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2016届宁夏回族自治区银川一中高三上学期第五次月考数学(理)试题 word版

时间:2016-01-06


银川一中 2016 届高三年级第五次月考

数 学 试 卷(理)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? {1, 2, 3, 4, 5} ,集合 A ? {x ? Z A.{1, 2, 3, 4} B.{2, 3, 4}

x ? 3 ? 2} ,则集合 C U A ?
D.{5}

C.{1,5}

2.已知 ? 、 ? 是两个不同平面, m 、 n 是两不同直线,下列命题中的假命题是 A. 若m // n, m ? ? , 则n ? ? C. 若m ? ? , m ? ? , 则? // ? 3.已知等差数列{ an }中, a7 ? A. ? B. 若m // ? , ? ? ? ? n, 则m // n D. 若m ? ? , m ? ? , 则? ? ?

?
4

,则 tan( a6 ? a7 ? a8 )= C.-1 D.1

3 3

B. ? 2
1 x ? x 2 的定义域为 x ?1

4.函数 f ( x ) ? ln A.(0,+∞) C.(0,1)

B.(1,+∞) D.(0,1) ? (1,+ ? )

5.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体 的三视图如图所示,则该截面的面积为 A.
3 10 2

B. 4

C.

9 2

D. 5

6.已知圆 x 2 ? y 2 ? mx ? A.± 2 2

1 1 ? 0 与抛物线 y ? x 2 的准线相切,则 m= 4 4
C. 2 D.± 3

B. 3

0?) 的单调递增区间是 7.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ? ? ? π,
A. ? ? π, ?

? ?

5π ? 6? ?

B. ? ?

? 5π π ? , ? ? 6? ? 6

C. ? ? , 0?

? π ? ? 3 ?

D. ? ? , 0?

? π ? ? 6 ?

8.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大 圆上,则该正三棱锥的体积是 A.
3 3 4

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 12

9.有下列四个命题:

p1: ?x, y ? R,sin( x ? y ) ? sin x ? sin y ; p2:已知 a>0,b>0,若 a+b=1,则

1 4 ? 的最大值是 9; a b

p3:直线 ax ? y ? 2a ? 1 ? 0 过定点(0,-l); p4:由曲线 y ? x 2 , y ? x 3 围成的封闭图形面积为 其中真命题是 A.p1,p4 B.p1p2, C.p2,p4 D.p3,p4

1 12

? x ? y ? 2 ? 0, ? 10.已知实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 , ,若目标函数 z ? y ? ax 取得最大值时的 ?2 x ? y ? 5 ? 0, ?
唯一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围为 A.a<-l B.0<a<l C.a≥l
AB AB ? AC AC

D.a>1
) ? BC ? 0 ,且 AB AB ? AC AC ? 1 , 2

11.已知在△ABC 中,向量 AB 与 AC 满足 ( 则△ABC 为

A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 12.已知 f′(x)是奇函数 f(x)的导函数,f(﹣1)=0,当 x>0 时, xf′(x)﹣f(x)>0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是 A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) C.(﹣1,0)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若中心在原点的双曲线的一条渐近线经过点(3,﹣4),则此双曲线的离心率为 14.函数 y ? log a (2 x ? 3) ? 则 f(9)=_____________ 15.若 sin(? ? x) ? sin( ? ? x) ? .

2 的图像恒过定点 P,P 在幂函数 y=f(x)的图像上, 2
1 ,,则 sin2x= 2

3 2



16.关于 x 的方程 ( x 2 ? 4) 2 ? 4 x 2 ? 4 ? k ? 0 ,给出下列四个命题: ①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④存在实数 k ,使得方程恰有 6 个不同的实根; ⑤存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根.

其中真命题的序号是 17. (本小题满分 12 分)

(写出所有真命题的序号).

