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2017年普通高考数学科一轮复习精品学案 第35讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题资料

时间:2018-10-13


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2017 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第 35 讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题
一.课标要求:
1.由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决,要加强等价转 化思想的训练; 2.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想; 3.了解圆锥曲线的简单应用。

二.命题走向
近年来圆锥曲线在高考中比较稳定, 解答题往往以中档题或以押轴题形式出现, 主要考 察学生逻辑推理能力、运算能力,考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线 在新课标中化归到选学内容,要求有所降低,估计 2007 年高考对本讲的考察,仍将以以下 三类题型为主。 1.求曲线(或轨迹)的方程,对于这类问题,高考常常不给出图形或不给出坐标系, 以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力; 2.与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题,这类问题的综合型较大,解题中需要 根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确的构造不等 式或方程,体现了解析几何与其他数学知识的联系。 预测 2017 年高考: 1.出现 1 道复合其它知识的圆锥曲线综合题; 2.可能出现 1 道考查求轨迹的选择题或填空题,也可能出现在解答题中间的小问。

三.要点精讲

1.曲线方程
(1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下: 步 骤 含 义 说 明

1 、 “ 建 ” :建立坐标 系;“设”:设动点坐 标。

建立适当的直角坐标 系,用 (x,y) 表示曲线上 任意一点 M 的坐标。

(1) 所研究的问题已给出坐标系, 即可直接 设点。 (2) 没有给出坐标系, 首先要选取适当的坐 标系。

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2、现(限): 由限制条

写出适合条件 P 的点 M

这是求曲线方程的重要一步,应仔细分析 题意,使写出的条件简明正确。 常常用到一些公式。

件,列出几何等式。 的集合 P={M|P(M)} 3、“代”:代换 用坐标法表示条件 P(M), 列出方程 f(x,y)=0 4、“化”:化简 化方程 f(x,y)=0 为最简 形式。 5、证明 证明化简以后的方程的 解为坐标的点都是曲线 上的点。

要注意同解变形。

化简的过程若是方程的同解变形,可以不 要证明,变形过程中产生不增根或失根, 应在所得方程中删去或补上(即要注意方程 变量的取值范围)。

这五个步骤 (不包括证明)可浓缩为五字“口诀”:建设现 (限) 代化”
(2)求曲线方程的常见方法: 直接法:也叫“五步法”,即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本 方法。 转移代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点,另 一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法:就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。

参数法:根据题中给定的轨迹条件,用一个参数来分别动点的坐 标,间接地把坐标 x,y 联系起来,得到用参数表示的方程。如果消去 参数,就可以得到轨迹的普通方程。 2.圆锥曲线综合问题 (1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类:一类是有关长度和面积的最值问题;一类是圆锥曲 线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义,结合几何 知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及观形、设
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参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用,要注 意观察、分析图形的特征,将形和数结合起来。
圆锥曲线的弦长求法: 设圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 与直线 l∶y=kx+b 相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦长 |AB|为:

若 弦 AB 过 圆 锥 曲 线 的 焦 点 F , 则 可 用 焦 半 径 求 弦 长 , |AB|=|AF|+|BF|. 在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关 系,再利用代数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标 (x,y)的取值范围。
(2)对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题

它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及 定点、定值问题的判断方法。
(3)实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型, 随着高考改革的深入, 同时课本上也出现了许多与圆 锥曲线相关的实际应用问题,如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测,以及行星、 人造卫星、彗星运行轨道的计算等。 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系, 合理选择曲线模型, 然后转 化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断,解题的一般思想是:

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实际问题

建立坐标系 转化成数学问题

数学模型方程

模型的解

翻译回去

讨论方程的解

(4)知识交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合 到一块出现部分有较强区分度的综合题。
四.典例解析
题型 1:求轨迹方程 例 1. (1)一动圆与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 91 ? 0 内切, 求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。

x2 (2) 双曲线 ? y 2 ? 1有动点 P , 求 ?PF1F2 F1 , F2 是曲线的两个焦点, 9

的重心 M 的轨迹方程。 解析: ( 1) (法一)设动圆圆心为 M ( x, y) ,半径为 R ,设已知圆 的圆心分别为 O1 、 O2 , 将圆方程分别配方得: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 , ( x ? 3)2 ? y2 ? 100 , 当
M 与

