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惠州市2018届高三第三次调研考试数学 (文科) 试卷及其答案

时间:2018-01-21


惠州市 2018 届高三第三次调研考试

文科数学
全卷满分 150 分,时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答 题卡上。 2.作答选择题时,选出每个小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,写在本试卷上无效。 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答,答案必须写在答题卡各题指定的位置上,写在本 试卷上无效。 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。
2 1. 集合 A ? x x ? x ? 2 ? 0? , B ? x x ? 1?,则 A ? (C R B) = (

?

?


(D)

(A)

? x x ? 1?

(B)

?x 1 ? x ? 2?

(C)

? x x ? 1?

?x 1 ? x ? 2?

2.设 z ?

1 i ( i 为虚数单位) ,则 ? ( 1? i z
2 2
(B)



(A)

2

(C)

1 2

(D) 2 ) (D) 64 )

3.等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 2 , a4 ? a5 ? 4 ,则 a10 ? a11 ? ( (A) 8 4. (B) 16 (C) 32

已知向量 a ? b , a ? b ? 2, 则 2a ? b ? ( (A) 2 2 (B) 2 )

r

r

r

r

r

r

(C) 2 5

(D)

10

5.下列说法中正确的是(

(A) “ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x ) 是奇函数”的充要条件
2 (B) 若 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ?1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ?1 ? 0

2

(C) 若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 (D) “若 ? ?
数学试题(文科)

?
6

,则 sin ? ?

1 ? 1 ”的否命题是“若 ? ? ,则 sin ? ? ” 2 6 2
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6.已知输入实数 x ? 12 ,执行如图所示的流程图,则输出的 x 是 ( 开始
输入 x


输出 x

n=1 n=n+1 x=2x+1 (C)

n≤3 是



结束

(A) 25 7.将函数 f ? x ? ?

(B) 102

103

(D) 51

1 ? 5? cos ? 2 x ? ? ? ( ? ? )的图象向右平移 个单位后得到函数 g ? x ? 4 2 12

的图象,若 g ? x ? 的图象关于直线 x ? (A)

?

7? 18

(B)

? 18

9

对称,则 ? ? ( (C)

) (D)

?

?
18

?

7? 18

?x ? y ? 0 ? y 8.已知 x , y 满足条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 的最大值是 ( x ?x ? 1 ? 0 ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 )

) (D) 4

9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( (A)

8 3 3 32 3 3

(B)

16 3 3

(C)

(D)

16 3

10.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 ?x | x ? 0? ,满足 f ( x) ? f (? x) ? 0 ,当 x ? 0 时,

f ( x) ? ln x ? x ? 1,则函数 y ? f ( x) 的大致图象是(



(A)

(B)

(C)
2

(D)

2 2 11.已知 P 为抛物线 y ? 4 x 上一个动点,Q 为圆 x ? ? y ? 4 ? ? 1 上一个动点,则点 P 到

点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和最小值是( (A)



17 ? 1

(B)

2 5 ?2
第 2 页,共 17 页

(C)

2

(D)

17

数学试题(文科)

12. 设定义在 R 上的函数 y ? f ? x ? 满足任意 t ? R 都有 f ? t ? 2 ? ?

1 ,且 x ? ? 0, 4? 时, f ?t ?


f ?? x? ?

f ? x? x

,则 f ? 2016?、 4 f ? 2017?、 2 f ? 2018? 的大小关系是(

(A) 2 f ? 2018? ? f ? 2016? ? 4 f ? 2017 ? (C) 4 f ? 2017? ? 2 f ? 2018? ? f ? 2016?

(B) 2 f ? 2018? ? f ? 2016? ? 4 f ? 2017 ? (D) 4 f ? 2017? ? 2 f ? 2018? ? f ? 2016?

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13.已知数据 x1 , x2 ,?, xn 的平均数为 2,则数据 x1 ? 2, x2 ? 2,?, xn ? 2 的平均数为 14.设 a ? 0, b ? 0 ,且 3 是 3a 与 3b 的等比中项,则 .

1 1 ? 的最小值为 a b

.

