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2.2.2对数函数及性质---习题课课件_图文

时间:2014-06-12

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? ? ? ? ? ? ? ? ?

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对数与指数的关系

ab ? N , b ? loga N
指数函数与对数函数的关系

由指数函数y ? a x ? x ? log a y, 一般用y表示函数, 用x表示自变量,上式变为y=log a x ? ? ? 对数函数. 指数函数与对数函数从对应的关系理解,是一种 逆对应关系.像这样具有逆对应关系的两个函数 称为互为反函数. 例如:求函数y ? 2 x ? 1的反函数 y 1 解:由y ? 2 x ? 1得x ? ? , x、y互换得 2 2 x 1     y ? ? 为函数y ? 2 x ? 1的反函数. 2 2

指数函数图像与对几何画板.lnk数函数的图像的关系

x
y?2
x

-3

-2

-1

0

1

2

3

1/8

1/4

1/2

1

2

4

8

x

1/4 1/2 1 -1 0

2 1

4 2

8 3

16 4

y ? log2 x -2

f?x? = 2x log?x? g?x? = log?2? h?x? = x

8

6

4

y=f(x)

2

-10

-5

5

10

-2

-4

-6

-8

13、对数函数的图象和性质
a>1 0<a<1

图 象
(1)定义域: (0,+∞)

性 (2)值域: R 质 (3)过点, (1,0) 即x=1时,y=0
(4)在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数

1.对数函数的概念 函数 y=logax(a>0,且a≠1)

叫做对数函数.

2.对数函数的图象和性质. 图在下一页 3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1) y=x 反函数 互为 .它们的图象关于 对称.

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函数 a的取值

y=logax (a>0,a ? 1) 0<a<1 a>1
(0,??)

定义域
值域

R

图象

图象 特征 单调性

在y轴的右侧,过定点(1,0) 当x>0且x→0时,图象趋 当x>0且x→0时,图象趋 近于 y轴正半轴. 近于 y轴负半轴.
在(0,+∞)上是减函数. 在(0,+∞)上是增函数.

y∈(0,+∞) 当0<x<1时, 函数值的 y=0 当 x=1 时, ; 变化规律 y<0. 当 x>1 时,



0<x<1

时,y<0;

当x=1时, y=0 ; 当x>1时, y>0 .

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学点一

比较大小

比较大小: 4 6 log (1) 1 ,log 1 ; 7 2 5
2

( 2) log1 3,
2

; log 1 3
5

log1 0.3, log2 0.8 . ( 3)
3

【分析】从对数函数单调性及图象变化规律入手.

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【解析】(1)∵函数y= log1 x

在(0,+∞)上递减,又∵ 4 ? 6 5 7
4 6 log1 ? log1 ∴ 2 5 2 7

2

,

.

(2)借助y= log1 x 及y= log1 x 的图象,tx 如图所示,在(1,+∞)内,前者在后者的下方, ∴ log1 3 ? log1 3 .
2 5
2 5

log1 0.3 >0, log2 0.8 <0, (3)由对数函数的性质知,

∴ log1 0.3 > log2 0.8 .
3

3

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【评析】比较两个对数值的大小,常用方法: (1)当底数相同,真数不同时,用函数的单调性来比 较; (2)当底数不同而真数相同时,常借助图象比较,也 可用换底公式转化为同底数的对数后比较; (3)当底数与真数都不同时,需寻求中间值比较.

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比较下列各组数中两个值的大小:

(1) log2 3.4,log2 8.5 ;
(2) log0.31.8,log0.3 2.7 ; (3) loga 5.1,loga 5.9 (a>0,且a≠1).

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(1)考查对数函数y=log2x,因为它的底数2>1,所以它在 (0,+∞)上是增函数,于是log23.4<log28.5. (2)考查对数函数y=log0.3x,因为它的底数满足0<0.3<1, 所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8>log0.32.7. (3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小 于1,而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大,因此, 要对底数a进行讨论: 当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,于是 loga5.1<loga5.9; 当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,于是 loga5.1>loga5.9.