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔 底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D .现测得

?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测
得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB . 18. (本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , an ?1 ? 2 S n (n ? N* ) . (1)求数列 ?an ? 的通项 an ; (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn . 19. (本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2, D 为 CC1 中点。 (1)求证:AB1⊥面 A1BD; (2)求二面角 A-A1D-B 的大小; (3)求点 C 到平面 A1BD 的距离; 20.(本小题满分 12 分)
B C D B1 C1 A A1

已知抛物线 C 的顶点为原点 , 其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0 ? 到直线 : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 .设 P 为直线上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. 2 (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P ? x0 , y0 ? 为直线上的定点时,求直线 AB 的方程;
(3)当点 P 在直线上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? ? x ? 1? e ? kx (其中 k ? R ).
x 2

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (2) 当 k ? ?

?1 ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M . ?2 ?

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知⊙ O 是 ?ABC 的外接圆, AB ? BC , AD 是 BC 边上的高, AE 是⊙ O 的直径.

(1)求证: AC ? BC ? AD ? AE ; (2)过点 C 作⊙ O 的切线交 BA 的延长线于点 F ,若 AF ? 2 ,

CF ? 4 ,求 AC 的长.
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 半圆 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? , ? ? ? ? , ? ? ?2 ? ? ? (1)求半圆 C 1 的参数方程; (2) 设动点 A 在半圆 C 1 上, 动线段 OA 的中点 M 的轨迹为 C 2 , 点 D 在 C 2 上,C 2 在 点 D 处的切线与直线 y ?

3 x ? 2 平行,求点 D 的直角坐标.
1 x?3 2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ?| x ? 1 | ? | x ? a | , g ? x ? ?

(1)当 a ? ?2 时,求不等式 f ? x ? ? g ? x ? 的解集;

(2)若 a ? ?1 ,且当 x ? ? a ,1 时,不等式 f ? x ? ? g ? x ? 有解,求实数 a 的取值范围.

?

?

银川一中 2016 届高三年级第五次月考数学(理)答案
一、选择题 1 题号 C 答案 13.
5 5 or 3 4

2 B 14.
1 3

3 C 15. ?
3 4

4 B

5 C

6 D

7 D

8 C

9 A

10 D

11 D

12 B

16. ①②③⑤

17.解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? .

BC CD . ? sin ?BDC sin ?CBD CD sin ?BDC s · sin ? ? 所以 BC ? . sin ?CBD sin(? ? ? ) s · tan ? sin ? 在 Rt△ ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ? . sin(? ? ? ) 18.解: (Ⅰ)? an ?1 ? 2 S n , S ? S n ?1 ? S n ? 2S n ,? n ?1 ? 3 . Sn 又? S1 ? a1 ? 1 ,
由正弦定理得

? 数列 ?S n ? 是首项为,公比为 3 的等比数列, S n ? 3n ?1 (n ? N* ) .
当 n ≥ 2 时, an ? 2 S n ?1 ? 2? 3n ? 2 (n ≥ 2) ,

n ? 1, ?1, ? an ? ? n ? 2 3 ,n ≥ 2. ??? (Ⅱ) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan , 当 n ? 1 时, T1 ? 1 ;
当 n ≥ 2 时, Tn ? 1 ? 4? 30 ? 6? 31 ? ? ? 2n? 3n ? 2 ,…………①

3Tn ? 3 ? 4? 31 ? 6? 32 ? ? ? 2n? 3n ?1 ,………………………②
① ? ② 得: ?2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(31 ? 32 ? ? ? 3n ? 2 ) ? 2n? 3n ?1

3(1 ? 3n ? 2 ) ? 2 ? 2? ? 2n? 3n ?1 1? 3 ? ?1 ? (1 ? 2n)? 3n ?1 . 1 ? 1? ?Tn ? ? ? n ? ? 3n ?1 (n ≥ 2) . 2 ? 2?
又? T1 ? a1 ? 1 也满足上式,? Tn ?

1 ? 1? ? ? n ? ? 3n ?1 (n ? N* ) . 2 ? 2?

