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浙江省衢州市五校联考2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

时间:2016-08-07


2014-2015 学年浙江省衢州市五校联考高一(上)期中数学试卷
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)设集合 A={﹣1,0,1},B={1,4},则 A∪B=() A.{1} B.{﹣1,0,4} C.{﹣1,0,1,4}

D.{0,1,4}

2. (5 分)下列各式:①1∈{0,1,2};②??{0,1,2};③{1}∈{0,1,2};④{0,1,2}={2, 0,1},其中错误的个数是() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 3. (5 分)函数 f(x)=lg(1﹣x)的定义域为() A.[0,1] B.(﹣1,+∞) C.[﹣1,1] 4. (5 分)下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是() A.y= B.y= C.y=lg10
x

D.(﹣∞,1)

D.

5. (5 分)函数 y=logax (0<a<1)的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)若函数 f(x)=(2a﹣1)x+1 在 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是() A. B. C. D.

7. (5 分)已知 a=log23, A.a<b<c B.a<c<b



则() C.b<c<a D.b<a<c

8. (5 分)若偶函数 f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,则() A.f(﹣ )<f(﹣1)<f(2) <f(﹣1)<f(﹣3 ) D.
x

B.f(2)<f(﹣ )<f(﹣1) f(﹣1)<f(﹣ )<f(2)
2

C. f(2)

9. (5 分)已知函数 f(x)=2 ,x∈R,若 f(2﹣a )>f(a) ,则实数 a 的取值范围是()

A.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) (﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)

B.(﹣1,2)

C. (﹣2,1)

D.

10. (5 分)阅读下列一段材料,然后解答问题:对于任意实数 x,符号[x]表示“不超过 x 的最 大整数”,在数轴上,当 x 是整数,[x]就是 x,当 x 不是整数时,[x]是点 x 左侧的第一个整数 点, 这个函数叫做“取整函数”, 也叫高斯 (Gauss) 函数. 如[﹣2]=﹣2, [﹣1.5]=﹣2, [2.5]=2. 求 [log2 ]+[log2 ]+[log2 ]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为() A.﹣1 B . ﹣2 C. 0 D.1

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. (4 分)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={x|x=a+b,a∈P,b∈Q},若 P={0, 2},Q={1,2,3},则 P+Q=. (用例举法表示)

12. (4 分)已知函数 f(x)=

,则 f(f( ) )的值是.

13. (4 分)若幂函数 f(x)的图象过点

,则 f(9)=.

14. (4 分)函数 f(x)=2+log5(x+3)在区间[﹣2,2]上的值域是. 15. (4 分)奇函数 f(x)满足 f(x+3)=f(x) ,且 f(1)=2,则 f(5)=. 16. (4 分)数 y=a
x﹣2

+1﹙a>0,且 a≠1﹚的图象必经过点.
x x

17. (4 分)设﹣2≤x≤2,则函数 y=4 ﹣2×2 +5 的最小值是.

三、解答题: (本大题共 5 小题,第 18 题 12 分,第 19-22 题每小题 12 分,共 72 分) 18. (12 分)设全集 U=R,集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2x﹣4≥x﹣2}. (1)求?U(A∩B) ; (2)若集合 C={x|2x+a>0},满足 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. 19. (15 分)不用计算器求值: (1)log3 ;

(2)



20. (15 分)已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[﹣5,5],

2

(1)当 a=﹣1 时,求函数的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调减函数.

21. (15 分)设 f(x)=

,且 f(x)的图象过点



(1)求 f(x)表达式; (2)计算 f(x)+f(﹣x) ; (3)试求 f(﹣2014)+f(﹣2013)+f(﹣2012)+…+f+f 的值. 22. (15 分)已知函数 f(x)=log2 .

(Ⅰ)求函数的定义域; (Ⅱ)判断函数的奇偶性; (Ⅲ)根据函数单调性的定义,证明函数 f(x)是增函数.

2014-2015 学年浙江省衢州市五校联考高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)设集合 A={﹣1,0,1},B={1,4},则 A∪B=() A.{1} B.{﹣1,0,4} C.{﹣1,0,1,4} 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接利用并集运算得答案. 解答: 解:∵A={﹣1,0,1},B={1,4}, 则 A∪B={﹣1,0,1,4}. 故选:C. 点评: 本题考查了并集及其运算,是基础题.