15.当双曲线 C 不是等轴双曲线时,我们把以双曲线 C 的实轴、虚轴的端点作为顶点 的椭圆称为双曲线 C 的“伴生椭圆” .则离心率为 3 的双曲线的“伴生椭圆”的 离心率为 .
2 2

16.已知平面区域 M ? {? x, y ? | x ? y ? 4} , N ? {? x, y ? | y ? ?x ? 2} ,在区域 M 上 随机取一点 A ,点 A 落在区域 N 内的概率为 .

三.解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每 个考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 cosC ? cosAcosB ? 2cosAsinB . (1)求 tanA ; (2)若 b ? 2 5 , AB 边上的中线 CD ? 17 ,求 ?ABC 的面积.

数学试题(文科)

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18. (本小题满分 12 分) 在某大学联盟的自主招生考试中,报考文史专业的考生参加了人文基础学科考试科目 “语文”和“数学”的考试. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示,本次 考试中成绩在 [90,100] 内的记为 A ,其中“语文”科目成绩在 [80,90) 内的考生有 10 人.

( 1)求该考场考生数学科目成绩为 A 的人数; (2)已知参加本场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A .在至少一科成绩为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AD ? CD ?

1 AB ? 2 , 2

点 E 为 AC 中点,将 ?ADC 沿 AC 折起, 使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何 体 D ? ABC ,如图 2 所示. (1)在 CD 上是否存在一点 F ,使 AD / / 平面 EFB ?若存在,证明你的结论, 若不存在,请说明理由; (2)求点 C 到平面 ABD 的距离. D D E E A 图1 B A 图2 C C B

数学试题(文科)

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20. (本小题满分 12 分)

C: 已知 F 1 , F2 分别为椭圆
(1)求 PF 1 ? PF2 的最小值; (2)设直线 l 的斜率为

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上. 8 2

???? ???? ?

?ABP 面积的最大值. 且 PF 1 ? PF 2 ? ?1 ,求

???? ???? ?

1 ,直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点,若点 P 在第一象限, 2

21. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? ax3 ? bx ? c ,其导函数 f ? ? x ? ? ?3x2 ? 3 ,且 f ? 0? ? ?1,

g ? x ? ? xlnx ?

m ? m ? 1? . x

(1)求 f ? x ? 的极值; (2)求证:对任意 x1, x2 ? ? 0, ??? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? .

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题 计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2 2 cos ? ? ? ? y ? 2 ? 2 2 sin ?

( ? 为参数),以直角坐标系原点 O 为极点,

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 C 的极坐标方程; (2) 设射线 l1 : ? ?

?
3

,l2 : ? ?

?
6

, 若 l1 , l2 分别与曲线 C 相交于异于原点的两点 A, B ,

求 ?ABO 的面积.

数学试题(文科)

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23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? 2 ? 2x ? 1 . (1)解不等式 f ? x ? ? 0 ; (2) ?x ? R , f ? x ? ? 2m2 ? 4m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

数学试题(文科)

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惠州市 2018 届第三次调研考试 文科数学参考答案与评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 C 5 D 6 C 7 D 8 C 9 B 10 A 11 A 12 C

1.【解析】 A ? x ?1 ? x ? 2? , CR B ? x x ? 1? , A ? CR B ? x 1 ? x ? 2?,故选 D. 2.【解析】 z ? 择 B. 3. 【 解 析

?

?

?

1 i ?1 ? i ? i ?1 ? i 1 1 ? 2 ,故选 ? ? ? ? ? i ,所以 z ? 2 ,则 z 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 2 2 2 2

a4 ? a5 ? a1q3 ? a2q3 ? 4







q3 ? 2



a10 ? a11 ? a1q9 ? a2q9 ? (a1 ? a2 )q9 ? 2 ? 23 ? 16 .
故选 B 4. 【解析】 2a ? b ?

r

r

r2 r2 rr r r (2a ? b)2 = 4a ? b ? 4ab ? 16 ? 4 ? 2 5 .故选 C.

5.【解析】 试题分析: f ( x) ? x2 ? x 时, f (0) ? 0 ,但 f ( x ) 是不是奇函数,A 错;
2 命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ?1 ? 0 的否定是 ?p : ?x ? R, x ? x ?1 ? 0 ,B 错; p, q 中只要有一个

2

为假命题,则 p ? q 为假命题,C 错; “若 ? ?