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学点二

求定义域

求下列函数的定义域:

y ? log0.5 (4x - 3); (1)
x y ? log (16 4 ). x ?1 (2)

【分析】注意考虑问题要全面,切忌丢三落四. 【解析】(2)由log0.5(4x-3)≥0 4x-3>0得0<4x-3≤1,
3 ∴ 4 <x≤1.
?3 ? ∴函数的定义域是 ? 4 ,1? . ? ?

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(2)由

?

16-4x>0

x+1>0
x+1≠1



?

x<2

x>-1

x≠0.

∴-1<x<0或0<x<2. ∴函数的定义域是(-1,0)∪(0,2). 【评析】求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不等 式(组)并解之,对于含有对数式的函数定义域的求解,必须 同时考虑底数和真数的取值条件,在本例(2)(4)中还用到 指数、对数的单调性.

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求下列函数的定义域: (1) y= log0.8x - 1 ;

2x - 1
(2)y ? log3x -1

2x ? 3 . x ?1

(1)要使函数有意义,必须且只需
x>0 log0.8x-1≥0 即 x>0 x≤0.8

2x-1≠0, x≠ 1 , 1 2 4 ∴0<x≤ 且x≠ . 2 5 ? 1 ? ? 1 4? 因此,函数的定义域是? 0, ? ? ? , ? .

?

?

?

2?

? 2 5?

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(2)要使函数有意义,必须且满足 2x+3>0 x-1>0 3x-1>0 解得 x> ? x>1
1 x> 3 2 x? 3
3 2

?

3x-1? 0

?

因此,函数的定义域为 (1,+∞) .

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学点三

求值域

求下列函数的值域: (1)y ? log1
2

(-x2 - 4x ? 12);

(2) y ? log 1 (x2 - 2x - 3);
2

(3)y=loga(a-ax)(a>1). 【分析】复合函数的值域问题,要先求函数的定义域, 再由单调性求解.

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【解析】(1)∵-x2-4x+12=-(x2+4x)+12

=-(x+2)2+16≤16,
又∵-x2-4x+12>0,
1 ∴y≥log 16= -4. 2 2

∴0<-x2-4x+12≤16. ∴函数的值域为[-4,+∞).

∵y=log 1 x在(0,16]上是减函数, (2)∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,

又∵x2-2x-3>0,且y=log 1 x在(0,+∞)上是减函数,
∴y∈R,
2

∴函数的值域为实数集R.

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(3)令u=a-ax, ∵u>0,a>1,∴ax<a,x<1, ∴y=loga(a-ax)的定义域为{x|x<1}, ∵ax<a,且ax>0,u=a-ax<a,

∴y=loga(a-ax)<logaa=1,
∴函数的值域为{y|y<1}. 【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响, 然后利用函数的单调性求之,当函数中含有参数时,有 时需要讨论参数的取值.

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求值域: (1)y=log2 (x2-4x+6);
1 (2) y ? log 2 2 . - x ? 2x ? 2

(1)∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,又∵y=log2x在(0,+∞)上是增 函数, ∴log2(x2-4x+6)≥log22=1. ∴函数的值域是[1,+∞). (2) ∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3,
1 1 ∴ <0或 - x 2 ? 2x ? 2 ≥ - x 2 ? 2x ? 2

1 1 ∴ log 2 2 ≥ log 2 - x ? 2x ? 2 3? 1 ? ∴函数的值域是 ?log2 3 ,?? ? ? ?

1. 3

,

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学点四

求最值

已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大 值及当y取最大值时x的值. 【分析】要求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,首先要 求函数的解析式,然后求出函数的定义域,最后用换 元法求出函数的值域. 【解析】∵f(x)=2+log3x, ∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2) =log32x+6log3x+6

=(log3x+3)2-3.
∵函数f(x)的定义域为[1,9], ∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有定义,必须

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?

