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山东省济宁一中2011届高三第一轮复习质量验收数学文

时间:2011-02-25

山东省济宁一中 2011 届高三年级第一轮复习质量验收

数学试题(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。请把选择题的答案涂在答题 卡上。满分 150 分。考试用时 120 分钟。

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) . 1.已知集合, B = {x | y = lg(1 ? x)} ,则 A I B = A. [?1,1] B. [?1,1) C. (?1,1)
2.已知复数 z = 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则
A. 2i B. ?2i 2 等于 z ?1 C . ?2 D. 2


D. (?∞, +∞)







3 . a = ?1 ”是“直线 a 2 x ? y + 6 = 0 与直线 4 x ? ( a ? 3) y + 9 = 0 互相垂直”的( “
A.充分不必要条件 C.充要条件 4.抛物线 y = 2 x 2 的准线方程为 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件




1 2 C. y = ? 1 4 D. y = ? 1 8



A. y = ?1 5.将函数 y = sin(2 x + A. y = sin 2 x
2

B. y = ?

π
4

) 的图像向左平移 B. y = cos 2 x
2

π
8

个单位,则所得图像的函数解析式是 (
C. y = sin(2 x + 3π π ) D. y = sin(2 x ? ) 4 4



6.已知 P ( x, y ) 是圆 x + ( y ? 3) = 1 上的动点,定点 A(2, 0), B ( ?2, 0) ,则 PA ? PB 的最

uuu uuu r r


大值为 A.12



B .0

C.-12

D.4

7.设 b, c 表示两条直线, α , β 表示两个平面,下列命题中是真命题的是





A.

b ? α? ? ? b / /c c / /α ? c / /α ? ??α ⊥ β c ⊥ β?

B.

b ? α? ? ? c / /α b / /c ? c / /α ? ??c ⊥ β α ⊥ β?
主视图 左视图

C.

D.

俯视图

8.右图是某几何体的三视图,其中主视图是腰 长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆, 则该几何体的体积是 ( ) A.
3 π 6 B. 3 π 3 C.

3 π 2

D. 3π

(第 8 题图)
9.已知实系数方程 x 2 + ax + 1 = 0 的一个实根在区间 (1, 2) 内,则 a 的取值范围为( A. (?2, ?1)



5 B. (? , ?2) 2

C. (1, 2)

5 D. (2, ) 2

10.已知函数 f ( x) = x 2 ? bx 的图像在点 A(1, f (1)) 处的切线 l 与直线 3x ? y + 2 = 0 平行,若数

? 1 ? 列? ? 的前 n 项和为 Sn ,则 S2011 的值为 ? f ( n) ?





A. C.

2011 2012 2009 2010

B. D.

2010 2011 2008 2009

11.已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为 顶点的四边形中,有一个内角为 60°,则双曲线 C ) 的离心率为( A.

2 2 6 2

B.

3 2

C.

D. 2

12 . 奇 函 数 f ( x ) 满 足 对 任 意 x ∈ R 都 有 f ( x + 2) = ? f ( x) 成 立 , 且 f (1) = 8 , 则

f (2008) + f (2009) + f (2010) 的值为
A. 2 B. 4 C. 6 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
?log 2 x, x > 0 ? 13.已知函数 f ( x) = ? x , 则 f [ f (1)] = x≤0 ?3 , ? 。


D. 8



?x + y + 5≥ 0 ? 14.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 0 ,则 z = 2 x + 4 y 的最小值是 ?y ≤0 ?