?
6

,则 sin ? ?

1 ? ”的否命题是“若 ? ? ,则 2 6

sin ? ?

1 ”是正确的,故选 D. 2

6.【解析】输入 x ? 12 , 经 过 第 一 次 循 环 得 到 x ? 2 ? 12 ? 1 ? 25, n ? 2 , 经 过 第 二 循 环 得 到

x ? 2 ? 25 ? 1 ? 51, n ? 3 ,
经过第三次循环得到 x ? 2 ? 51 ? 1 ? 103, n ? 4 ,此时输出 x , 故选 C. 考点:程序框图的识别及应用 7.【解析】因为 f ? x ? ?
数学试题(文科)

1 cos ? 2 x ? ? ? ,所以 4
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? ? 1 5? ? ? 1 5? 2? 5? ? ? g ? x ? ? cos ?2 ? x ? ?? ? , ? ? ? ? k? 所以 ? ? ? ? ? cos ? 2 x ? 9 6 4 12 ? ? 4 6 ? ? ? ?
解得 ? ? k? ?

?k ? Z ? ,

11? 18

? k ? Z ? ,又 ?

?

?
2

,所以 ? ? ?

7? ,故选 D. 18

8.【解析】 . 因为 z ?

y?0 ,如图所示经过原点 ? 0, 0 ? 的直线斜率最大的为直线 x ? y ? 4 ? 0 与直线 x?0
3 ? 3 ,选 C. 1

x ? 1 的交
点 ?1,3? ,故 zmax ?

9.【解析】由三视图可知该三棱锥底面是边长为 4 的正三角形,面积为 4 3 ,高为 4, 则V ?

1 16 3 ,故选 B. ?4 3?4 ? 3 3
1 时, 2

10.【解析】由 f ( x) ? f (? x) ? 0 ,知 f ( x) 是奇函数,故排除 C,D;当 x ?

1 1 1 1 1 1 1 f ( ) ? ln ? ? 1 ? ln ? ? ? ln 2 ? ln e 2 ? ln 2 ? 0 ,从而 A 正确. 2 2 2 2 2 2

11. 【解析】根据抛物线的定义,点 P 到准线的距离等于到焦点的距离,则距离之和等于

PQ ? PF ,
数学试题(文科) 第 8 页,共 17 页

画图可得, PQ ? PF 的最小值为圆心 C 与焦点 F 连线与抛物线相交于点 P, 则最小值等 于

CF ? r , 圆心 C (0, 4) ,得 CF ? 42 ? 12 ? 17 ,所以最小值为 17 ? 1 ,故选 A.
12.【解析】由题意可得: f ?t ? f ?t ? 2? ? 1 ,则: f ?t ? 2? f ?t ? 4? ? 1 ,

据此有: f ?t ? ? f ?t ? 4? ,即函数 f ? x ? 是周期为 4 的周期函数, 构造新函数 F ? x ? ?
f ? x? x , x ? ? 0, 4? ,则 F ' ? x ? ? f '? x? x ? f ? x? x2 ? 0,

则函数 F ? x ? 是定义域 ? 0, 4? 内的增函数, 有:
f ?1? 1 ? f ? 2? 2 ? f ? 4? 4

,即: 4 f ?1? ? 2 f ? 2? ? f ? 4? ,

利用函数的周期性可得: f ? 2016? ? f ? 4? , f ? 2017? ? f ?1? , f ? 2018? ? f ? 2? , 据此可得: 4 f ? 2017? ? 2 f ? 2018? ? f ? 2016? .
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 4

14. 4

15.

2 2

16.

? ?2 4?

13.【解析】平均数为

? x1 ? 2? ? ? x2 ? 2 ? ? ? ? ? xn ? 2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? 2n ? 2 ? 2 ? 4
n n
a ?b

14.【解析】试题分析:因 3a ? 3b ? ( 3) 2 ? 3 ,即 3 所以

? 3 ,故 a ? b ? 1 ,

1 1 1 1 a b ? ? (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 4 ,应填 4 . a b a b b a

15. 【解析】 试题分析: 设双曲线 C 的方程为

x2 y 2 a 2 ? b2 , 所以 ? ? 1 e? ? 3, ? b2 ? 2a 2 , 2 2 a b a
y 2 x2 ? ?1 , ∴ “ 伴 生 椭 圆 ” 的 离 心 率 为 b2 a 2

∴双曲线 C 的“伴生椭圆”方程为:

数学试题(文科)

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b2 ? a 2 a 2 ? ? b 2 2a
16.【解析】 【答案】

? ?2 4?