O1 相 切 时 , 有

y

| O1M |? R ? 2


O2 相 切 时 , 有
P



M 与

| O2 M |? 10 ? R



O1

O2

x

将①②两式的两边分别相加, 得
| O1M | ? | O2 M |? 12 ,

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即 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12 移项再两边分别平方得:
2 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12 ? x





两边再平方得: 3x2 ? 4 y 2 ?108 ? 0 , 整理得
x2 y 2 ? ?1, 36 27

x2 y 2 所以,动圆圆心的轨迹方程是 ? ? 1 ,轨迹是椭圆。 36 27

(法二)由解法一可得方程 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12 , 由以上方程知, 动圆圆心 M ( x, y) 到点 O1 (?3, 0) 和 O2 (3,0) 的距离和是 常数12 , 所以点 M 的轨迹是焦点为 O1 (?3, 0) 、O2 (3,0) , 长轴长等于12 的 椭圆,并且椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上, ∴ 2c ? 6 , 2a ? 12 ,∴ c ? 3 , a ? 6 , ∴ b2 ? 36 ? 9 ? 27 ,
∴圆心轨迹方程为

x2 y 2 ? ?1。 36 27

(2) 如图, 设 P, M 点坐标各为 P( x1 , y1 ), M ( x, y) , ∴在已知双曲线方程中 a ? 3, b ? 1 , ∴ c ? 9 ? 1 ? 10 ∴已知双曲线两焦点为 F 1 (? 10,0), F 2 ( 10,0) , ∵ ?PF 1F 2 存在,∴ y1 ? 0

? x ? (? 10) ? 10 x? 1 ? ? x1 ? 3 x ? 3 由三角形重心坐标公式有 ? ,即 ? 。 ? y1 ? 3 y ? y ? y1 ? 0 ? 0 ? 3 ?
∵ y1 ? 0 ,∴ y ? 0 。

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已知点 P 在双曲线上,将上面结果代入已知曲线方程,有 即所求重心 M 的轨迹方程为: x2 ? 9 y 2 ? 1( y ? 0) 。

(3x)2 ? (3 y)2 ? 1( y ? 0) 9

点评:定义法求轨迹方程的一般方法、步骤;“转移法”求轨迹 方程的方法。
例 2.设 P 为双曲线 M 的轨迹方程是

x2 2 ? y =1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 4


解析:(1)答案:x2-4y2=1 设 P(x0,y0) ∴M(x,y) ∴x?

x0 y ,y? 0 2 2

∴2x=x0,2y=y0

4x 2 ∴ -4y2=1 ?x2-4y2=1 4
点评:利用中间变量法(转移法)是求轨迹问题的重要方法之一。 题型 2:圆锥曲线中最值和范围问题 例 3 .( 1 )设 AB 是过椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中心的弦,椭圆的左焦点为 a 2 b2
) C. ac D. b
2

F1 (?c,0) ,则△ F1AB 的面积最大为(
A. bc B. ab

x2 y2 (2)已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲 a b
线的右支上,且 | PF1 | ? 4| PF2 | ,则此双曲线的离心率的最大值是( A. )

4 3

B.

5 3

C. 2

D.

