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四川省树德中学2017-2018学年高一12月月考数学试题+Word版含答案

时间:2018-01-17

树德中学高 2017 级高一学年上期 12 月月考数学试题
考试时间:120 分钟 全卷满分:150 分

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.请把答案集中填写在答题卷上. ) 1.设全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} ,集合 A ? {1, 2,3,5} , B ? {2, 4,6} , 则图中的阴影部分表示的集合为( )

A. {2} C. {1,3,5}
1
0.6

B. {4, 6} D. {4,6,7,8}


2.设 a ? log 1 3 , b ? 0.5 , c ? 2 3 ,则(

A. a ? b ? c
3.下列判断正确的是(

2

B. c ? b ? a


C. c ? a ? b

D. b ? a ? c

A. 若 sin ? ?

1 ? ,且 ? 为第一象限角,则 ? ? 2 6

B. 若由 a2 , 2017a 组成的集合 M 中有且仅有一个元素,则 a ? 2017

C. 若 ea ? eb ,则 ln a ? ln b D. 若函数 y ? f ( x) 在区间 (k ? 3, k ? 1) 上具有奇偶性,则 k ? 1
4.直角坐标系中,已知角 ? 的终边不在坐标轴上,则式子 的个数为( )

| sin ? | | cos ? | | tan ? | ? ? 的值 sin ? cos ? tan ?
D. 4

A. 1

B. 2

C. 3

5.函数 y ? log2 x ? x 的图象大致是( )

y

y

y

y

O
A.

x

O
B.

x

O
C.


x

O
D.

x

6.已知 ? 是第二象限角,那么

? 是( 3

A. 第一象限角 C. 第一或第二或第三象限角
则满足 1 ? f (2 x ? 3) ? 3 的 x 的取值范围是(

B. 第一或第二象限角 D. 第一或第二或第四象限角

7.函数 f ( x ) 在 [0, ??) 上单调递减,且为偶函数.若 f (?1) ? 3 , f (3) ? 1 , )

A. [1,3]
2

B. [2,3]

C. [0,1] ? [2,3] B. f ( x1 ) ? f ( x2 )

D. [0,1]


8.已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 4(a ? 0) ,若 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 0 ,则(

A. f ( x1 ) ? f ( x2 )

C. f ( x1 ) ? f ( x2 )

D. f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小不能确定

? x ? 5, x ? 6 ? 9.已知 f ( x) ? ? ,则 f (?1) ? ( ) 1 ? f ( x ? 2) , x ? 6 ? A. 4 B. 3 C. 2
A. [?1,1] C. (??, ?1) ? (1, ??)

D. 1


10.已知函数 f ( x) ? lg(ax2 ? 2 x ? a) 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围为(

B. [0,1]

D. (1, ??)

11.已知 x1 是函数 f ( x) ? x log2 x ? 2017 的一个零点,x2 是函数 g ( x) ? x ? 2x ? 2017 的一 个零点,则 x1 ? x2 的值为( )

A. 4034

B. 20172


C. 2017

D. 1

12.若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?1 ,其中 x1 , x2 ? R , 则下列说法一定正确的是(

A. f ( x) 为奇函数 C. f ( x) 为偶函数
? 2 3

B. f ( x) ? 1 为奇函数 D. f ( x) ? 1 为偶函数

二、填空题: (共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.请把答案填写在答题卷上. )

? 1 ? 13. ? ? ? 64 ?

? 20 ? lg 4 ? 2lg 5 ? ___________.

14.已知幂函数 f ( x) ? (m2 ? m ? 1) x?5m?3 在 (0, ??) 上是增函数,则 m ? _________. 15.已知非空集合 M 同时满足条件:① M ? {1, 2,3, 4,5} ; ②若 a ? M ,则 6 ? a ? M . 那么,这样的集合 M 一共有 个.

16.已知定义在 [?2, 2] 上的函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) ,其图象如下图所示:

给出下列四个命题: ①方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根

②方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根

③方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 ④方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 其中正确的命题是 . (将所有正确的命题序号填在横线上) 三、解答题(共 6 题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请将解答 过程写在答题卷的相应题号的下面. ) 17. (本题满分 10 分)

(Ⅰ) 如图, 记扇形的圆心角为 ? , 半径为 R , 弧长为 l , 面积为 S扇形 . 若已知圆心角 ? ? 扇形的周长为

?
3



2? ? 4 ,请求 S扇形 和 S弓形 . 3
R

B

l

?
O
R A

9? ??) 2 (Ⅱ)请化简: . ? 11? cos(2? ? ? )sin(? ? ? )sin( ? ? )sin( ??) 2 2 sin(? ? ? ) cos(3? ? ? ) cos(?? ? ? ) cos(

18. (本题满分 12 分)

? 5? ? ? 2 ?x? ? , B ? ? x y ? lg( x ? 4 x ? 3)? , 6 6 ? ? C ? ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1? .
记 A ? ? y y ? 6sin x ? 1, ? (Ⅰ)请求出 A ? B . (Ⅱ)若 A ? C ? A ,请求出实数 m 的取值范围.

