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浙江省温州市十校联合体2014届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

时间:2014-01-28


参考公式: 球的表面积公式 S ? 4?R 2 球的体积公式
4 V ? ? R3 3

柱体体积公式

V ? sh
其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 台体的体积公式 V ?

1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3

锥体体积公式 高

其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的 如果事件 A、B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

V ?

1 Sh 3

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 )
1. i 为虚数单位,若 A. i

a 1? i ? ,则 a 的值为( ▲ ) 1? i i
B. ?i C. ? 2i D. 2i

2.已知全集 U=R,集合 A ? {x 则 (C R A) ? B ? ( ▲ ) A. x x ? 2

y ? 2 x ? x 2 } , B ? { y y ? 2 x , x ? R} ,

?

?

B. x 0 ? x ? 1

?

?

C. {x 1 ? x ? 2}

D. x x ? 0

?

?

3. “ ? ? ? ”是“曲线 y ? sin( 2 x ? ? ) 过坐标原点”的( ▲ ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 A.若 m // ? , n // ? ,则 m // n C.若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? 5.已知锐角 ? 满足 cos 2? ? cos( B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥ ? D.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n

4.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,则下列正确的是( ▲ )

?
4

? ? ) ,则 sin 2? 等于( ▲ )

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

2 2

D. ?

2 2

6.某程序框图如下,当 E ? 0.96 时,则输出的 k ? ( ▲ ) A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 7.称 d (a, b) ?| a ? b | 为两个向量 a, b 间的“距离”. 若向量 a, b 满足: ① | b |? 1 ;

? ?

? ?

? ?

? ?

?

②a ? b;

?

?

③对任意的 t ? R ,恒有 d (a, tb) ? d (a, b) ,则( ▲ ) A. a ? b B. b
2

? ?

? ?

? ( a ? b)

C. a

? (a ? b)

D. (a ? b)

? ( a ? b)

8.已知抛物线 C1 : x ? 2 y 的焦点为 F ,以 F 为圆心的圆 C2 交 C1 于 A, B ,交 C1 的准线 于 C , D ,若四边形 ABCD 是矩形,则圆 C2 的方程为( ▲ ) A. x ? ( y ? ) ? 3
2 2

1 2

B. x ? ( y ? ) ? 4
2 2

1 2

C. x ? ( y ?1) ? 12
2 2

D. x ? ( y ?1) ? 16
2 2

? 2 x3 ?1 ? ? x ? 1 , x ? ? 2 ,1? ?x ? ? ? ? 2a ? 2 ? a ? 0 ? ,若存 9.已知函数 f ( x) ? ? ,函数 g ( x) ? a sin 6 1 1 1 ? ? ?? x ? , x ? 0, ? ? 6 ? 2? ? ? 3
在 x1 , x2 ??0,1? ,使得 f ( x1 ) ? g ? x2 ? 成立,则实数 a 的取值范围是( ▲ ) A. [ ,

1 3 ] 2 4

B. [ ,

3 3 ] 4 2

C. [ ,

2 4 ] 3 3

D. [ ,

1 4 ] 2 3

10.已知直线

x y ? ? 1 ( a, b 是非零常数)与圆 x2 ? y 2 ? 100 有公共点,且公共点的横 a b

坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( ▲ ) A.52 条 B.60 条 C.66 条 D.78 条

第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)
11.在 ( x ?

a
3

x

) 8 的二项展开式中,常数项为 28,
▲ ;

则实数 a 的值是

12. 某几何体的三视图(单位:cm)如图,则这个几何体的体积

为 ▲ cm ; x2 y 2 13.过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a, b ? 0) 的左焦点 F 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的两条切线,记切点分别 a b 为 A、B ,双曲线的左顶点为 C ,若 ?ACB ? 120 ,则双曲线的离心率 e ?
?