7 2

(3)已知 A(3,2)、B(-4,0),P 是椭圆 最大值为( )

x2 y2 ? ? 1 上一点,则|PA|+|PB|的 25 9

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A. 10 C. 10 ? 5

B. 10 ? 5 D. 10 ? 2 5

解析:(1)如图,由椭圆对称性知道 O 为 AB 的中点,则△ F1OB 的面积为△ F1AB 面 积的一半。又 | OF1 | ? c ,△ F1OB 边 OF1 上的高为 y B ,而 y B 的最大值是 b,所以△ F1OB 的面积最大值为

1 cb 。所以△ F1AB 的面积最大值为 cb。 2

点评:抓住△ F1AB 中 | OF1 | ? c 为定值,以及椭圆是中心对称图形。 (2)解析:由双曲线的定义, 得: | PF1 |?| PF2 | ? 2a , 又 | PF1 | ? 4| PF2 | ,所以 3| PF2 | ? 2a ,从而 | PF2 | ? 由双曲线的第二定义可得

2 a 3

| PF2 | c ? , 2 a a x? c

所以 x ?

c 5 5a 2 5a 2 ? a ,从而 e ? ? 。故选 B。 。又 x ? a,即 a 3 3c 3c

点评:“点 P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键, 也是不等关系 条件。利用这个结论得出关于 a、c 的不等式,从而得出 e 的取值范围。

5a 2 ? a 成立的 3c

(3)解析:易知 A(3,2)在椭圆内,B(-4,0)是椭圆的左焦点(如图),则右 焦点为 F(4,0)。连 PB,PF。由椭圆的定义知:

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| PB|?| PF | ? 10 ,
所以 | PB| ? 10?| PF| ,所以| PA|?| PB| ?| PA|?10?| PF| ? 10 ? (| PA|?| PF|) 。 由平面几何知识,

|| PA|?| PF || ?| AF | ,即 (| PA|?| PB|) min ? 10?| AF | ,
而 | AF | ?

(3 ? 4) 2 ? (2 ? 0) 2 ? 5 ,

所以 (| PA|?| PB|) min ? 10 ? 5 。 点评:由△ PAF 成立的条件 || PA|?| PF || ?| AF | ,再延伸到特殊情形 P、A、F 共线,从 而得出 || PA|?| PF || ?| AF | 这一关键结论。

例 4. (1)设 P 是椭圆 求 PQ 的最大值。

x2 ? y 2 ? 1? a ? 1? 短轴的一个端点, Q 为椭圆上的一个动点, 2 a

(2) 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆, 它的中心在原点, 左焦点为 F (? 3,0) , 右顶点为 D(2,0) ,设点 A ?1, ? . ①求该椭圆的标准方程; ②若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹 方程; ③过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C ,求 ?ABC 面积的最大值。 (3)已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的 四边形为正方形,两准线间的距离为 l。 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点,当 ΔAOB 面积取得最大值时,求直 线 l 的方程。 解析:(1)依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|= x2+(y-1)2 ,又因为 Q 在椭圆上, 所以,x2=a2(1-y2), |PQ|2= a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2,

? 1? ? 2?

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=(1-a2)(y-

1 1 )2- +1+a2 。 1-a2 1-a2

a2 a2-1 1 1 因为|y|≤1,a>1, 若 a≥ 2, 则| , 2|≤1, 当 y= 2时, |PQ|取最大值 1-a 1-a a2-1 若 1<a< 2,则当 y=-1 时, |PQ|取最大值 2。 (2)①由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1,

又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1。 4

②设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0), x=

x0 ? 1 2
由 y= 得

x0= 2x-1 y0= 2y-

1 y0 ? 2 2

1 2

(2 x ? 1) 2 1 ? (2 y ? ) 2 ? 1 , 由,点 P 在椭圆上,得 4 2
∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? 4( y ? ) ? 1 。
2 2

1 2

1 4

③当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ ABC 的面积 S△ ABC=1。 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入

x2 ? y2 ? 1, 4
),

解得 B(

2 4k 2 ? 1

,

2k 4k 2 ? 1
2

),C(-

2 4k 2 ? 1

,-

2k 4k 2 ? 1

则 BC ? 4

1? k

k?
,又点 A 到直线 BC 的距离 d=

1 2

1 ? 4k 2

1? k 2



∴△ABC 的面积 S△ ABC=

2k ? 1 1 AB ? d ? 。 2 1 ? 4k 2

于是 S△ ABC=

4k 2 ? 4k ? 1 4k 。 ? 1? 2 2 4k ? 1 4k ? 1
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4k 1 ≥-1,得 S△ ABC≤ 2 ,其中,当 k=- 时,等号成立。 2 2 4k ? 1