19.解答:解法一: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO . ?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC . ? 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1 B1 ,

A

A1

? AO ⊥ 平面 BCC1 B1 .
连结 B1O ,在正方形 BB1C1C 中, O,D 分别为 C O B D

F

BC,CC1 的中点, ? B1O ⊥ BD , ? AB1 ⊥ BD .
在正方形 ABB1 A1 中, AB1 ⊥ A1 B ,? AB1 ⊥ 平面 A1 BD .

C1 B1

(Ⅱ) 设 AB1 与 A1 B 交于点 G , 在平面 A1 BD 中, 作 GF ⊥ A1 D 于 F , 连结 AF , 由 (Ⅰ) 得 AB1 ⊥平面 A1 BD .

? AF ⊥ A1 D ,?∠AFG 为二面角 A ? A1 D ? B 的平面角.
在 △ AA1 D 中,由等面积法可求得 AF ?

4 5 1 ,又? AG ? AB1 ? 2 , 5 2

? sin ∠AFG ?

AG 2 10 . ? ? AF 4 5 4 5
10 . 4

所以二面角 A ? A1 D ? B 的正弦值

? S△ A1BD ? (Ⅲ) △ A1 BD 中, BD ? A1 D ? 5,A1 B ? 2 2,

6 , S△ BCD ? 1 .

在正三棱柱中, A1 到平面 BCC1 B1 的距离为 3 .设点 C 到平面 A1 BD 的距离为 d . 由 VA1 ? BCD ? VC ? A1BD 得

3S△ BCD 2 1 1 . ? S△ BCD ? 3 ? S△ A1BD ?d ,? d ? 3 3 S△ A1BD 2
z A F C O B x D

2 . 2 解法二: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO . ?△ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC . ? 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1 B1 ,
? 点 C 到平面 A1 BD 的距离为

A1

? ??? ??? ? ???? ? 取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点, OB , OO1 , OA 的方向 为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 2,3) , A(0, 则 B (1, 2, 0) , 0,3) , B1 (1, 0, 0) , D(?11 , , 0) , A1 (0,

? AD ⊥ 平面 BCC1 B1 .

C1
y

B1

???? ???? ??? ? ? AB1 ? (1, 2, ? 3) , BD ? (?2, 2,3) . 1, 0) , BA1 ? (?1, ???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ?BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , AB1 ?BA1 ? ?1 ? 4 ? 3 ? 0 , ???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ BA1 .? AB1 ⊥ 平面 A1 BD . ???? ???? 2, 0) . (Ⅱ)设平面 A1 AD 的法向量为 n ? ( x,y,z ) . AD ? (?11 , , ? 3) , AA1 ? (0, ???? ???? ? n ⊥ AD , n ⊥ AA1 , ???? ? ?? x ? y ? 3z ? 0, ? ?n?AD ? 0, ? ? y ? 0, ? ? ???? ?? ?? ? ? ?2 y ? 0, ? x ? ? 3z. ?n?AA1 ? 0, ?
令 z ? 1 得 n ? (? 3, 0, 1) 为平面 A1 AD 的一个法向量. 由(Ⅰ)知 AB1 ⊥平面 A1 BD ,? AB1 为平面 A1 BD 的法向量.

????

???? ???? n?AB1 ? 3? 3 6 cos ? n , AB1 ?? . ?? ???? ? 4 2?2 2 n ? AB1
6

. ? 二面角 A ? A1 D ? B 的余弦值为 4 ???? ??? ? ???? 0,, 0) AB1 ? (1, 2, ? 3) . (Ⅲ)由(Ⅱ) , AB1 为平面 A1 BD 法向量,? BC ? (?2, ??? ? ???? BC ?AB1 ?2 2 . ? 点 C 到平面 A1 BD 的距离 d ? ???? ? ? 2 2 2 AB1 20.(Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x ? 4cy ,由
2

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 , 2

解得 c ? 1 .