1≤x2≤9
1≤x≤9.

∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1.

令u=log3x,则0≤u≤1.
又∵函数y=(u+3)2-3在[-3,+∞)上是增函数, ∴当u=1时,函数y=(u+3)2-3有最大值13. 即当log3x=1,即x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)有最 大值为13. 【评析】求函数的值域和最值,必须考虑函数的定义 域,同时应注意求值域或最值的常用方法.

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已知x满足不等式-3≤ log1 x ≤
2

1 ? ,求函数f(x)= 2

x x (log 2 ) ? (log 2 ) 4 2

的最大值和最小值.

∵-3≤ log1 x ≤

2 1 ∴ ≤log2x≤3, 2

1 ? ,即 2

2 ≤x≤8,

3 2 1 ∵f(x)=(log2x-2)· (log2x-1)=(log2x- ) - 4 , 2 3

∴当log2x= ,即x=2 2 时,f(x)有最小值又∵当log2x=3,即x=8时,f(x)有最大值2,
1 ∴f(x)min=4

2

1 4

.

,f(x)max=2.

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学点五

求单调区间

求下列函数的单调区间:
2 (1)f(x)= log 1 (-2x ? x ? 6) ; 2

(2)f(x)=log0.1(2x2-5x-3).

【分析】复合函数的单调性,宜分解为两个基本函数后解决. 1 2 49 2 (x ? )+ 【解析】(1)令t=-2x +x+6=-2 . 8 4 3 ∵由-2x2+x+6>0知- <x<2,
∴当x∈ ? - , ?时,随x的增大t的值增大,从而log 1 t的值减 ? 2 4? 2 小;
?1 ? 当x∈ ? 4 ,2 ? 时,随x的增大t的值减小,从而log 1 t的值增大. ? ? 2 1 ? ? ∴函数y=log 1 (-2x2+x+6)的单调增区间是 ? ,2 ?,单调减区 ?4 ? ? 3 1? 2 ? 3 1?

2

间是 ? -

, ? ? 2 4?

.

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(2)先求此函数的定义域,由μ=2x2-5x-3>0得(2x+1)(x1 3)>0,得x< - 或x>3. 2 1 2 ) 易知y=log0.1μ是减函数,μ=2x -5x-3在 (- ? ,- 上为减函 2 数,即x越大,μ越小,∴y=log0.1u越大;在(3,+∞)上函 数μ为增函数,即x越大,μ越大,∴y=log0.1μ越小.
∴原函数的单调增区间为 1 ,单调减区间为 ( ?? ,? ) (3,+∞). 2 【评析】复合函数单调区间的求法应注意三点:一是抓 住变化状态;二是掌握复合函数的单调性规律;三是注 意复合函数的定义域.

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已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域; (2)讨论函数f(x)的单调性. (1)由ax-1>0得ax>1,当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0. ∴当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);

当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).
x1 x2 a ? a (2)当a>1时,设0<x1<x2,则1< ,

x1 x a 故0< -1< a 2-1,

x2 a 即loga(a -1)<loga( -1). ∴f(x1)<f(x2), x1

故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数.

同理,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.

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学点六

求变量范围

已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1). (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围. 【分析】若f(x)的定义域为R,则对一切x∈R,f(x)有意义; 若f(x)值域为R,则f(x)能取到一切实数值. 【解析】(1)要使f(x)的定义域为R,只要使 μ(x)=ax2+2x+1的值恒为正值, ∴

?

a>0

Δ=4-4a<0,

?a ? 1.
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(2)若f(x)的值域为R,则要求μ(x)=ax2+2x+1的值域包 含(0,+∞). 当a<0时,这不可能;当a=0时,μ(x)=2x+1∈R成立;当 a>0时,μ(x)=ax2+2x+1要包含(0,+∞),需

?

a>0 Δ=4-4a≥0

? 0 ? a ? 1.

