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【全国百强校】湖北省襄阳市第五中学2016届高三5月高考模拟适应性考试(一)数学(理)试题

时间:2016-09-21

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 襄阳五中理科数学 5 月模拟考试(一)
考试时间:2016 年 5 月 10 日下午 15:00-17:00

★能拿不丢,颗粒归仓 ★
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.定义集合 A ? B ?

?x | x ? A且x ? B? ,若集合 M ? ?1,2,3,4,5?, 集合 N ? ?x x ? 2k ? 1, k ? Z ? ,则集合
) C .4 D.8 个 )

M ? N 的子集个数为( A. 2 B.3

m?i 2.若 z ? ( m ? R, i 为虚数单位)在复平面上的点不可能是位于( 1? i

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.若函数 f ( x) ? (k ? 1)a x ? a? x (a ? 0 , 在 上既是奇函数, 又是减函数, 则 g ( x) ? log a ( x ? k ) 的图象 且a ? 1) R 是 ( ) y y y y

2 1 O

x

2

1O

x

O

2 3

x

O

2 3

x

A. B. C. D. 4.《九章算术》卷 5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二 千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一” .这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周 自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为:V=

由此可推得圆周率 ? 的取值为( ) A.3 B.3.14 C.3.2 D.3.12 5.以下四个命题: ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行 某项指标检测,这样的抽样是分层抽样; ②两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1; ③某项测量结果 ? 服从正态分布 N (1,? 2 ) , P (? ? 5) ? 0.81 ,则 P (? ? ?3) ? 0.19 ; ④对于两个分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 2 的观测值 k 来说, k 越小, 判断“X 与 Y 有关系”的把握程度越大; ⑤若随机变量 X~B(4,

1 × (底面的圆周长的平方× 高).则 12

27 1 ) ,且随机变量 y 满足 y ? 3x ? 1 ,则随机变量 y 的标准差为 ; 4 4

⑥三段论推理“Ⅰ矩形是平行四边形;Ⅱ正方形是矩形;Ⅲ正方形是平行四边形”中的小前提是Ⅱ 以上命题中其中真命题的个数有几项( ) A.5 B.4 C.3 D.2

?sin( x ? a), x ? 0 是偶函数,则下列结论可能成立的是 ( ) ?cos( x ? b), x ? 0 ? ? 5? 2? ? ? 2? ? ,b ? ,b ? A. a ? , b ? ? B. a ? , b ? C. a ? D. a ? 3 6 6 3 4 4 3 6
6.已知函数 f ( x) ? ? 7.根据历年统计资料, 我国东部沿海某地区 60 岁以上的老年人占 20%, 在一个人是 60 周岁以上的条件下, 其患高血压的概率为 45%,则该地区一个人既是 60 周岁以上又患高血压的概率是( )
第 1 页(共 20 页) (共 20 页) 第2页

8.等比数列 an ? 中, a1 ? 2, a8 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? a8 ) ,则 f '(0) =(
6
9 12 15

A. 45%

?

B. 25%

C. 15%

D. 9%

)

A.2 B. 2 C. 2 D. 2 9.一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形.若该几何 体的体积为 V ,并且可以用 n 个这样的几何体拼成一个棱长为 4 的正方体,则 V , n 的值是( ) A. V ? 32, n ? 2 C. B. V ?

64 ,n ? 3 3

32 , n ? 6 D. V ? 16, n ? 4 3 10.已知点 P 在直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 上,点 Q 在 V?
x ? 3 y ? 6 ? 0 上,线段 PQ 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,且 y0 ? x0 ? 2 ,则
A. ? ? , 0 ?