∴S△ ABC 的最大值是 2 。 (3)解:设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? c) a 2 b2

?b ? c ?a 2 ? 2 ? 2 ? 2 x2 ? 2a ?4 ? ?b ? 1 ∴所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1。 (Ⅰ)由已知得 ? 2 ? c ?c 2 ? 1 2 2 2 ? ? ?a ? b ? c
(Ⅱ)解法一:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为

y ? kx ? 2, A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
? y ? kx ? 2 ? 2 2 由 ? x2 ,消去 y 得关于 x 的方程: (1 ? 2k ) x ? 8kx ? 6 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2
2 2 由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,? ? 0 ? 64k ? 24(1 ? 2k ) ? 0 ,解得 k ?
2

3 。 2

8k ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 又由韦达定理得 ? , 6 ?x ? x ? 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
?| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
原点 O 到直线 l 的距离 d ?

1? k 2 16k 2 ? 24 。 2 1 ? 2k

2 1? k 2



S

AOB

?

1 16k 2 ? 24 2 2 2k 2 ? 3 . | AB | ?d ? ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

16k 2 ? 24 解法 1:对 S ? 两边平方整理得: 1 ? 2k 2

4S 2k 4 ? 4(S 2 ? 4)k 2 ? S 2 ? 24 ? 0 (*),

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? ?16( S 2 ? 4) 2 ? 4 ? 4 S 2 ( S 2 ? 24) ? 0, ? 1 ?4 ? S2 2 ?0 ∵S ? 0,? ,整理得: S ? 。 2 2 ? S 2 ? S ? 24 ?0 ? ? 4S 2
又 S ? 0 , ?0 ? S ?

2 ,从而 S 2
4 2

AOB

的最大值为 S ?

2 , 2 14 。 2

此时代入方程(*)得 4k ? 28k ? 49 ? 0 ,? k ? ? 所以,所求直线方程为: ? 14x ? 2 y ? 4 ? 0 。 解法 2:令 m ?

2k 2 ? 3(m ? 0) ,则 2k 2 ? m2 ? 3 。

?S ?

2 2m 2 2 2 ? ? 2 m ?4 m? 4 2 m
4 2 14 即 m ? 2 时, S max ? ,此时 k ? ? 。 m 2 2

当且仅当 m ?

所以,所求直线方程为 ? 14 ? 2 y ? 4 ? 0 解法二:由题意知直线 l 的斜率存在且不为零。 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则直线 l 与 x 轴的交点 D ( ?

2 , 0) , k

8k ? x1 ? x2 ? ? ? 3 ? 1 ? 2k 2 2 由解法一知 k ? 且 ? , 6 2 ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ?
解法 1: S
AOB

?

1 1 2 | OD | ? | y1 ? y2 |? | | ? | kx1 ? 2 ? kx2 ? 2 | 2 2 k
= | x1 ? x2 |

? ( x 2 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x2

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?

16k 2 ? 24 1 ? 2k 2 2 2 2k 2 ? 3 . 1 ? 2k 2

?
下同解法一. 解法 2: S

AOB

?S

POB ? S

POA

1 2 2 2k 2 ? 3 ? ? 2? || x2 | ? | x1 || ?| x2 ? x1 | 。 2 1 ? 2k 2

下同解法一。 点评:文科 06 年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题,主要是三角形的面积、弦长问 题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。 题型 3:证明问题和对称问题

例 5.(1)如图,椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0)与 a2 b

过点 A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T,且 椭圆的离心率 e=

3 . 2

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设 F 1 、 F 2 分别为椭圆的左、 右焦点, M 为线段 AF 1 的中点, 求证: ∠ATM=∠AF 1 T。

(2)设 A, B 分别为椭圆 距,且 x ? 4 为它的右准线。 (Ⅰ)、求椭圆的方程;

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦 a 2 b2

(Ⅱ) 、设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线 AP, BP 分别与椭圆相 交于异于 A, B 的点 M 、N ,证明点 B 在以 MN 为直径的圆内。 (3)在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y =2 x 相交于 A、B 两点。 ①求证:“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题;
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?? ? ?? ?

