 0,,? , 00 20 2 2 4 2
C B A

???? ??? ????? ? AA1 ? ? 0,,? , BC ? B1C1 ? ? 2, 2,? . 2 2 ? 0
???? ??? ? ???? ??? ? AA1 ? BC ?4 1 cos? AA1,BC ? ? ???? ??? ? ?? , ? 2 8? 8 AA1 ? BC
故 AA1 与棱 BC 所成的角是 π . ?????????4 分 3 ???? ???? ? (2)设 B1P ? ? B1C1 ? ? 2?, 2?,? ,则 P ? 2?, ? 2?, ? . 4 2 ? 0

(第 22 题)

C1 P B1

A1

z

1 3 2 于是 AP ? 4? 2 ? ? 4 ? 2? ? ? 4 ? 14 ? ? ? ( ? ? 舍去) , 2 2
则 P 为棱 B1C1 的中点,其坐标为 P ?1 3 2 ? . ????6 分 ,,
x

设平面 P ? AB ? A1 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,

C B

A

??? ? ?n1 ? AP ? 0, ? x ? 3 y ? 2 z ? 0, ? x ? ?2 z, ? ?? ?? 则 ? ??? ? ?2 y ? 0. ? y ? 0. ?n1 ? AB ? 0 ?
故 n1 ? ? ?2, , ? . 0 1 ??????????????8 分

y

而平面 ABA1 的法向量是 n2=(1,0,0),则 cos? n1 , n2 ? ?

n1 ? n2 ?2 2 5 ? ?? , n1 ? n2 5 5

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故二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值是

2 5 .?????10 分 5

23.必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 已知函数 f ( x) ? ln 2 (1 ? x) ? x , g ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x2 ? 2x . 1? x

? (1)证明:当 x ? (0, ?) 时, g ( x) ? 0 ;

(2)求函数 f ( x) 的的极值. 【解】 (1) g ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x2 ? 2x ,则 g ?( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x . 令 h( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x ,则 h?( x) ? 2 ? 2 ? ?2 x . 1? x 1? x 当 ?1 ? x ? 0 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (?1,0) 上为增函数.
? 当 x>0 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, ?) 上为减函数. ????????3 分

?????1 分

所以 h(x)在 x=0 处取得极大值,而 h(0)=0,所以 g ?( x) ? 0( x ? 0) ,
? 函数 g(x)在 (0, ?) 上为减函数. ????????????????4 分

当 x>0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 .

???????????????5 分

? (2)函数 f ( x) 的定义域是 (?1, ?) ,
f ?( x) ? 2 ln(1 ? x) x 2 ? 2 x 2(1 ? x) ln(1 ? x) ? x 2 ? 2 x ? ? , 1? x (1 ? x) 2 (1 ? x) 2

????????6 分

由(1)知, 当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x2 ? 2 x ? g (0) ? 0 , 当 x>0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 , 所以,当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 f ( x) 在(-1,0)上为增函数.
? 当 x>0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ?) 上为减函数.

????????8 分

? 故函数 f ( x) 的单调递增区间为(-1,0) ,单调递减区间为 (0, ?) .

故 x=0 时 f ( x) 有极大值 0.

?????????10 分

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