D.{0,1,4}

2. (5 分)下列各式:①1∈{0,1,2};②??{0,1,2};③{1}∈{0,1,2};④{0,1,2}={2, 0,1},其中错误的个数是() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 计算题.

分析: 对于①根据元素与集合之间的关系进行判定,对于②根据空间是任何集合的子集, 对于③集合与集合之间不能用属于符号进行判定,对于④根据集合本身是集合的子集进行判 定,对于⑤根据集合的无序性进行判定即可. 解答: 解: :①1∈{0,1,2},元素与集合之间用属于符号,故正确; ②??{0,1,2};空集是任何集合的子集,正确 ③{1}∈{0,1,2};集合与集合之间不能用属于符号,故不正确; ④{0,1,2}?{0,1,2},集合本身是集合的子集,故正确 ⑤{0,1,2}={2,0,1},根据集合的无序性可知正确; 故选:A 点评: 本题主要考查了元素与集合的关系,以及集合与集合之间的关系,属于基础题. 3. (5 分)函数 f(x)=lg(1﹣x)的定义域为() A.[0,1] B.(﹣1,+∞) C.[﹣1,1]

D.(﹣∞,1)

考点: 对数函数的定义域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数的定义,真数大于 0,列出不等式,求出解集即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=lg(1﹣x) , ∴1﹣x>0, 解得 x<1; ∴f(x)的定义域为(﹣∞,1) . 故选:D. 点评: 本题考查了求函数定义域的问题,解题时应根据函数的解析式,求出使解析式有意 义的自变量的取值范围. 4. (5 分)下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是() A.y= B.y= C.y=lg10
x

D.

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,这样的函数是相同函数,进行判断 即可. 解答: 解:对于 A,y= 对于 B,y=
x

=x(x≠0) ,与函数 y=x(x∈R)的定义域不同,不是相同函数;

=x(x≥0) ,与函数 y=x(x∈R)的定义域不同,不是相同函数;

对于 C,y=lg10 =x(x∈R) ,与函数 y=x(x∈R)的定义域相同,对应关系也相同,是相同函 数; 对于 D,y= 故选:C. =x(x>0) ,与函数 y=x(x∈R)的定义域不同,不是相同函数.

点评: 本题考查了求函数的定义域的问题,解题时应判断它们的定义域是否相同,对应关 系是否也相同,是基础题. 5. (5 分)函数 y=logax (0<a<1)的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 y=logax (0<a<1) , 定义域为 (0, +∞) , 单调递减, 再根据 f (1) =loga1=0, 判断求解. 解答: 解:∵函数 y=logax (0<a<1) , ∴定义域为(0,+∞) ,单调递减, f(1)=loga1=0 函数 y=logax (0<a<1) , ∴定义域为(0,+∞) ,单调递减,∴判断 A 正确, 故选:A 点评: 本题考查了对数函数的定义,图象性质,属于容易题. 6. (5 分)若函数 f(x)=(2a﹣1)x+1 在 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是() A. B. C. D.

考点: 一次函数的性质与图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据一次函数的单调性得出 2a﹣1<0,即可求解. 解答: 解:∵函数 f(x)=(2a﹣1)x+1 在 R 上是减函数, ∴2a﹣1<0, ∴a ,

故选:D 点评: 本题考查了函数的单调性与系数的关系,解不等式,属于容易题.

7. (5 分)已知 a=log23, A.a<b<c B.a<c<b



则() C.b<c<a D.b<a<c

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数的单调性即可得出.

解答: 解:∵a=log23>1,

<0,0<

<1,

∴b<c<a. 故选:C. 点评: 本题考查了对数函数的单调性,属于基础题. 8. (5 分)若偶函数 f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,则() A.f(﹣ )<f(﹣1)<f(2) <f(﹣1)<f(﹣3 ) D. B.f(2)<f(﹣ )<f(﹣1) f(﹣1)<f(﹣ )<f(2) C. f(2)