2

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②写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. 解析:(1)(I)过点 A 、 B 的直线方程为

x ? y ? 1. 2

? x2 y2 ? ?1 ? ?a2 b2 因为由题意得 ? 有惟一解, ?y ? ? 1 x ?1 ? 2 ?
即 (b ?
2

1 2 2 a ) x ? a 2 x 2 ? a 2 ? a 2b 2 ? 0 有惟一解, 4
( ab ? 0 ),故 a ? 4b ? 4 ? 0.
2 2

所以 ? ? a2b2 (a2 ? 4b2 ? 4) ? 0

3 又因为 e ? ,即 2
故所求的椭圆方程为

a 2 ? b2 3 ? , 所以 a2 4 x2 ? 2 y 2 ? 1. 2

a 2 ? 4b 2 . 从而得

a 2 ? 2, b 2 ?

1 , 2

(II)由(I)得

c?

6 6 6 6 , 0), F2 ( , 0), 从而 M (1 ? , 0). , 故 F1 (? 2 2 4 2

? x2 ? 2y2 ? 1 ? 1 ?2 由? ,解得 x1 ? x2 ? 1, 所以 T (1, ). 2 ?y ? ? 1 x ?1 ? 2 ?
因为 tan ?AFT 1 ?

1 2 6 , ? 1, 又 tan ?TAM ? , tan ?TMF2 ? 2 2 6

2 1 ? 6 2 6 得 tan ?ATM ? ? ? 1, 因此 ?ATM ? ?AFT 1 . 1 2 1? 6
点评:本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质,同时考察解析几何的基 本思想方法和综合解题能力。

(2)(Ⅰ)依题意得 a=2c,

a2 =4,解得 a=2,c=1,从而 b= 3 . c

x2 y2 ? ? 1. 故椭圆的方程为 4 3
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(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)得 A(-2,0),B(2,0).设 M(x0,y0). ∵M 点在椭圆上, ∴y0= (4-x02) . 1 ○ 又点 M 异于顶点 A、 B, ∴-2<x0<2, 由 P、A、M 三点共线可以得
-4

3 4

2

M

1

A -2

2

B

4

-1

P(4,

6 y0 ). x0 ? 2

N
-2

-3

从而 BM =(x0-2,y0),

BP =(2,

6 y0 ). x0 ? 2
2

6 y0 2 ∴ BM · = (x02-4+3y02). BP =2x0-4+ x0 ? 2 x 0 ? 2
将○ 1 代入○ 2 ,化简得 BM · BP =

2 ○

5 (2-x0). 2

∵2-x0>0,∴ BM · BP >0,则∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角, 故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 2:由(Ⅰ)得 A(-2,0),B(2,0).设 M(x1,y1),N(x2,y2),

则-2<x1<2,-2<x2<2,又 MN 的中点 Q 的坐标为(

x1 ? x 2 y ? y2 , 1 ), 2 2

依题意,计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差

BQ -

2

x ? x2 y ? y2 2 1 1 2 MN =( 1 -2)2+( 1 ) - [(x1-x2)2+(y1-y2)2] 4 4 2 2
=(x1-2) (x2-2)+y1y1 3 ○

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又直线 AP 的方程为 y=

y1 y ( x ? 2) ,直线 BP 的方程为 y= 2 ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x=4 上,



