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高考数学(理)大一轮复习精讲课件:第二章 函数、导数及其应用 第十二节 定积分与微积分基本定理_图文

时间:2015-09-07

第十二节

定积分与微积分基本定理

基础盘查一

定积分的概念、几何意义与性质

(一)循纲忆知
了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积 分的概念.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)设函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,则 f(x)dx= f(t)dt ( √ ) a a
?b ? ? ? ?b ? ? ?

(2)定积分一定是曲边梯形的面积
?b ? ? ?

( × )

(3)若 f(x)dx<0,那么由 y=f(x),x=a,x=b 以及 x 轴所围成的
a

图形一定在 x 轴下方
(4)若 f(x)是偶函数,则 f(x)dx=2 f(x)dx
-a
?a ? ? ? ?a ? ? ?

( × )
0

( √)

2.(人教 A 版教材习题改编)

?1 ? ? ?

0

π 4 1-x2dx=___.

基础盘查二

微积分基本定理

(一)循纲忆知
了解微积分基本定理的含义.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)微积分基本定理中 F(x)是唯一的
(2)若 f(x)是连续的奇函数,则 f(x)dx=0
-a
?a ? ? ?

( × )
( √)

2.(人教 A 版教材习题改编)计算:
2 3π π +1 2 (1) ? 0 (3x+sin x)dx=________. 8
2 2? e -e-2ln 2 (2) e -x?dx=_____________. 1? ?
x
?2? ? ? ? ?

考点一

定积分的计算 (基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]

1.定积分的性质 (1) kf(x)dx=k f(x)dx(k 为常数);
a a
?b ? ? ? ?b ? ? ?

(2) [f1(x)± f2(x)]dx= f1(x)dx± f2(x)dx;
a a a

?b ? ? ?

?b ? ? ?

?b ? ? ?

(3) f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx(其中a<c<b).
a a c

?b ? ? ?

?c ? ? ?

?b ? ? ?

2.微积分基本定理 一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且F′(x)= f(x),那么
?b ? ? ?a

f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,

又叫做牛顿—莱布尼茨公式. 其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.
b 为了方便,常把F(b)-F(a)记作F(x)|b a,即 f(x)dx=F(x) |a=F(b)
?b ? ? ?a

-F(a).

[题组练透]
计算下列定积分: (1) (3x -2x+1)dx;
-1
?3 ? ? ?

2

1? (2) x-x?dx; 1? ? (4)
?2 ? ? ?

?2? ? ? ? ?

(3) (sin x-cos x)dx;
0

?π ? ? ?

0

|1-x|dx.

解:(1) (3x2-2x+1)dx
-1

?3 ? ? ?

=(x3-x2+x)|3 -1=24.
?1 2 ?2 3 1? (2) x-x?dx=?2x -ln x?|1=2-ln 2. 1? ? ? ?
?2? ? ? ? ?

(3) (sin x-cos x)dx= sin xdx- cos xdx=
0 0 0 π (-cos x) |0 -sin x |π 0 =2.

?π ? ? ?

?π ? ? ?

?π ? ? ?

(4) |1-x|dx= (1-x)dx+ (x-1)dx
0 0 1

?2 ? ? ?

?1 ? ? ?

?2 ? ? ?

? ? 1 2? 1 ?1 2 =?x-2x ? |0+?2x -x? |2 1 ? ? ? ? ? ?1 ? ?1 ? 1? 2 2 =?1-2?-0+?2×2 -2?-?2×1 -1?=1. ? ? ? ? ? ?

[类题通法]

运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 (1)对被积函数要先化简,再求积分;

(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间 的可加性”,分段积分再求和;

(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号再 求积分;
(4)注意用“F′(x)=f(x)”检验积分的对错.

考点二

定积分几何意义的应用 (题点多变型考点——全面发掘)

[必备知识]
定积分的几何意义 如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分 f(x)dx表示由直线x=
a
?b ? ? ?

a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的 曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积.
[提醒] 曲边梯形的面积非负,而定积分的结果可以为负.

[一题多变]
[典型母题]
由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为

16 3 . _____
[解析] 由 y= x及 y=x-2 可得,x=4,即两曲线交于点

(4,2).由定积分的几何意义可知,由 y= x及 y=x-2 及 y 轴所 围成的封闭图形面积为
4 ∫0 (

?2 3 ?? 1 2 16 4 2 x-x+2)dx= ? x - x + 2 x ? ? ?0= 3 3 2 ? ??