综上所述,0 ≤a≤1. 【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.

(1)中函数的定义域为R,由判别式小于零确定;
(2)中函数的值域为R,由判别式不小于零确定.

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函数y=logax在x∈[2,+∞)上总有|y|>1,求a的取值范围. 依题意得|logax|>1对一切x∈[2,+∞)都成立, 当a>1时,因为x≥2,所以|y|=logax>1,即logax>log22.所以 1<a<2. 当0<a<1时,|y|=-logax>1,所以logax<-1,即logax<log1 2对 1 2 x≥2恒成立.所以 <a<1. 2 1 综上,可知a的取值范围为a∈( ,1)∪(1,2). 2

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学点七

对数的综合应用

名师伴你行

x ?1 已知函数f(x)= log1 x - 1 . 2

(1)判断f(x)的奇偶性; (2)证明:f(x)在(1,+∞)上是增函数. 【分析】由函数的奇偶性、单调性的证明方法作出证明.
x ?1 【解析】(1)由 x - 1 >0解得f(x)的定义域是(-∞,-

1)∪(1,+∞), - x ?1 x ? 1 - log x ? 1 1 ∵f(-x)= log1 - x - 1 = log1 x ? 1 = = -f(x), 2 x -1 2 2 ∴f(x)是奇函数. x ?1 (2)证明:设x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,u(x)= x -1 2 = 1? ,则 x -1 返回目录

名师伴你行 2 2 u(x1)-u(x2)= 1 ? ? (1 ? ) ? 2( 2 ? 2 ) ? 2(x2 ? x 1 ) x1 - 1 x2 - 1 x 1 - 1 x 2 - 1 (x1 ? 1)(x2 ? 1)

∵x2>x1>1,

∴x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,

∴u(x1)-u(x2)>0,即u(x1)>u(x2)>0,
∵y=log1 u在(0,+∞)上是减函数,
2 1 ∴log 1 u(x )<log u(x2), 1 2 2

即log

1 2

x2 ? 1 x1 ? 1 <log 1 x - 1 x1 ? 1 2 2

,

∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(1,+∞)上是增函数. 【评析】无论什么函数,证明单调性、奇偶性,定义是最 基本、最常用的方法.

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名师伴你行

x ?1 设f(x)=log2 +log2(x-1)+log2(p-x). x -1 (1)求函数f(x)的定义域;

(2)f(x)是否存在最大值或最小值?如果存在,请把 它求出来;如果不存在,请说明理由. (1)由

?

x ?1 >0 x -1 x - 1>0

? x ? (1, p)( p ? 1)

p - x>0

∴当p>1时,函数f(x)的定义域为(1,p)(p>1).

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名师伴你行

? p - 1 ( p ? 1) 2 ? )? (2)因为f(x)= log2 ?- (x ?(1 ? x ? p), 2 4 ? ? p -1 所以当 2 ≤1,即1<p≤3时,f(x)无最大值和最小

值;当1<

(p ? 1)2 值,log2 4

p -1 2

<p,即p>3,x=

p -1 2

时,f(x)取得最大

=2log2(p+1)-2,但无最小值

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学点八

反函数

名师伴你行

已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是( B)

【分析】分a>1,0<a<1两种情况,分别作出两函数的图象, 根据图象判定关系.

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【解析】解法一:首先,曲线y=ax只可能在上半平面, y=loga(-x)只可能在左半平面,从而排除A,C.

名师伴你行

其次,从单调性着手,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反, 又可排除D,故只能选B. 解法二:若0<a<1,则曲线y=ax下降且过点(0,1),而曲线 y=loga(-x)上升且过(-1,0),而选项均不符合这些条件.若a>1, 则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过(1,0),只有B满足条件. 解法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象 为y=logax的图象,因为y=logax与y=ax互为反函数(图象关 于直线y=x对称),则可直接选B. 【评析】本题可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可 利用函数的性质识别图象,特别注意底数a对图象的影响.要 养成从多角度分析问题、解决问题的习惯,培养思维的灵活 性.原函数y=f(x)与其反函数的图象关于y=x对称是其重要性 质.