直线

y0 的取值范围是( x0



1? ? 1 ? ? 1 ? ? C. ? ? , ?? ? D. ? ??, ? ? ? ? 0, ?? ? 3? ? 3 ? ? 3 ? ? 11.已知点 C 为线段 AB 上一点, P 为直线 AB 外一点,PC 是 ?APB 角的平分线, I 为 PC 上一点,满 ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BI ? BA AC AP ? 的值为( 足 BI ? BA ? ? ( ) ? )( ? ? 0) , | PA | ? | PB |? 4 , | PA ? PB |? 10 ,则 ??? | BA | | AC | | AP | 3 9 A. B. 3 C. D. 6 2 2 12. ?ABC 中,角 A、B、 ) C 所对的边分别为 a、b、 c ,下列命题正确的有几项 ( 1 ①若 ?ABC 最小内角为 ? ,则 cos ? ? ; ②若 A sin B ? B sin A ,则 B ? A ; 2 ③存在某钝角 ?ABC ,有 tan A ? tan B ? tan C ? 0 ;④若 2a BC ? bCA ? c AB ? 0 ,则 ?ABC 的最小角
B. ? ? , 0 ? 小于 A.5

? 1 ? 3

? ?

? ; ⑤若 a ? tb?0 ? t ? 1? ,则 A ? tB . 6
B.4 C.3

D.2

第 3 页(共 20 页) (共 20 页)

第4页

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填写在答题卡相对应位置上。 13. 在 ?ABC 中, BC=8, sin B ? sin C ?

1 sin A. , D 点是边 BC 的中点, 则 ?ADC 的取值范围为_________ 2

14.我们在学习立体几何推导球的体积公式时,用到了祖日恒原理:即两 个等高的几何体,被等高的截面所截,若所截得的面积总相等,那么这两 个几何体的体积相等。 类比此方法: 求双曲线 与 x 轴,直线 y ? h (h ? 0) 及渐近线 y ?

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) , a2 b2

b x 所围成的阴影部分(如图) a

绕 y 轴旋转一周所得的几何体的体积________ 15.襄阳五中是一所有着百年历史的名校,每年都会有大量学校来襄阳五中参观学习,图 1 是某月来我校 参观学习的外校人数统计茎叶图,第 1 次到第 14 次参观学习人数依次记为 A1、A2、…、A14,图 2 是统计 茎叶图中人数在一定范围内的一个算法流程图,那么算法流程图输出的结果是_____.

6 7 8 9 10 11 12

6 8 7 5 6 8 1

7 3 1 0 9 7 9 图1

16. 设 ? An (an , bn )? 为平面上的点列,其中数列 ?an ?、 ?bn ? 满足 an?1 ? 2 ?

( 1,2) 知 A1 的坐标为 ;则确定 A1、A2、A3 所在圆 C 的标准方程为 _________, 数列 ?an ? 的通项公式为
________

3an 3b ,bn ?1 ? ? 2 n 2 已 2 an ? bn an ? bn
2

第 5 页(共 20 页) (共 20 页)

第6页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。把过程答案填写在答题卡相对应位置上。 17. 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 2a cos C+c= 2b . (Ⅰ) 求角 A 的大小; (Ⅱ) 若

sin A 3c ? ,求 tanB 的值. sin B a

18.如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,其中,频率分 布直方图的分组区间分别为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),据此解答如下问题.

(1)求全班人数及分数在[80,100]之间的频率; (2)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取 3 份分析学生情况,设抽取的试卷分数在[90,100]的份数 为 X ,求 X 的分布列和数学望期.

19.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, ?BCD ? 135 ,侧面 PAB ? 底面 ABCD , ?BAP ? 90? , AB ? AC ? PA ? 2 , E , F 分别为 BC, AD 的中点,点 M 在线段 PD 上.
?