[题点发散 1]

y 轴所围成的图 y=xx - 22 及 x + 由曲线 y= x,直线 y=-

7 6 . 形的面积为_____
解:如图所示,由 y= x及 y=-x+2 可得 x=1.由定积分的几何意义可知, 由 y= x,y=-x+2 及 x 轴所围成的 封闭图形的面积为

?

1 0

3 2 2 xdx+ ? 1 (-x+2)dx= x 2 3

? ?1 ?0 ?

? x2? +?2x- 2 ? ? ?

? ?2 ?1 ?

7 =6.

[题点发散 2]

若本例中“y=x-2”改为“y=m”,且由曲线 f(x)

8 = x与 y 轴及直线 y=m(m>0)围成的图形的面积为3,则 m 的

2 . 值为____
m 解析: S= ? 0
2

? ?? 2 2 8 2 3 2 ?m (m- x)dx= ? mx - x ? ? 0 =m3-3m3=3, 所以 m 3 ?? ?

=2.

[题点发散3]

1 若本例变为:求曲线y= x ,y=2-x,y=- x所围 3

成图形的面积.
? ?y= x, 解:由? ? ?y=2-x

得交点 A(1,1).

? ?y=2-x, 由? 得交点 B(3,-1). 1 y=-3x ? ? 故所求面积
?2 =? ?3
3 2

S= ∫ 1 0?
?

?

? 1 ? 1 ? 3 x+3 x?dx+∫1?2-x+3 x?dx ? ? ?

? 1 2? ? 2 1 4 13 1 2? ? ?1 ?3 ? ? ? ? 2 x - x + = +6+3= 6 . x +6 x ? 0 ?1 3 3 ? ?? ?

[类题通法]

利用定积分求平面图形面积的四个步骤 (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;
(2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的 上、下限;

(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和;
(4)计算定积分,写出答案.

[提醒] 利用定积分求平面图形的面积,一定要找准积分
上、下限及被积函数,当图形的边界不同时,要分情况讨论.

考点三

定积分在物理中的应用 (重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]
1.变速直线运动问题 如果做变速直线运动的物体的速度 v 关于时间 t 的函数是 v= v(t)(v(t)≥0),那么物体从时刻 t=a 到 t=b 所经过的路程为 ? b a v(t)dt; 如果做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数是 v= v(t)(v(t)≤0), 那么物体从时刻 t=a 到 t=b 所经过的路程为- ? b a v(t)dt.
2.变力做功问题 物体在变力 F(x)的作用下, 沿与力 F(x)相同方向从 x=a 到 x=b 所做的功为 ? b a F(x)dx.

[典题例析]
(2013· 湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而 25 刹车,以速度v(t)=7-3t+ (t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至 1+t 停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( A.1+25ln 5 C.4+25ln 5 11 B.8+25ln 3 D.4+50ln 2 )

? ? 8 25 解析:由v(t)=7-3t+ =0,可得t=4?t=-3舍去?,因此汽车从 1+ t ? ?

刹车到停止一共行驶了4

s,此期间行驶的距离为 5.

?4 ? ? ?0

v(t)dt=

?4 ? ? ?0

? ? ?4 25 ? 32 ? ? 7t- t +25ln?1+t??|0=4+25ln ?7-3t+1+t?dt=? 2 ? ? ? ?

答案:C

[类题通法]

利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时,关键是 求出物体做变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关 系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定 理计算即得所求.

[演练冲关]
一物体在力
? ?5,0≤x≤2, F(x)=? ? ?3x+4,x>2

(单位: N)的作用下沿与力 F 相同

36 的方向, 从 x=0 处运动到 x=4(单位: m)处, 则力 F(x)做的功为_____
焦.

解析:由题意知,力F(x)所做的功为
2 4 ∫ ∫ W=∫4 F ( x )d x = 5d x + 0 0 2(3x+4)dx

?3 ?4 2 =5×2+?2x +4x?|2 ? ? ?3 ?3 ?? ? 2 2 =10+? ×4 +4×4-?2×2 +4×2?? =36(焦). ? ?? ?2 ?

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