3





14. 在锐角 ?ABC 中, BC=1, B=2A, 则

AC 的值等于 ▲ ; 边长 AC 的取值范围为 ▲ ; cos A

15. 一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球,假设每一个球被摸到的可能性是相等的.从袋子中 摸出 2 个球,其中白球的个数为 ? ,则 ? 的数学期望是 ▲ ; 16. 在平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 上恒有 ax ? 2by ? 2 , 则动点 P (a, b) 所形成平面区域 的面积为 ▲ ;

?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 17.已知 ?ABC 中, AB ? AC , | AB ? AC |? 2 ,点 M 是线段 BC (含端点)上的一点,

???? ? ??? ? ??? ? ???? ? 且 AM ? ( AB ? AC) ? 1,则 | AM | 的取值范围是 ▲ ;

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分)
18. (本题满分 14 分) 在锐角△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c , b ? cosC ? (2a ? c) ? cos B . (Ⅰ)求角 B 的大小; 19.(本题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx 的图像过点 (?4n, 0) ,且 f '(0) ? 2n , n ? N ? , 数列 {an } 满 足 (Ⅱ)求 sin A ? sin C 的取值范围.

1 1 ? f / ( ) ,且 a1 ? 4 , an?1 an

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 (Ⅱ)记 bn ? an an?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 20.(本题满分 14 分) 如图,在梯形 ABCD 中, AB / / CD , ?ABC ? 60? , AD ? CD ? CB ? a , 平面 ACFE ? 平面 ABCD ,四边形 ACFE 是矩形, AE ? a . (Ⅰ)求证: BC ? 平面ACFE ; (Ⅱ)求二面角 B ? EF ? D 的余弦值.

21.(本题满分 15 分) 如图,椭圆 C1 :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率为 , x 轴被曲线 C2 : y ? x2 ? b 截得的 2 a b 2

线段长等于椭圆 C1 的短轴长。 C2 与 y 轴的交点为 M ,过点 M 的两条互相垂直的直线

l1 , l 2 分别交抛物线于 A、 B 两点,交椭圆于 D、E 两点,
(Ⅰ)求 C1 、 C2 的方程; (Ⅱ)记 ?MAB, ?MDE 的面积分别为 S1、S2 ,若 求直线 AB 的方程。

S1 5 ? , S2 8

2013 学年第一学期十校联合体高三期末联考 理科数学 参考答案
(完卷时间:120 分钟; 一、选择题 一、 满分:150 分)

题号 答案

1 C

2 A

3 A

4 D

5 A

6 C

7 B

8 B

9 D

10 B

18. (本题 14 分) (Ⅰ)? b ? cosC ? (2a ? c) ? cos B ,

? sin B cos C ? 2 sin A cos B ? sin C cos B ………………………………3 分

? sin(B ? C ) ? 2 sin A cos B
? sin A ? 2 sin A cos B 1 ? ? cos B ? ?B ? 3 2
(Ⅱ)

………………………………5 分

………………………………7 分

sin A ? sin C ? sin A ? sin(? ?

?
3

? A) ? sin A ? sin(

2? 3 1 ? A) ? sin A ? cos A ? sin A 3 2 2

?

3 3 ? sin A ? cos A ? 3 sin( A ? ) ……………………………10 分 2 2 6

由 △ ABC 为锐角三角形知, 所以

0? A?

?
2

,A? B ?

?
2

, 2 sin A ? sin C

?
6

? A?

?
2

,即

?
3

? A?

?
6

?

2? . ……………………………12 分 3

所以

3 ? ? sin( A ? ) ? 1 . 2 6

3 ? ? 3 sin( A ? ) ? 3 , 2 6 3 所以 sin A ? sin C 的取值范围为 ( , 2
由此有

3 ] . ……………………………14 分

(Ⅱ) bn ? an an ?1 ?

4 1 1 ? 2( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

……………11 分

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1
1 1 1 1 1 ? 2 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? ) 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2(1 ? 1 ) 2n ? 1
……………14 分

?

20.( 满 分 14 分 ) 解 :( Ⅰ ) 在 梯 形 ABCD 中 , AB / / CD , ∵ ?ABC ? 60? ,

AD ? CD ? CB ? a ,
∴四边形 ABCD 是等腰梯形, …………2 分

且 ?DCA ? ?DAC ? 30?, ?DCB ? 120?, ∴ ?ACB ? ?DCB ? ?DCA ? 90? ,∴ AC ? BC. …………4 分

又∵平面 ACFE ? 平面 ABCD,交线为 AC, ∴ BC ? 平面 ACFE. …………6 分

(Ⅱ)取 EF 中点 G,EB 中点 H,连结 DG、GH、DH, ∵容易证得 DE=DF,∴ DG ? EF . ∵ BC ? 平面 ACFE,∴ BC ? EF . 又∵ GH // BF ,∴ EF ? GH . ∴ ?DGH 是二面角 B—EF—D 的平面角. 在△BDE 中 DE ? 2a, DB ? 3a, BE ?
2 2 2 ∴ BE ? DE ? DB ∴ ?EDB ? 90? ,

…………8 分 又∵ EF ? FC ,∴ EF ? FB.