【解析】由题意可得,集合 M 表示坐标原点为圆心,2 为半径的圆及其内部,集合 N 表示图中

的阴影区域,其中 S阴影 ?

1 1 ? ? 22 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 , 4 2

由几何概型公式可得:点 A 落在区域 N 内的概率为 p ?

? ?2 ? ?2 ? . ? ? 22 4?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 17. (本小题满分 12 分) 【答案】 (1) tanA ? 2 ; (2)当 c ? 2 时, S? ABC ?

1 bcsinA ? 4 ;当 c ? 6 时, S?ABC ? 12 . 2

【解析】试题分析: (1)将 C ? ? ? ? A ? B ? 代入化简求值即可; (Ⅱ)在 ? ACD 中,由余弦定 理解 得 c ? 2 或 6,利用面积公式求解即可. 试题解析: (1)由已知得 cosC ? cosAcosB ? cos ? ? π ? ? A ? B ?? ? ? cosAcosB

? ?cos ? A ? B? ? cosAcosB ? sinAsinB ,
所以 sinAsinB ? 2cosAsinB , 因为在 ?ABC 中, sinB ? 0 , 所以 sinA ? 2cosA , 则 tanA ? 2 . (2)由(1)得, cosA ?

??2 分 ???4 分

?????6 分 ?????8 分

5 2 5 , sinA ? , 5 5
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数学试题(文科)

在 ?ACD 中,

c ?c? CD ? b ? ? ? ? 2 ? b ? ? cosA , 2 ?2?
2 2

2

代入条件得 c 2 ? 8c ? 12 ? 0 ,解得 c ? 2 或 6, 当 c ? 2 时, S ?ABC ?

???10 分 ???12 分

1 bcsinA ? 4 ;当 c ? 6 时, S?ABC ? 12 . 2

18. (本小题满分 12 分) 19. 解:(1)该考场的考生人数为 10÷0.25=40 人. 数学科目成绩为 ???2 分

A 的人数为

40×(1-0.0025×10-0.015×10-0.0375×10×2)=40×0.075=3 人. ???5 分 (2) 语文和数学成绩为 A 的各有 3 人,其中有两人的两科成绩均为 只有一科成绩为

A ,所以还有两名同学
?????7 分

A.

设这四人为甲、乙、丙、丁,其中甲、乙的两科成绩均为 生中,

A ,则在至少一科成绩为 M 的考

随机抽取两人进行访谈,基本事件为{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁}, {丙,丁}共 6 个, 设“随机抽取两人,这两人的两科成绩均为 个, 则 P(M ) ? ????? 10 分

A ”为事件 M

,则事件 M 包含的事件有 1

1 . 6

?????12 分

数学试题(文科)

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19. 试题解析:(1)存在 CD 的中点 F 成立, 连结 EF , BF 在 ?A C D 中,? E , F ,分别为 AC , DC 的中点 ??2 分

? EF 为 ?A C D 的中位线 ? AD // EF EF ? 平面 EFB AD ? 平面 EFB ? AD //平面 EFB (2) 设点 C 到平面 ABD 的距离为 h

???4 分 ?????6 分

? 平面 ABD ⊥ 平面 ABC , 平面 ABD ?平面 ABC=AB , 且BC ⊥ A B
? BC ⊥ 平面 AD C ? BC ⊥ AD , AD ⊥ DC
? AD ⊥ 平面 BCD 即 AD ⊥ BD
?????7 分

?S?ADB ? 2 3
三棱锥 B ? ACD 的高 BC ? 2 2 ,?S?ACD ? 2

???9 分 ???10 分

1 1 ? VB? ACD ? VC ? ADB 即 ? 2 ? 2 2 ? ? 2 3 ? h 3 3

?h ?

2 6 3

???12 分

20. (本小题满分 12 分)

?4 ; 【答案】 (1) PF 1 ? PF2 的最小值为
【解析】试题分析:

???? ???? ?

