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全国中学生物理竞赛第30届复赛考试试题解答与评分标准

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第 30 届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准 [2013-09-21] 【一】15分)一半径为 R 、内侧光滑的半球面固定在地面上,开口水 平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度, 其大小为 v 0 ( v0 ? 0 ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为 g . 【参考解答】 以滑块和地球为系统,它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球 面内侧运动时,可将其速度 v 分解成纬线切向 (水平方向)分量 v? 及 经线切向分量 v? . 设滑块质量为 m ,在某中间状态时,滑块位于半 球面内侧 P 处, P 和球心 O 的连线与水平方向的夹角为 ? . 由机械能 守恒得 v0 O ? P 1 1 1 2 2 2 mv0 ? ?mgR sin ? ? mv? ? mv? 2 2 2 (1) 这里已取球心 O 处为重力势能零点. 以过 O 的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴,力矩 为零;重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中,滑块相对于轴的角动量守恒,故 mv0 R ? mv? R cos? . 由 (1) 式,最大速率应与 ? 的最大值相对应 (2) vmax ? v(?max ) . 而由 (2) 式, q 不可能达到 π (3) 2 . 由(1)和(2)式, q 的最大值应与 v? ? 0 相对应,即 v? (?max ) ? 0 . (4) 【 (4)式也可用下述方法得到:由 (1)、(2) 式得 2 2 2gR sin? ? v0 tan2 ? ? v? ?0. 若 sin ? ? 0 ,由上式得 sin ? 2 gR ? 2 . 2 cos ? v0 实际上, sin ? =0 也满足上式。由上式可知 sin ?max 2 gR ? 2 . 2 cos ?max v0 由(3)式有 2 2 v? (?max ) ? 2gR sin ?max ? v0 tan2 ?max ? 0 . (4’) 】 将 v? (?max ) ? 0 代入式(1),并与式(2)联立,得 2 v0 sin 2 ? max ? 2 gR sin ? max ?1 ? sin 2 ? max ? ? 0 . (5) 以 sin ? max 为未知量,方程(5)的一个根是 sinq = 0 ,即 q = 0 ,这表示初态,其速率为最小值,不 是所求的解. 于是 sin ?max ? 0 . 约去 sin ? max ,方程(5)变为 2 2gR sin 2 ?max ? v0 sin ?max ? 2gR ? 0 . (6) 其解为 sin ? max 2 ? ? v0 g 2 R2 ? ? 1 ? 16 4 ? 1? . ? 4 gR ? v0 ? ? (7) 注意到本题中 sin ? ? 0 ,方程(6)的另一解不合题意,舍去. 将(7)式代入(1)式得,当 ? ? ?max 时, 2 v? ? 1 2 4 v0 ? v0 ? 16 g 2 R 2 , 2 ? ? (8) 考虑到(4)式有 2 vmax ? v? ? 1 2 4 v0 ? v0 ? 16 g 2 R 2 . 2 ? ? (9) 【评分标准】本题 15 分. (1)式 3 分, (2) 式 3 分,(3) 式 1 分,(4) 式 3 分, (5) 式 1 分, (6) 式 1 分,(7) 式 1 分, (9) 式 2 分. 【二】(20 分)一长

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