…………10 分

AE 2 ? AB 2 ? 5a.



DH ?

5 5 2 a. DG ? a, GH ? a. 2 又 2 2

…………12 分

∴在△DGH 中, 由余弦定理得
cos ?DGH ? 10 , 10 即二面角 B—EF—D 的平面角余弦值为

10 10

…………14 分

(注:若用空间向量解答,则酌情给分。 ) 21.( 满 分 15 分 ) 解(Ⅰ)

c 2 ? ? a 2 ? 2b 2 a 2
又 2 b ? 2b ,得 b ? 1

……………………1 分 …………………2 分 ………………4 分

? C2 : y ? x 2 ? 1, C1 :

x2 ? y2 ? 1 2

(Ⅱ)设直线 MA : y ? k1x ? 1; MB : y ? k 2x ? 1, k 1k 2 ? ?1

? x ? k1 ? y ? k1 x ? 1 ?x ? 0 ? , 解得 ? 或? ? A(k1 , k12 ? 1) ,同理可得 B(k2 , k22 ? 1) ……… ? 2 2 y ? ? 1 y ? k ? 1 y ? x ? 1 ? ? ? 1 ?
7分

S1 ?

1 1 2 MA MB ? 1 ? k12 1 ? k2 k1 k2 2 2

……………………………8 分

4k1 ? x? ? y ? k1 x ? 1 2 ? ?x ? 0 4k1 2k12 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2k1 , 解得 或 ? D ( , ) ?x ? ? 2 2 1 ? 2k12 1 ? 2k12 ? y ? ?1 ? y ? 2k1 ? 1 ? ? y ?1 ?2 ? 1 ? 2k12 ?

4k 2 2k 2 2 ? 1 同理可得 E ( , ) 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k2
? S2 ?

……………………………10 分

16k1k2 1 1 2 MD ME ? 1 ? k12 1 ? k2 2 2 2 (1 ? 2k12 )(1 ? 2k2 )

……………………12 分

所以

S1 (1 ? ? S2

2k12 )(1 ? 16

2 2k 2 )

5 ? 2(k12 ? ?
1 ) k12

1 ) k12

16



S1 5 ? S2 8

5 ? 2(k12 ?


16

?

5 8

2 解得 k1 ? 2 或 k1 ?

2

1 2

所以直线 AB 的方程为 y ?

2 2 x或 y ? ? x 2 2

………………15 分

(Ⅲ)由题设可得 f ( x) ? x(?

1 2 1 x ? x ? m 2 ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) , 3 3

1 ? 方程 ? x 2 ? x ? m 2 ? 1 ? 0 有两个相异的实根 x1 , x 2 ,……………………7 分 3 4 2 故 x1 ? x2 ? 3 ,且 ? ? 1 ? (m ? 1) ? 0 3 1 1 解得: m ? ? (舍去)或 m ? , 2 2 3 ? x1 ? x 2 ,所以 2 x2 ? x1 ? x2 ? 3 ,? x 2 ? ? 1,………………………8 分 2 1 若 x1 ? 1 ? x2 ,则 f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 , 3 而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意。…………………………………………………………10 分 若 1 ? x1 ? x2 ,对任意的 x ? ?x1 , x2 ?,有 x ? 0, x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0 , 1 则 f ( x) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 , 3 又 f ( x1 ) ? 0 ,所以 f ( x) 在 ?x1 , x 2 ? 上的最小值为 0, 1 2 于是对任意的 x ? ?x1 , x2 ?, f ( x) ? f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) ? m ? ? 0 , 3 3 3 解得 ? ; …………………………………………………14 分 ?m? 3 3 1 3 综上, m 的取值范围是 ( , ) 。…………………………………………15 分 2 3


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