6 y1 6 y2 ( 3 x2 ? 2) y1 ,即 y2= ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2
2 2

4 ○

x y 3 2 2 又点 M 在椭圆上,则 1 ? 1 ? 1 ,即 y1 ? (4 ? x1 ) 4 4 3
于是将○ 4 、○ 5 代入○ 3 ,化简后可得 BQ - 从而,点 B 在以 MN 为直径的圆内。
2

5 ○

1 5 2 MN = (2-x1 )( x 2 ? 2) ? 0 . 4 4

点评:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学 知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。 (3)证明:①设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x12,y2). 当直线 l 的钭率下存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于 A(3, 6 )、 B(3,- 6 ),∴ OA ? OB =3。 当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-3),其中 k≠0. y2=2x 当 y=k(x -3) 得 ky2-2y-6k=0,则 y1y2=-6.

1 2 1 2 y 1 , x2= y 2 , 2 2 1 2 ∴ OA ? OB =x1x2+y1y2= ( y1 y 2 ) ? y1 y 2 =3. 4
又∵x1= 综上所述, 命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题. ②逆命题是:设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果 OA ? OB =3,那么该直线过点 T(3,0).该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B( 直线 AB 的方程为 Y=

1 ,1),此时 OA ? OB =3, 2

2 (X+1),而 T(3,0)不在直线 AB 上. 3
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点评:由抛物线 y2=2x 上的点 A(x1,y1)、B(x12,y2)满足 OA ? OB =3,可得 y1y2=-6。或 y1y2=2, 如果 y1y2=-6, 可证得直线 AB 过点(3,0); 如果 y1y2=2, 可证得直线 AB 过点(-1,0), 而不过点(3,0)。 例 6.(1)椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且 a 2 b2

4 14 PF1 ? F1 F2 ,| PF1 |? ,| PF2 |? . 3 3
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心,交椭圆 C 于 A, B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程。 (2)已知三点 P(5,2)、 F1 (-6,0)、 F2 (6,0)。 (Ⅰ)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为 焦点且过点 P? 的双曲线的标准方程。 解析:(1)解法一: (Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上, 所以 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 6, a=3. 在 Rt△ PF1F2 中, F1 F2 ? O

PF2 ? PF1

2

2

? 2 5, 故
x2 y2 ? =1。 9 4

椭圆的半焦距 c= 5 ,从而 b2=a2-c2=4,所以椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)。

已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称.

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所以

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 2 4 ? 9k 2
8 , 9
8 ( x ? 2) ? 1, 9

解得 k ?

所以直线 l 的方程为 y ? 即 8x-9y+25=0.

(经检验,所求直线方程符合题意) 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且

x1 y ? 1 ? 1, ① 9 4 x2 y ? 2 ? 1, ② 9 4
由①-②得:
2 2

2

2

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. 9 4



因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+ x2=-4,y1+ y2=2。 代入③得

y1 ? y 2 8 8 8 = ,即直线 l 的斜率为 ,所以直线 l 的方程为 y-1= (x+2), 9 9 9 x1 ? x2

即 8x-9y+25=0。 (经检验,所求直线方程符合题意.)

x2 y 2 ( 2 ) ① 由 题 意 可 设 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0), 其 半 焦 距 a b
c=6, 2a ? PF1 ? PF2 ? 11 ? 2 ? 1 ? 2 ? 6 5 ∴ a ? 3 5 ,b2=a2-c2=9。
2 2 2 2

所以所求椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 45 9
, ,

②点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P (2,5)、F1 (0,-6)、 F2 (0,6)。


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设所求双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a1 ? 0, b1 ? 0) 。 a12 b12
112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 4 5 。

由题意知,半焦距 c1=6, 2a1 ? P?F1? ? P?F2? ?

a1 ? 2 5 ,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ?1。 20 16

点评:本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基 本运算能力。 题型 4:知识交汇题 例 7 .已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的两个动
2