(2)12.

(1)设 P ? x0 , y0 ? ,由向量数量积的坐标运算求得 PF1 ? PF2 ? ?4 ? 有 ?2 2 ? x0 ? 2 2 ,因此可得最小值;

???? ???? ?

2 3x0 ,注意椭圆中 4

(2)由直线与圆锥曲线相交的弦长公式求得弦长 AB , 求出 P 点坐标, 再求得 P 到直线 AB 的 距离 即三角形的高,从而得 ?PAB 面积 S?PAB ? b
数学试题(文科)
2

? 4 ? b ? 由基本不等式可得最大值.
2

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试题解析: (1)有题意可知 F1 ? 6, 0 , F2
1 0 0

? ???? ???? ? 则 PF ? ? ? 6 ? x , ? y ? , PF ? ?
2

?

?

?

6, 0 ,设点 P( x 0 , y0 ) 6 ? x0 , ? y0 ,

?

???2 分

∴ PF 1 ? PF 2 ? x0 ? y0 ? 6 ,
2 2

???? ???? ?

∵点 P ? x0 , y0 ? 在椭圆 C 上,∴

x0 2 y0 2 x2 ? ? 1 ,即 y0 2 ? 2 ? 0 , 8 2 4

???3 分

∴ PF1 ? PF2 ? x0 ? 2 ?
2

???? ???? ?

x0 2 3x 2 ? 6 ? ?4 ? 0 ( ?2 2 ? x0 ? 2 2 ) , 4 4

???4 分

?4 . ∴当 x0 ? 0 时, PF 1 ? PF2 的最小值为
(注:此问也可用椭圆的参数方程表达点 P 求解) (2)设 l 的方程 y ?

???? ???? ?

???6 分

1 x ? b ,点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 2

1 ? y ? x ? b, ? ? 2 由 ? 2 得 x 2 ? 2bx ? 2b 2 ? 4 ? 0 , 2 x y ? ? ?1 ? 2 ?8
2 2 令 ? ? 4b ? 8b ? 16 ? 0 ,解得 ?2 ? m ? 2 .

???7 分

由韦达定理得 x1 ? x2 ? ?2b , x1 x2 ? 2b2 ? 4 , 由弦长公式得 AB ? 1 ?

1 4

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 5 4 ? b2 ,

?

?

???8 分

且 PF 1 ? PF 2 ? ?1 ,得 P ? 2,1? . 又点 P 到直线 l 的距离 d ?

???? ???? ?

b 1 1? 4

?

2b 5



???9 分

∴ S?PAB ?

1 1 2b AB d ? ? ? 5 4 ? b2 2 2 5

?

?

? b2 4 ? b2

?

?

数学试题(文科)

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?

b2 ? 4 ? b2 ?2, 2

???11 分

当且仅当 b ? ? 2 时,等号成立, ∴ ?PAB 面积最大值为 2. ??12 分

21.(本小题满分 12 分) 解析: ( 1 )依题意得 f ? x ? ? ? x ? 3x ?1,
3

f ? ? x ? ? ?3x2 ? 3 ? ?3? x ?1?? x ?1? ???2



知 f ? x ? 在 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ? 上是减函数,在 ? ?1,1? 上是增函数


???4

∴ f ? x ?极小值 ? f ? ?1? ? ?3 ,


f ? x ?极大值 ? f ?1? ? 1

???5

(2)法 1:易得 x ? 0 时, f ? x ?最大值 ? 1 , 依题意知,只要 1 ? g ? x ? ( x ? 0) ? 1 ? xlnx ?

m ? m ? 1? ( x ? 0) x
???7 分 ???8 分

由 a ? 1 知,只要 x ? x2lnx ? 1( x ? 0) ? x2lnx ? 1 ? x ? 0( x ? 0) 令 h ? x ? ? x2lnx ?1 ? x( x ? 0) ,则 h? ? x ? ? 2xlnx ? x ?1

注意到 h? ?1? ? 0 ,当 x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 , ???9 分 即 h ? x ? 在 ? 0,1? 上是减函数,在 ?1, ?? ? 是增函数, h ? x ?最小值 ? h ?1? ? 0 即 h ? x ? ? 0 ,综上知对任意 x1, x2 ? ? 0, ??? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 法 2:易得 x ? 0 时, f ? x ?最大值 ? 1 , ???7 分
数学试题(文科) 第 14 页,共 17 页

???10 分 ???12 分

由 a ? 1 知, g ? x ? ? xlnx ? 则 h? ? x ? ? lnx ? 1 ?