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,且﹣2<﹣ <﹣1,可得 f(﹣2) ,f(﹣ ) , f(﹣1)的大小关系, 再根据偶函数的性质可得 f(2) ,f(﹣ ) ,f(﹣1)的大小关系. 解答: 解:因为 f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,且﹣2<﹣ <﹣1, 所以 f(﹣2)<f(﹣ )<f(﹣1) , 又 f(x)为偶函数,所以 f(﹣2)=f(2) , 则 f(2)<f(﹣ )<f(﹣1) , 故选 B. 点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用,属基础题. 9. (5 分)已知函数 f(x)=2 ,x∈R,若 f(2﹣a )>f(a) ,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) B.(﹣1,2) C. (﹣2,1) D. (﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. x 2 2 分析: 根据函数 f(x)=2 在 R 上是增函数,故由 f(2﹣a )>f(a) ,可得 2﹣a >a,由 此求得实数 a 的取值范围. x 2 2 解答: 解:由于函数 f(x)=2 在 R 上是增函数,故由 f(2﹣a )>f(a) ,可得 2﹣a >a, 求得﹣2<a<1, 故选:C. 点评: 本题主要考查一元二次不等式的解法,指数函数函数的单调性和特殊点,体现了转 化的数学思想,属于基础题.
x 2

10. (5 分)阅读下列一段材料,然后解答问题:对于任意实数 x,符号[x]表示“不超过 x 的最 大整数”,在数轴上,当 x 是整数,[x]就是 x,当 x 不是整数时,[x]是点 x 左侧的第一个整数 点, 这个函数叫做“取整函数”, 也叫高斯 (Gauss) 函数. 如[﹣2]=﹣2, [﹣1.5]=﹣2, [2.5]=2. 求 [log2 ]+[log2 ]+[log2 ]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为() A.﹣1 B . ﹣2 C. 0 D.1

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据“取整函数”的定义即可求得答案. 解答: 解: =﹣2,﹣2< <﹣1, =﹣1,log21=0,log22=1,1<log23

<2,log24=2, 由“取整函数”的定义可得, [log2 ]+[log2 ]+[log2 ]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24] =﹣2﹣2﹣1+0+1+1+2=﹣1. 故选:A. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数的性质的合 理运用. 二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. (4 分)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={x|x=a+b,a∈P,b∈Q},若 P={0, 2},Q={1,2,3},则 P+Q={1,2,3,4,5}. (用例举法表示) 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 计算题;集合. 分析: 由题意可得 x=0+1=1,x=0+2=2,x=0+3=3,x=2+1=3,x=2+2=4,x=2+3=5;从而得 到集合. 解答: 解:∵P+Q={x|x=a+b,a∈P,b∈Q},且 P={0,2},Q={1,2,3}, ∴x=0+1=1,x=0+2=2,x=0+3=3, x=2+1=3,x=2+2=4,x=2+3=5; 故 P+Q={1,2,3,4,5}, 故答案为:{1,2,3,4,5}. 点评: 本题考查了元素与集合的关系及元素的特征,属于基础题.

12. (4 分)已知函数 f(x)=

,则 f(f( ) )的值是 .

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据分段函数的表达式,直接代入即可.

解答: 解:由分段函数可得 f( )= ∴f(f( ) )= 故答案为: ,



点评: 本题主要考查函数值的计算,利用分段函数直接代入即可得到结论.

13. (4 分)若幂函数 f(x)的图象过点

,则 f(9)= .

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用幂函数的定义,用待定系数法设出 f(x)的解析式,即可求出 f(x) ,将 x=9 代 入即可得. α 解答: 解:设幂函数 f(x)=x , ∵幂函数 y=f(x)的图象过点( ∴ ∴f(x)= ∴f(9)= 故答案为: . 点评: 本题考察了幂函数的概念、解析式,熟练掌握幂函数的定义是解题的关键.属于基 础题. 14. (4 分)函数 f(x)=2+log5(x+3)在区间[﹣2,2]上的值域是[2,3]. 考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数的单调性,得到 f(x)=2+log5(x+3)在区间[﹣2,2]上是增函数,因 此分别求出 f(﹣2) 、f(2)的值,可得函数 f(x)的最小值和最大值,从而得到函数 f(x) 在区间[﹣2,2]上的值域. 解答: 解:∵5>1,可得 y=log5x 是定义在(0,+∞)上的增函数 而 f(x)=2+log5(x+3)的图象是由 y=log5x 的图象先向左平移 3 个单位,再向上平移 2 个单 位而得 ∴函数 f(x)=2+log5(x+3)在区间(﹣3,+∞)上是增函数 因此,数 f(x)=2+log5(x+3)在区间[﹣2,2]上的最小值为 f(﹣2)=2+log51=2 最大值为 f(3)=)=2+log55=3,可得函数 f(x)在区间[﹣2,2]上的值域为[2,3] 故答案为:[2,3] ,解得 , = , . ) ,