(Ⅰ)求证: EF ? 平面 PAC ; (Ⅱ)如果 直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 ABCD 所成的角相等,求
PM 的值. PD

20.如图,曲线 ? 由曲线 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和 a 2 b2



线

C2 :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, y ? 0) 组成,其中点 F1 , F2 为曲线 C1 所在圆锥曲线的焦点,点 F3 , F4 为曲线 C2 所在 a 2 b2

圆锥曲线的焦点, (1)若 F2 (2,0), F3 (?6,0) ,求曲线 ? 的方程; (2)如图,作直线 l 平行于曲线 C2 的渐近线,交曲线 C1 于点 A、B,求证:弦 AB 的中点 M 必在曲线 C2 的另一条渐近线上; (3)对于(1)中的曲线 ? ,若直线 l1 过点 F4 交曲线 C1 于点 C、D,求△ CDF1 面积的最大值.
第 7 页(共 20 页) (共 20 页) 第8页

y

F3

F1 O

F2 B

F4

x

A

21.函数 f ( x) ? e x ? ax ? a(a ? R), 其图像与 x 轴交于 A( x1 ,0), B( x2 ,0) 两点,且 x1 ? x2 . (1)求 a 的取值范围; (2)证明: f ' ( x1 x2 ) ? 0 ; ( f ' ( x ) 为 f ( x) 的导函数; )

(3)设点 C 在函数 f ( x) 图像上,且△ ABC 为等腰直角三角形,记

x2 ? 1 (a ? 1 ) (t ? 1) 的值. ? t, 求 x1 ? 1

第 9 页(共 20 页) (共 20 页)

第 10 页

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题 10 分)选修 4-1: 几何证明选讲. 如图所示,已知 PA 与⊙ O 相切, A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B, C 两点,弦 CD // AP , AD, BC 相 交于点 E , F 为 CE 上一点,且 DE ? EF ? EC .
2

(Ⅰ)求证: CE ? EB ? EF ? EP ; (Ⅱ)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长.

第 22 题图

23.(本小题 10 分)选修 4-4: 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 经过点 P?? 1,0? ,其倾斜角为 ? ,以原点 o 为极点,以 x 轴非负半轴为 极轴,与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线 c 的极坐标方程为 (Ⅰ)写出直线 l 的参数方程,若直线 l 与曲线 c 有公共点,求 ? 的取值范围; (Ⅱ)设 M ?x, y ? 为曲线 c 上任意一点,求 x ? y 的取值范围.

? 2 ? 6? cos? ? 1 ? 0 .

24.(本小题 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 3 , g ?x? ? x ?1 ? 2 (Ⅰ)解不等式 | g ?x ? |? 5 ; (Ⅱ)若对任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

第 11 页(共 20 页) 页(共 20 页)

第 12

数学(理)参考答案
题号 答案 1 C
3

2 D

3 A
2

4 A

5 C
15.11

6 B

7 D
2

8 C
2

9 B

10 D

11 B

12 C

13 ( . 2? ,?) 14. a h?

16. (1) (x ?1)? y

? 4 (2) a ? n

4 ?1 1 1 ? ( ) n?1 9

17.

b 4bc= 0 ,所以 c =2 ? 3 . 即 b +c -
2 2

18.

19. (Ⅰ)证明:在平行四边形 ABCD 中,因为 AB ? AC , ?BCD ? 135 , 所以 AB ? AC . 由 E , F 分别为 BC , AD 的中点,得 EF //AB , 所以 EF ? AC .
?

…2 分

侧面 PAB ? 底面 ABCD ,且 ?BAP ? 90 , PA ? 底面 ABCD .又因为 EF ? 底面 ABCD , 所以 PA ? EF . ……4 分 又因为 PA ? AC ? A , PA ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC , PAC ………………6 分 所以 EF ? 平面 . (Ⅱ)解:因为 PA ? 底面 ABCD , AB ? AC ,所以 AP, AB, AC 两两垂直,故以 AB, AC, AP
?