1 1 ( x ? 0) ,令 h ? x ? ? xlnx ? ( x ? 0) ???8 分 x x

1 x2 ? 1 ? ln x ? ???9 分 x2 x2

注意到 h? ?1? ? 0 ,当 x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,???10 分 即 h ? x ? 在 ? 0,1? 上 是 减 函 数 , 在 ?1, ?? ? 是 增 函 数 , h ? x ?最小值 ? h ?1? ? 1 , 所 以

h ? x ?最小值 ? 1 ,
即 g ? x ?最小值 ? 1 . 综上知对任意 x1, x2 ? ? 0, ??? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? . 法 3: 易得 x ? 0 时, f ? x ?最大值 ? 1 , ???7 分 由 a ? 1 知, g ? x ? ? xlnx ? 令 h ? x ? ? xlnx ?
???12 分

1 ( x ? 0) , x

???8 分

1 1 ( x ? 0) ,则 h? ? x ? ? lnx ? 1 ? 2 ( x ? 0) ???9 分 x x 1 1 1 令 ? ? x ? ? lnx ? 1 ? 2 ( x ? 0) ,则 ? ? ? x ? ? ? 3 ? 0 ,???10 分 x x x
知 ? ? x ? 在 ? 0, ??? 递增,注意到 ? ?1? ? 0 , 所以, h ? x ? 在 ? 0,1? 上是减函数,在 ?1, ?? ? 是增函数,有 h ? x ?最小值 ? 1 ,即 g ? x ?最小值 ? 1
综上知对任意 x1 , x2 ? ? 0, ??? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? . ??12 分

22. (本小题满分 10 分) 解:(1)∵曲线 C 的参数方程为 ?
2

? ? x ? 2 ? 2 2 cos ? ? ? y ? 2 ? 2 2 sin ?
2

(? 为参数)
2 2

∴曲线的普通方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8

即 x ? y ? 4x ? 4 y ? 0

??2 分

将 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代入并化简得: ? ? 4cos ? ? 4sin ?
数学试题(文科) 第 15 页,共 17 页

即曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? ? 4sin ? .

????5 分

(2)由 ?

? ? ?? ? 得到 OA ? ?1 ? 2 ? 2 3 3 ? ? ? ? 4cos ? ? 4sin ?

????7 分

同理 OB ? ? 2 ? 2 ? 2 3 . 又∵ ?AOB ? ∴ S?AOB ?

???? 9 分

?
3

?

?
6

?

?
6

1 OA OB sin ?AOB ? 4 ? 2 3 . 2
????10 分

即 ?AOB 的面积为 4 ? 2 3 .

23. (本小题满分 10 分) 23.解: (1)不等式 f ? x ? ? 0 ,即 x ? 2 ? 2x ?1 ,即 x ? 4 x ? 4 ? 4 x ? 4 x ? 1,??2 分
2 2

1 或 x ? ?3 .??3 分 3 1 所以不等式 f ? x ? ? 0 的解集为 { x x ? 或 x ? ?3}.??4 分 3

3x 2 ? 8x ? 3 ? 0 ,解得 x ?

1 ? ? x ? 3, x ? ? 2 ? 1 ? (2) f ? x ? = x ? 2 ? 2x ?1 ? ? ?3 x ? 1, ? ? x ? 2 ??6 分 2 ? ?? x ? 3, x ? 2 ? ?
故 f ? x ? 的最大值为 f ? ?

? 1? 5 ? ? ,??8 分 ? 2? 2
2

因为对于 ?x ? R ,使 f ? x ? ? 2m ? 4m 恒成立. 所以 2m ? 4m ?
2

5 2 ,即 4m ? 8m ? 5 ? 0 , 2

解得 m ?

1 5 5? ?1 ? ? 或 m ? ? ,∴ m ? ? ??, ? ? U ? , ?? ? .??10 分 2 2 2? ?2 ? ?
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