所以抛物线 C 的方程为 x ? 4 y .
2 2

1 2 1 x ,求导得 y? ? x 4 2 2 2 x x 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ( 其 中 y1 ? 1 , y2 ? 2 ), 则 切 线 PA, PB 的 斜 率 分 别 为 4 4 x x2 x 1 1 x1 , x2 , 所 以 切 线 PA 的 方 程 为 y ? y1 ? 1 ? x ? x1 ? , 即 y ? 1 x ? 1 ? y1 , 即 2 2 2 2 2
(Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ,即 y ?

x1 x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 ,同理可得切线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0
所以 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 . (Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF ? y1 ? 1 , BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 联立方程 ?

因为切线 PA, PB 均过点 P ? x0 , y0 ? ,所以 x1 x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

,消去 x 整理得 y 2 ? 2 y0 ? x0 2 y ? y0 2 ? 0

?

?

由一元二次方程根与系数的关系可得 y1 ? y2 ? x0 2 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0 2 所以 AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1
2 2

又点 P ? x0 , y0 ? 在直线上,所以 x0 ? y0 ? 2 ,

1? 9 ? 所以 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? ? ? 2? 2 ? 1 9 所以当 y0 ? ? 时, AF ? BF 取得最小值,且最小值为 . 2 2 21.(Ⅰ) 当 k ? 1 时, f ? x ? ? ? x ? 1? e x ? x 2 , f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2 x ? xe x ? 2 x ? x ? e x ? 2 ?
2 2 2

2

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:

x
f ?? x? f ? x?

? ??, 0 ?
?
?

0

? 0, ln 2 ?
?
?

ln 2

? ln 2, ?? ?
?
?

0
极大值

0
极小值

右表可知,函数 f ? x ? 的递减区间为 ? 0, ln 2 ? ,递增区间为 ? ??, 0 ? , ? ln 2, ?? ? . (Ⅱ) f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2kx ? xe x ? 2kx ? x e x ? 2k , 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln ? 2k ? ,

?

?

1 1? k ?1 ? ?1 ? ? 0 ,所以 g ? k ? 在 ? ,1? 上递增, k k ?2 ? 所以 g ? k ? ? ln 2 ? 1 ? ln 2 ? ln e ? 0 ,从而 ln ? 2k ? ? k ,所以 ln ? 2k ? ? ? 0, k ?
令 g ? k ? ? ln ? 2k ? ? k ,则 g ? ? k ? ? 所以当 x ? 0, ln ? 2k ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ln ? 2k ? , ?? 时, f ? ? x ? ? 0 ; 所以 M ? max f ? 0 ? , f ? k ? ? max ?1, ? k ? 1? e ? k
k

?

?

?

?

?

?

3

令 h ? k ? ? ? k ? 1? e ? k ? 1 ,则 h? ? k ? ? k e k ? 3k ,
k 3

?

?

?

?

令 ? ? k ? ? e ? 3k ,则 ? ? ? k ? ? e ? 3 ? e ? 3 ? 0
k k

所以 ? ? k ? 在 ?

3? ?1 ? ?1? ? ,1? 上递减,而 ? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3? ? 0 2? ?2 ? ?2? ?

?1 ? ?1 ? ,1? 使得 ? ? x0 ? ? 0 ,且当 k ? ? , x0 ? 时, ? ? k ? ? 0 , ?2 ? ?2 ? 当 k ? ? x0 ,1? 时, ? ? k ? ? 0 ,
所以存在 x0 ? ?

?1 ? , x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单调递减. ?2 ? 1 7 ?1? 因为 h ? ? ? ? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 , 2 8 ?2? ?1 ? 所以 h ? k ? ? 0 在 ? ,1? 上恒成立,当且仅当 k ? 1 时取得“ ? ”. ?2 ? k 3 综上,函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M ? ? k ? 1? e ? k .
所以 ? ? k ? 在 ?


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