点, O 是坐标原点,向量 OA , OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB .设圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
(I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径; (II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为 解析:(I)证明 1:
2 2

2 5 时,求 p 的值。 5

OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB)2 ? (OA ? OB) 2
2 2

OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0
设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA ? MB ? 0 即 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 整理得: x ? y ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
2 2

故线段 AB 是圆 C 的直径 证明 2:
2

OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB)2 ? (OA ? OB) 2
2 2 2

OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

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? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……..(1)
设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则 即

y ? y2 y ? y1 ? ? ?1( x ? x1 , x ? x2 ) x ? x2 x ? x1

去分母得: ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 点 ( x1 , y1 ),( x1 , y2 ),( x2 , y1 )( x2 , y2 ) 满足上方程,展开并将(1)代入得:

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
故线段 AB 是圆 C 的直径 证明 3:
2

OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB)2 ? (OA ? OB) 2
2 2 2

OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……(1)
以线段 AB 为直径的圆的方程为

(x ?

x1 ? x2 2 y ? y2 2 1 ) ? (y ? 1 ) ? [( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ] 2 2 4

展开并将(1)代入得:

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
故线段 AB 是圆 C 的直径 (II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? y ? y ? 1 ? y2 ? ? 2

y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)
y12 y2 2 ? x1 x2 ? 4 p2
又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

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? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
?? y1 ? y2 ? y12 y2 2 4 p2

x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2
x? x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p

所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2 设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

1 2 ( y ? 2 p2 ) ? 2 y | | x ? 2y | | y 2 ? 2 py ? 2 p 2 | p d? ? ? 5 5 5p |

?

| ( y ? p) 2 ? p 2 | 5p
p p 2 5 ,由题设得 ? 5 5 5

当 y=p 时,d 有最小值

?p ? 2.
解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? y ? y ? 1 ? y2 ? ? 2

y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)
y12 y2 2 ? x1 x2 ? 4 p2
又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

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? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
?? y1 ? y2 ? y12 y2 2 4 p2

x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2
x? x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p

所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2

设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为

2 5 ,则 5

m ? ?2
因为 x-2y+2=0 与 y 2 ? px ? 2 p 2 无公共点, 所以当 x-2y-2=0 与 y ? px ? 2 p 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为
2 2

2 5 5
? x ? 2 y ? 2 ? 0 (2) ? 2 2 (3) ? y ? px ? 2 p
将(2)代入(3)得 y ? 2 py ? 2 p ? 2 p ? 0
2 2

?? ? 4 p2 ? 4(2 p2 ? 2 p) ? 0
p?0 ? p ? 2.
解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
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圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

x1 ? x2 ? ( y1 ? y2 ) | 2 d? 5 |

y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)
? x1 x2 ? y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
?? y1 ? y2 ? y12 y2 2 4 p2

x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2
1 ( y12 ? y2 2 ) ? ( y1 ? y2 ) | | y 2 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? 4 p( y1 ? y2 ) ? 8 p 2 | 4p ?d ? ? 1 5 4 5p |

?

( y1 ? y2 ? 2 p)2 ? 4 p 2 4 5p
p p 2 5 ,由题设得 ? 5 5 5

当 y1 ? y2 ? 2 p 时,d 有最小值

?p ? 2.
点评:本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基 础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。 例 8.如图,对每个正整数 n , An ( xn , yn ) 是抛 物线 x ? 4 y 上的点,过焦点 F 的直线 FAn 角抛物线
2

于另一点 Bn (sn , tn ) 。 (Ⅰ)试证: xn sn ? ?4(n ? 1) ;

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(Ⅱ)取 xn ? 2n ,并记 Cn 为抛物线上分别以 An 与 Bn 为切点的两条切线的交点。 试证: FC1 ? FC2 ?