第 13 页(共 20 页) 页(共 20 页)

z P

第 14

PD ???? 所以 M (?2? , 2? , 2 ? 2? ) , ME ? (1 ? 2?,1 ? 2?,2? ? 2) , 易得平面 ABCD 的法向量 m ? (0,0,1) . 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , ??? ? ??? ? ??2 x ? 2 y ? 0, 由 n ? BC ? 0 , n ? PB ? 0 ,得 ? ?2 x ? 2 z ? 0, 令 x ? 1, 得 n ? (1,1,1) . 因为直线 ME 与平面 PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等, ???? ???? ???? ???? 2? | ME ? m | | ME ? n | |, ? ???? 所以 | cos ? ME, m ?|?| cos ? ME, n ?| ,即 ???? , 所以 | 2? ? 2 |?| 3 | ME | ? | m | | ME | ? | n |
PM 3 ? 3 3? 3 3? 3 ……12 分 ,或 ? ? (舍) . 综上所得: ? 2 2 PD 2 ?a 2 ? b 2 ? 36 ? ?a 2 ? 20 ? x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? 。 20.解析: (1) ? 2 则 ? 的方程为 ? ? 1? y ? 0 ? 和 ? ? 2 2 20 16 20 16 ? ? ?a ? b ? 4 ?b ? 16

分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴,如上图建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), P(0,0,2), D(?2,2,0), E(1,1,0) , ??? ? ??? ? ??? ? 所以 PB ? (2,0, ?2) , PD ? (?2, 2, ?2) , BC ? (?2, 2,0) , ???? ? PM ? ? (? ? [0,1]) ,则 PM ? (?2?, 2?, ?2? ) , 设

解得 ? ?

(2)曲线 C2 的渐近线为 y ? ?

b x a

,如图,设直线 l : y ?

b ? x ? m? a

b ? y ? ? x ? m? ? ? a ? 2 x 2 ? 2mx ? ? m2 ? a 2 ? ? 0 则? 2 2 x y ? ? ?1 ? ? a 2 b2
2

? ? ? 2 m ? ? 4 ? 2 ? ? m 2 ? a 2 ? ? 4 ? 2 a 2 ? m 2 ? ? 0 ? ? 2 a ? m ? 2a

又由数形结合知 m ? a ,? a ? m ? 设点 A

2a
? x1 ? x2 ? m ? ,则 ? m2 ? a 2 , ? x1 ? x2 ? 2 ?

? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? x0 , y0 ?

? x0 ?

x1 ? x2 m ? , 2 2

y0 ?

b b b m x 上。 ? x0 ? m ? ? ? ? ? y0 ? ? x0 ,即点 M 在直线 y ? ? b a a a a 2
x2 y2 ? ? 1? y ? 0 ? ,点 F4 20 16

(3)由(1)知,曲线 C1 :

? 6,0? 设 l1 的方程为 x ? ny ? 6 ? n ? 0?

? x2 y 2 ?1 ? ? ? ? 4n2 ? 5? y 2 ? 48ny ? 64 ? 0 ? 20 16 ? x ? ny ? 6 ? 2 ? ? ? 48n ? ? 4 ? 64 ? 4n 2 ? 5 ? 0 ? n 2 ? 1

?

?

设C
2

? x3 , y3? , D ?

x y 4, ? 4

?48n ? y ? y4 ? ? ? 3 4n 2 ? 5 ? 64 ?y ? y ? 3 4 ? 4n 2 ? 5 ?

? y3 ? y 4 ?

? y 3? y ?4

n2 ? 1 ? 4 y ?3y ? ? 2 4 16 5 4n ? 5

S?CDF1 ? S?CF1F4 ? S?DF1F4
令t
2
2

1 1 n2 ? 1 n2 ? 1 ? F1F4 ? y3 ? y4 ? ? 8 ?16 5 ? 2 ? 64 5 ? 2 2 2 4n ? 5 4n ? 5
2

? n ?1 ? 0 ,? n ? t ? 1 ,

? S?CDF1 ? 64 5 ?

t 4t ? 9
2

? 64 5 ?