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名师伴你行

若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点
(2,-1),则a=
1 2

.

反函数的图象过点(2,-1),则f(x)=ax的图象过 (-1,2),得a-1=2,a=
1 2

.

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名师伴你行

1.如何确定对数函数的单调区间?

(1)图象法:此类方法的关键是图象变换.
(2)形如y=logaf(x)的函数的单调区间的确定方法: 首先求满足f(x)>0的x的范围,即求函数的定义域.假设 f(x)在定义域的子区间I1上单调递增,在子区间I2上单 调递减,则 ①当a>1时,原函数与内层函数f(x)的单调区间相同, 即在I1上单调递增,在I2上单调递减. ②当0<a<1时,原函数与内层函数f(x)的单调区间不同, 原函数在I1上单调递减,在I2上单调递增.

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名师伴你行

2.如何学好对数函数? 对数函数与指数函数的学习要对比着进行,如它们 的定义域和值域互换,它们的单调性与底数a的关系 完全一致,指数函数和对数函数的图象分别过点(0,1) 和点(1,0)等,这样有助于理解和把握这两个函数.

3.如何理解反函数?
学习过程中要注意指数函数与对数函数的关系和它们 间的相互转化,掌握反函数的图象关于直线y=x对称, 在解决有关指数函数和对数函数的问题时,要注意数 形结合,注意运用复合函数“同增异减”的单调性原 则,注意分类讨论.

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名师伴你行

1.在指数函数与对数函数中,对底数的要求是一致的, 均是a>0,且a≠1.但指数函数的定义域是R,对数函数的 定义域是(0,+∞).对数函数的图象在y轴的右侧,真数大 于零,这一切必须熟记. 2.反函数

(1)在写指数函数或对数函数的反函数时,注意函数的 定义域且底数必须相同;
(2)互为反函数的两个函数在各自的定义域内单调性相 同;

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名师伴你行

(3)对数函数与指数函数互为反函数,因此,对 数函数图象画法有两种:一是描点法,二是利用 指数函数与对数函数互为函数的关系作图;

(4)互为反函数的两个函数的定义域与值域发生 互换,即原函数的定义域是反函数的值域,原函 数的值域是反函数的定义域; (5)互为反函数的两函数的图象关于直线y=x对 称.

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对数函数及性质---习题课课件_图文.ppt

对数函数及性质---习题课课件_其它_职业教育_教育专区。对数函数及性质---习题课课件 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 学点一学点 学点三 学点四 学点五 学点...

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对数函数及性质---习题课课件 - 进入 13、对数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 (1)定义域: (0,+∞) 性 (2)值域: R 质 (3)过点, (1,0) 即...

...人教版必修1课件:2.2.2 第2课时 对数函数及其性质的....ppt

2016-2017学年高一数学人教版必修1课件:2.2.2 第2课时 对数函数及其性质的应用(习题课)_数学_高中教育_教育专区。第二课时 对数函数及其性质的应用(习题课) 1...

...学案2.2.2 对数函数及其性质的应用(习题课)_图文.ppt

2017年高中数学必修一课堂同步学案2.2.2 对数函数及其性质的应用(习题课)_高一...2.对数函数的定义域值域分别是什么? 3.对数函数的图象与底数 a 之间有什么...

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对数函数及性质---习题课课件 - 进入 3. 对数函数的性质: a>1 0<a<1 y 1 图象 y O x O 1 x 1.定义域:(0, +∞); 2.值域:R 性 x...

高中数学基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数习题课课件新人教....ppt

高中数学基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数习题课课件新人教A版必修一 - 2.2 对数函数习题课对数函数及其性质的应用 学习目标思维脉络 1.理解对数函数的单调性,...