15.在△ABC 中,若 a = b = 1 , c = 3 ,则 ∠C = 16.关于函数 f ( x) = sin 2 x ? cos 2 x 有下列命题: ①函数 y = f ( x) 的周期为 π ;



π 是 y = f ( x) 的一条对称轴; 4 π π ③点 ( ,0) 是 y = f ( x) 的图象的一个对称中心;④将 y = f ( x) 的图象向左平移 个单 8 8
②直线 x = 位,可得到 y = 2 sin 2 x 的图象.其中真命题的序号是 . (把你认为真命题的序

号都写上) 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (本小题满分 12 分)等比数列 {an } 中, a1 = 2, a4 = 16 . (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 4 项和第 16 项,试求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 18. (本小题满分 12 分) r r r r 已知 a = (1, cos x), b = (sin x, ?1) ,函数 f ( x) = a ? b ( x ∈ R) (I)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ∈ [ 0, π ] 时,求函数 f ( x) 的最大值.

(本小题满分 12 分) 19. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ⊥ 平面 ABCD ,且 PA = AD ,点 F 是棱 PD 的中点, 点 E 在棱 CD 上移动. (Ⅰ)当点 E 为 CD 的中点时,试判断直线 EF 与平面 PAC 的 关系,并说明理由; (Ⅱ)求证: PE ⊥ AF .

P F

A D E

20. (本小题满分 12 分) B C 某工厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C ( x) ,
1 当年产量不足 80 千件时, C ( x) = x 2 + 10 x (万元) ;当年产量不小于 80 千件时, 3 C ( x) = 51x + 10000 ? 1450 万元.每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产 x

的商品能全部售完. (I)写出年利润 L (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; (Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) =

1? x + ln x . ax

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 [1, +∞ ) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a = 1 时,求 f ( x ) 在 [ , 2] 上的最大值和最小值.

1 2

22. (本小题满分 14 分) 如 图 6 , 已 知 圆 G : x2 + y 2 ? 2x ? 2 y = 0 经 过 椭 圆
x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 的右焦点 F 及上顶点 B ,过椭圆 a 2 b2 5 外一点 ( m,0 ) ( m > a ) 且倾斜角为 π 的直线 l 交椭圆 6 于 C , D 两点.

y B D
C O

F

(m, 0)

x

(I)求椭圆的方程; uuu uuu r r (Ⅱ)若 FC ? FD = 0, 求 m 的值.

参考答案
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) BAADB ACABA CD 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13. 1 14. ?15 15.

2 π 3

16.①③④

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分)
17.解: (Ⅰ)设 {an } 的公比为 q ,

由已知得 16 = 2q 3 ,解得 q = 2 .

…………………………………………3 分

又 a1 = 2 ,所以 an = a1q n ?1 = 2 × 2 n ?1 = 2 n .…………………………………………6 分 (Ⅱ)由(I)得 a2 = 8 , a5 = 32 ,则 b4 = 8 , b16 = 32 .

?b1 = 2, ?b1 + 3d = 8, 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ? 解得 ? …………………………9 分 ?d = 2. ?b1 + 15d = 32,
则数列 {bn } 的前 n 项和 Sn = nb1 +

n(n ? 1) n(n ? 1) d = 2n + × 2 = n 2 + n. 2 2

…… 12 分

18.解: (I) f ( x ) = a ? b = sin x ? cos x = 由?

2 sin( x ?

π
4

).

…………………4 分

π
2

+ 2kπ ≤ x ?

π
4



π
2

+ 2kπ (k ∈ Z ), 得 ?

π

3 + 2kπ ≤ x ≤ π + 2kπ (k ∈ Z), 4 4
…………………8 分

∴ f (x ) 的单调递增区间是 ??

3 ? π ? + 2kπ , π + 2kπ ? (k ∈ Z ). 4 ? 4 ? ), ∵ x ∈ [0, π ], ∴ x ?

(Ⅱ) f ( x ) = ∴当 x ?

2 sin( x ?
, 即x =

π
4

π

? π 3π ? ∈ ?? , ? , 4 ? 4 4?