点评: 本题给出对数型函数,求函数在区间[﹣2,2]上的值域,着重考查了对数函数的单调 性和函数值域的求法等知识,属于基础题. 15. (4 分)奇函数 f(x)满足 f(x+3)=f(x) ,且 f(1)=2,则 f(5)=﹣2. 考点: 函数的周期性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题可以通过函数的周期性和奇偶性,将自变量 5 转化为﹣1,再转化为 1,结合条 件 f(1)=2,求出 f(5)的值,得到本题结论. 解答: 解:∵函数 f(x) 是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) .∵f(x+3)=f(x) , ∴f(x﹣3)=f(x) , ∵f(1)=2, ∴f(5)=f(5﹣3)=f(2)=f(2﹣3)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查了函数奇偶性、函数的单调性,本题难度不大,属于基础题. 16. (4 分)数 y=a 考点: 专题: 分析: 解答:
x﹣2

+1﹙a>0,且 a≠1﹚的图象必经过点(2,2) .

指数函数的单调性与特殊点. 函数的性质及应用. 根据指数函数过定点的性质即可得到结论. 解:由 x﹣2=0 得 x=2,
x﹣2 0

此时 y=a +1=a +1=1+1=2, 即函数过定点(2,2) , 故答案为: (2,2) . 点评: 本题主要考查指数函数过定点的性质,要求熟练掌握指数函数的图象和性质. 17. (4 分)设﹣2≤x≤2,则函数 y=4 ﹣2×2 +5 的最小值是 4. 考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 t=2 ,由题意可得 ≤t≤4,函数 y=4 ﹣2×2 +5=(t﹣1) +4,再利用二次函数的性 质求得它的最小值. 解答: 解:令 t=2 ,∵﹣2≤x≤2,∴ ≤t≤4,函数 y=4 ﹣2×2 +5=t ﹣2t+5=(t﹣1) +4, 故当 t=1 时,函数 y 取得最小值为 4, 故答案为:4. 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,指数函数的定义域、值域,二次函数的性质,体 现了转化的数学思想,属于基础题. 三、解答题: (本大题共 5 小题,第 18 题 12 分,第 19-22 题每小题 12 分,共 72 分) 18. (12 分)设全集 U=R,集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2x﹣4≥x﹣2}. (1)求?U(A∩B) ;
x x x 2 2 x x x 2 x x

(2)若集合 C={x|2x+a>0},满足 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. 考点: 补集及其运算;集合的包含关系判断及应用;交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: (1) 求出集合 B 中不等式的解集确定出集合 B, 求出集合 A 与集合 B 的公共解集即 为两集合的交集,根据全集为 R,求出交集的补集即可; (2)求出集合 C 中的不等式的解集,确定出集合 C,由 B 与 C 的并集为集合 C,得到集合 B 为集合 C 的子集,即集合 B 包含于集合 C,从而列出关于 a 的不等式,求出不等式的解集即 可得到 a 的范围. 解答: 解: (1)由集合 B 中的不等式 2x﹣4≥x﹣2,解得 x≥2, ∴B={x|x≥2},又 A={x|﹣1≤x<3}, ∴A∩B={x|2≤x<3},又全集 U=R, ∴?U(A∩B)={x|x<2 或 x≥3}; (2)由集合 C 中的不等式 2x+a>0,解得 x>﹣ , ∴C={x|x>﹣ }, ∵B∪C=C, ∴B?C, ∴﹣ <2,解得 a>﹣4. 点评: 此题考查了交集及补集的元素,集合的包含关系判断以及应用,学生在求两集合补 集时注意全集的范围,由题意得到集合 B 是集合 C 的子集是解第二问的关键. 19. (15 分)不用计算器求值: (1)log3 ;

(2)



考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用对数的运算法则即可得出; (2)利用指数的运算法则即可得出. 解答: 解: (1)原式=﹣1+lg100+2 =﹣1+2+2 =3. (2)原式=2 ×3 +
2 3



+1

=108+2﹣7+1 =104. 点评: 本题考查了指数与对数的运算法则,属于基础题.