1 4t ? 9 t
第 16

第 15 页(共 20 页) 页(共 20 页)

? t ? 0 ,? 4t ?

9 ? 12 ,当且仅当 t ? t
1max

3 即n ? 2

13 时等号成立 2

? n ? 13 时,? S?CDF

1 16 5 ? 2 12 3 x x 21.解: (1)∵f(x)=e ﹣ax+a,∴f'(x)=e ﹣a, 若 a≤0,则 f'(x)>0,则函数 f(x)是单调增函数,这与题设矛盾. ∴a>0,令 f'(x)=0,则 x=lna,当 f'(x)<0 时,x<lna,f(x)单调减, 当 f'(x)>0 时,x>lna,f(x)是单调增函数,于是当 x=lna 时,f(x)取得极小值, x ∵函数 f(x)=e ﹣ax+a(a∈R)的图象与 x 轴交于两点 A(x1,0) ,B(x2,0) (x1<x2) ,∴f(lna)=a(2 2 3 3 2 ﹣lna)<0,即 a>e ,此时,存在 1<lna,f(1)=e>0,存在 3lna>lna,f(3lna)=a ﹣3alna+a>a ﹣3a +a 2 >0,又由 f(x)在(﹣∞,lna)及(lna,+∞)上的单调性及曲线在 R 上不间断,可知 a>e 为所求取值范围. ? 64 5 ?
(2)∵ ,∴两式相减得 .记 ,


s
﹣s


s
﹣s

设 g(s)=2s﹣(e ﹣e ) ,则 g'(s)=2﹣(e +e )<0,∴g(s)是单调减函数, 则有 g(s)<g(0)=0,而 又 f'(x)=e ﹣a 是单调增函数,且 (3)依题意有 于是 ,则
x

,∴ ∴

. .

?xi>1(i=1,2) . , 在等腰三角形 ABC 中, 显然 C=90° , ∴ ,∴ ,即 ,

即 y0=f(x0)<0,由直角三角形斜边的中线性质,可知

, ∴ 即 ,

∵x1﹣1≠0,则 ∴ 22.解: (Ⅰ)∵ ∴ 又∵ ∴ 又∵ (Ⅱ)∵
第 17 页(共 20 页)

,又 ,即 , ∽ ,∴ ∽ , ∴ ,∴ , ∴ ,∵ ,∴ ,∴ ……………………2 分 , , ∴



,∴(a﹣1) (t﹣1)=2.

…………4 分 .……………………5 分 ∴
第 18

页(共 20 页)

由(1)可知: ∴ . ∵

,解得 是⊙ 的切线,∴

.…………7 分



,解得
2

.……………10 分

23.解: (1)∵曲线 C 的极坐标方程为 ρ ﹣6ρcosθ+1=0, 2 2 ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x +y ﹣6x+1=0, ∵直线 l 经过点 P(﹣1,0) ,其倾斜角为 α,∴直线 l 的参数方程为 将
2 2 2

, (t 为参数) ,

,代入 x ﹣y ﹣6x﹣1=0,整理,得 t ﹣8tcosα+8=0,………3 分
2

∵直线 l 与曲线 C 有公共点,∴△=64cos α﹣32≥0,即 cosα≥ ∵α∈[0,π) ,∴α 的取值范围是[0,
2 2

,或 cosα≤﹣



]∪[

,π) . ………5 分
2 2

(2)曲线 C 的直角坐标方程 x +y ﹣6x+1=0 可化为(x﹣3) +y =8,其参数方程为 为参数) , ………7 分 cosθ+2 =3+4sin( ) ,

, (θ

∵M(x,y)为曲线 C 上任意一点,∴x+y=3+2

∴x+y 的取值范围是[﹣1,7].………10 分
24.解:(1)由 (2)因为对任意 (3)所以 又 所以 从而 ,都有 ,使得 , , ………10 分 = 成立 ,所以 …5 分

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第 20


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