π
4

=

π
2

3π 时, f ( x) max = 2 . 4

……………………12 分

19.解: (Ⅰ)当点 E 为 CD 的中点时, EF// 平面 PAC. 理由如下:

……………2 分

Q点 E, F 分别为 CD , PD 的中点,∴ EF//PC .
Q PC ? 平面PAC , EF ? 平面 PAC , ∴ EF// 平面 PA
C. ………………4 分

……………3 分

P F

(Ⅱ)Q PA ⊥ 平面ABCD , CD ? 平面ABCD ,

∴ CD ⊥ PA .
又 ABCD 是矩形,∴ CD ⊥ AD ,

A D E B

Q PA I AD = A ,∴ CD ⊥ 平面PAD .

C

Q AF ? 平面PAD , ∴ AF ⊥ CD .

…………………8 分 …………10 分 ………………11 分 ………………12 分

Q PA = AD ,点 F 是 PD 的中点, ∴ AF ⊥ PD .
又 CD I PD = D ,

∴ AF ⊥ 平面PDC . ∴ PE ⊥ AF .

Q PE ? 平面PDC,
20.依题意可知:

? 1 2 ?? 3 x + 40 x ? 250, 0 < x < 80 ? L( x) = ? . ?1200 ? ( x + 10000 ), x ≥ 80 ? x ?

…………… 6 分



0 < x < 80 时 ,

1 1 L( x) = ? x 2 + 40 x ? 250 = ? ( x ? 60) 2 + 950 3 3

, 故

x = 60(千件)时 , L(x)取最大值950万元 。
………… 9 分

x ≥ 80时,由基本不等式知,当x = 100时,L(x)取最大值1000万元.
综合得: 当x = 100(千件)时,L(x)取最大值1000万元. … 12 分

又 f ( ) = 1 ? ln 2, f (2) = ?

1 2

1 1 3 ln e3 ? ln16 + ln 2, f ( ) ? f (2) = ? 2 ln 2 = 2 2 2 2 .

∵ e > 16 ,
3

∴f?

?1? ? ? f ( 2 ) > 0,即f ?2?

?1? ? ? > f ( 2 ) . …………………10 分 ?2? ?1?

∴ f ( x) 在区间 ? , 2 ? 上的最大值 f ( x) max = f ? ? = 1 ? ln 2 . ……………11 分 ?2 ? ?2? 综上可知,函数 f ( x) 在 ? , 2 ? 上的最大值是 1 ? ln 2 ,最小值是 0.…………12 分 2 22.解: (I)∵圆 G : x 2 + y 2 ? 2 x ?

?1

?

?1 ?

? ?

2 y = 0 经过点 F,B,

∴F(2,0) ,B(0 2 ) , ∴ c = 2, b =
2

2,

∴ a = 6. 故椭圆的方程为

x2 y2 + = 1. 6 2

.…………………6 分

(Ⅱ)由题意得直线 l 的方程为 y = ?

3 ( x ? m)(m > 6 ). 3

? x2 y2 =1 ? + ?6 2 由? 消去y得2 x 2 ? 2mx + m 2 ? 6 = 0. ? y = ? 3 ( x ? m) ? 3 ?
由△ = 4m 2 ? 8( m 2 ? 6) > 0, 解得 ? 2 3 < m < 2 3. 又m >

6 ,∴ 6 < m < 2 3.

……………………8 分

m2 ? 6 设 C ( x1 , y1 ), D ( x 2 , y 2 ), 则 x1 + x 2 = m, x1 x 2 = , 2
∴ y1 y 2 = ? ?

? ?

? ? 3 ? 1 3 m m2 ( x1 ? m)? ? ?? ( x 2 ? m)? = x1 x 2 ? ( x1 + x 2 ) + . 3 3 3 ? ? 3 ? 3
………………………10 分

∵ FC = ( x1 ? 2, y1 ), FD = ( x 2 ? 2, y 2 ),

∴ FC ? FD = ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) + y1 y 2 =
2m(m ? 3) = 0, 3

4 m+6 m2 2m(m ? 3) x1 x 2 ? ( x1 + x 2 ) + +4= . 3 3 3 3

∵ FC ? FD = 0, 即

解得 m = 0或m = 3,又 6 < m < 2 3 ,∴ m = 3.

……………………14 分


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