20. (15 分)已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[﹣5,5], (1)当 a=﹣1 时,求函数的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调减函数. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质. 专题: 计算题;综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)当 a=﹣1 时 f(x)=x ﹣2x+2,可得区间(﹣5,1)上函数为减函数,在区间 (1,5)上函数为增函数.由此可得[f(x)]max=37,[f(x)] min=1; (2)由题意,得函数 y=f(x)的单调减区间是[a,+∞) ,由[﹣5,5]?[a,+∞)解出 a≤﹣5, 即为实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)当 a=﹣1 时,函数表达式是 f(x)=x ﹣2x+2, ∴函数图象的对称轴为 x=1, 在区间(﹣5,1)上函数为减函数,在区间(1,5)上函数为增函数. ∴函数的最小值为[f(x)]min=f(1)=1, 函数的最大值为 f(5)和 f(﹣5)中较大的值,比较得[f(x)]max=f(﹣5)=37 综上所述,得[f(x)]max=37,[f(x)] min=1(6 分) (2)∵二次函数 f(x)图象关于直线 x=﹣a 对称,开口向上 ∴函数 y=f(x)的单调减区间是(﹣∞,﹣a],单调增区间是[﹣a,+∞) , 由此可得当[﹣5,5]?[a,+∞)时, 即﹣a≥5 时,f(x)在[﹣5,5]上单调减,解之得 a≤﹣5. 即当 a≤﹣5 时 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调减函数. (6 分) 点评: 本题给出含有参数的二次函数,讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最值,着 重考查了二次函数的图象与性质和函数的单调性等知识,属于基础题.
2 2

2

21. (15 分)设 f(x)=

,且 f(x)的图象过点



(1)求 f(x)表达式; (2)计算 f(x)+f(﹣x) ; (3)试求 f(﹣2014)+f(﹣2013)+f(﹣2012)+…+f+f 的值. 考点: 归纳推理;函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意,f(0)= = ,从而解出 a=1,可得 f(x)表达式;

(2)f(﹣x)+

+

=

+

=1;

(3)由 f(x)+f(﹣x)=1 可知,f(﹣2014)+f(﹣2013)+f(﹣2012)+…+f+f=(f(﹣2014) +f)+(f(﹣2013)+f)+…+f(0) ,从而求得. 解答: 解: (1)由题意,f(0)= 解得,a=1, = ,





(2)f(﹣x)+

+

=

+

=1;

(3)f(﹣2014)+f(﹣2013)+f(﹣2012)+…+f+f =(f(﹣2014)+f)+(f(﹣2013)+f)+…+f(0) =1+1+1+…+1+ =2014+ =2014.5. 点评: 本题考查了函数的性质的应用与判断,属于中档题. 22. (15 分)已知函数 f(x)=log2 .

(Ⅰ)求函数的定义域; (Ⅱ)判断函数的奇偶性; (Ⅲ)根据函数单调性的定义,证明函数 f(x)是增函数. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)利用对数函数的性质确定定义域. (Ⅱ)根据函数奇偶性的定义判断. (Ⅲ) 根据函数单调性的定义证明函数的单调性. 解答: 解: (Ⅰ)要使 f(x)有意义,即 >0,解得﹣1<x<1,

所以 f(x)的定义域为(﹣1,1)…(4 分) (Ⅱ)因为 f(x)的定义域为(﹣1,1) ,关于原点对称, 又 所以 f(x)为奇函数. …(8 分) ,

(Ⅲ)任取﹣1<x1<x2<1, 则 f(x1)﹣f(x2)= 因为﹣1<x1<x2<1, 所以 0<(1+x1) (1﹣x2)=1+x1﹣x2﹣x1x2<1+x2﹣x1﹣x1x2=(1﹣x1) (1+x2) , 即 .所以 . ,

所以 f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) , 故函数 f(x)是增函数 …(14 分) 点评: 本题主要考查了对数函数的性质,要求熟练掌握对数的运算法则和对数函数的性质.


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