? FCn ? 2n ? 2?n?1 ?1 ;

证明:(Ⅰ)对任意固定的 n ? 1, 因为焦点 F(0,1), 所以可设直线 An Bn 的方程为 y ?1 ? kn x, 将它与抛物线方程 x2 ? 4 y 联立得: x2 ? 4kn x ? 4 ? 0 , 由一元二次方程根与系数的关系得 xn sn ? ?4(n ? 1) . (Ⅱ)对任意固定的 n ? 1, 利用导数知识易得抛物线 x ? 4 y 在 An 处的切线的斜率
2

k An ?

xn x , 故 x2 ? 4 y 在 An 处的切线的方程为: y ? yn ? n ( x ? xn ) ,……① 2 2 s 2 类似地,可求得 x ? 4 y 在 Bn 处的切线的方程为: y ? tn ? n ( x ? sn ) ,……② 2
由②-①得: yn ? tn ? ?

xn ? sn x 2 ? s 2 x2 s2 x? n n ? n ? n , 2 2 4 4

2 2 xn ? sn xn ? sn x ?s x? ,? x ? n n ……③ 2 4 2

将③代入①并注意 xn sn ? ?4 得交点 Cn 的坐标为 ( 由两点间的距离公式得: FCn
2

xn ? sn , ?1) . 2

?(

xn ? sn 2 x2 s2 ) ?4? n ? n ?2 2 4 4

?

2 x xn x 4 2 2 . ? 2 ? 2 ? ( n ? )2 , ? FCn ? n ? 4 xn 2 xn 2 xn

现在 xn ? 2n ,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得:

FC1 ? FC2 ? 1 ? (2 ? 22 ? 2

1 ? FCn ? ( x1 ? x2 ? 2 1 1 ? 2n ) ? 2( ? 2 ? 2 2 ?

? xn ) ? 2(

1 1 ? ? x1 x2

?

1 ) xn

1 ) ? (2n ? 1) ? (2 ? 21?n ) ? 2n ? 2? n ?1 ? 1. n 2

点评:该题是圆锥曲线与数列知识交汇的题目。

五.思维总结
1.注意圆锥曲线的定义在解题中的应用,注意解析几何所研究的问题背景平面几何的

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一些性质; 2.复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容 曲线与方程有两个方面:一是求曲线方程,二是由方程研究曲线的性质.这两方面的问 题在历年高考中年年出现,且常为压轴题.因此复习时要掌握求曲线方程的思路和方法,即 在建立了平面直角坐标系后,根据曲线上点适合的共同条件找出动点 P(x,y)的纵坐标 y 和横坐标 x 之间的关系式,即 f(x,y)=0 为曲线方程,同时还要注意曲线上点具有条件, 确定 x,y 的范围,这就是通常说的函数法,它是解析几何的核心,应培养善于运用坐标法 解题的能力,求曲线的常用方法有两类:一类是曲线形状明确且便于用标准形式,这时用待 定系数法求其方程;另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示,一般可用直接法、 间接代点法、 参数法等求方程。 二要引导如何将解析几何的位置关系转化的代数数量关系进 而转化为坐标关系,由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决,要 加强等价转化思想的训练。 3.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程 ①方程思想, 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线, 因此把直线与 圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,就简化解题运算量。 ②用好函数思想方法 对于圆锥曲线上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而使 一些线的长度及 a,b,c,e 之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效。 ③掌握坐标法 坐标法是解析几何的基本方法,因此要加强坐标法的训练。 ④对称思想 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质, 可使分散的条件相对集中, 减少一些变量和未知量, 简化计算,提高解题速度,促成问题的解决。 ⑤参数思想 参数思想是辩证思维在数学中的反映,一旦引入参数,用参数来划分运动变化状态,利 用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或(x0、y0)即可将参量视为常量,以相对静 止来控制变化,变与不变的转化,可在解题过程中将其消去,起到“设而不求”的效果。 ⑥转化思想 解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系, 直角坐标方程与参数方程, 极

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坐标之间联系及转化,利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化,可达到优化解题的目的。 除上述常用数学思想外,数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思 想方法,复习也应给予足够的重视。

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