19. (本题满分 12 分) 设在海拔 x(单位: 处的大气压强是 y(单位:Pa ) ,y 与 x 之间的关系为 y ? ce , m)
kx

其中 c, k 为常量.某游客从大气压为 1.01?10 Pa 的海平面地区,到了海拔为 2700 m 、 大气压为 0.88 ?10 Pa 的一个高原地区. (Ⅰ)请根据已有信息,求出 c 和 2700k 的值. (Ⅱ) 由于该游客感觉自己并没有产生明显的高山反应, 于是便准备攀登当地海拔为 5400 m 的雪山.请你从身体需氧的角度出发(当大气压低于 0.775 ?10 Pa 时,就会比较危险) , 分析这位游客的决定是否太冒险? (参考数据: ln 0.88 ? ?0.13 , ln1.01 ? 0.01 , e
?0.24 ?5 ?5

?5

? 0.787 , e?0.26 ? 0.771 , e?0.28 ? 0.756 )

20.已知二次函数 f ( x ) 满足 f (5 ? x) ? f (5 ? x) ,且 f (5) ? ?9 , f (0) ? 16 . (Ⅰ)请求出函数 f ( x ) 的解析式. (Ⅱ)若当 ? ? (0, ? ) 时, f (sin ? ) ? f (cos ? ) ? 35 ,请求出 tan ? 的值. (Ⅲ)若关于 x 的方程 lg ? f ( x) ? m? ? lg(18 ? 6x) 在区间 (0,3) 内有唯一解,

请求出实数 m 的取值范围.

21. (本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? e x 能表示成一个奇函数 g ( x) 和一个偶函数 h( x) 的和. (Ⅰ)请分别求出 g ( x) 与 h( x) 的解析式;

g ( x) ,请判断函数 F ( x) 的奇偶性和单调性,并分别说明理由. h( x ) ?1 2 ? (ln x) 2 ? m ? ? F (3 ? ln x 2 ) ? 0 能成立, (Ⅲ)若存在 x ? ? , e ? ,使得不等式 F ? ? ? ?e ? 请求出实数 m 的取值范围.
(Ⅱ)记 F ( x ) ?

22. (本题满分 12 分) 对于定义域为 I 的函数,如果存在区间 [m, n] ? I ,同时满足下列条件: (1) f ( x ) 在区间 [m, n] 上是单调的; (2)当定义域是 [m, n] 时, f ( x ) 的值域也是 [m, n] . 则称 [m, n] 是函数 y ? f ( x) 的一个“优美区间” .

4 ( x ? 0) 不存在“优美区间” . x 2 (Ⅱ)已知函数 y ? x ? 2x ? 2 在 R 上存在“优美区间” ,请求出它的“优美区间” .
(Ⅰ)请证明:函数 y ? 3 ? (Ⅲ)如果 [m, n] 是函数 y ? 最大值.

(a 2 ? a ) x ? 1 (a ? 0) 的一个“优美区间” ,请求出 n ? m 的 a2 x

树德中学高 2017 级高一学年上期 12 月月考数学试题 参考解答
命题人:陈杰 一、选择题: BADBA 二、填空题:13. 15 . 考试时间:120 分钟 全卷满分:150 分

D C A C B CB
14. ?1 . 15. 7 16.① ③④

三、解答题:

2? ? ? 4 ? 2 R ? l 及弧长 l ? ? R ? R , 3 3 1 2 2 可解得 R ? 2 ? S扇形 ? ? R ? ? ????????????3 分 2 3 2 3 2 又 S?OAB ? R ? 3 ,? S弓形 ? S扇形 ? S?OAB ? ? ? 3 ??????????5 分 3 4 sin ? ? (? cos ? ) ? (? cos ? ) ? (? sin ? ) (Ⅱ)原式 ? ? ? tan ? .?????????10 分 cos ? ? (? sin ? ) ? cos ? ? (? cos ? )
17.解: (Ⅰ)由周长

18.解: (Ⅰ)由 ?

?

6 ? A ? [?2, 7] .???????????????2 分 2 由 x ? 4 x ? 3 ? 0 可得 x ? 3 或 x ? 1 ,? B ? (??,1) ? (3, ??) ??????4 分 从而得? A ? B ? [?2,1) ? (3,7] ???????????????6 分

?x?

5? 1 可得 ? ? sin x ? 1 , y ? 6sin x ? 1?[?2,7] , 6 2

(Ⅱ)由 A ? C ? A ,可知 C ? A ,分类讨论如下: (1)若 C ? ? ,符合题意,此时有 m ? 1 ? 2m ? 1 ,即得 m ? 2 ??????8 分

? m ? 1 ? 2m ? 1 ? (2)若 C ? ? ,此时有 ? m ? 1 ? ?2 ,解得 2 ? m ? 4 ??????10 分 ? 2m ? 1 ? 7 ?
综上可得, m ? 4 为所求.???????????????12 分

19.解: (Ⅰ)由已知可得 ?

?5 0 ?5 ? ? ?1.01?10 ? ce ?c ? 1.01?10 ? ? ?5 2700 k ?5 ?5 2700 k ? ? ?0.88 ?10 ? ce ?0.88 ?10 ? 1.01?10 e

?c ? 1.01?10?5 ? ?? 0.88 ? ?0.13 ? 0.01 ? ?0.14 ?2700k ? ln 1.01 ? ?c ? 1.01?10?5 , 2700k ? ?0.14 ??6 分

? 1.01?10?5 ? e?0.28 ?5 ?5 ?5 结合参考数据,则有 y ? 1.01?10 ? 0.756 ? 0.76356 ?10 ? 0.775 ?10
(Ⅱ)由已知有,海拔 5400 m 处,大气压 y ? 1.01?10 ? e
5400 k

?5

故这位游客的决定比较冒险.……………………………………12 分 20. 解: (Ⅰ) (方法不唯一) 由已知可得二次函数 f ( x ) 对称轴为 x ? 5 , 顶点坐标为 (5, ?9) ,
2 故可设 f ( x) ? a( x ? 5) ? 9 .再由 f (0) ? 16 可解得 a ? 1

则所求函数解析式为 f ( x) ? x ?10x ? 16 ???????????????3 分
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)及 f (sin ? ) ? f (cos ? ) ? 35 ,化简整理得到 sin ? ? cos ? ? ?

1 5

(以下解法不唯一)

24 ? 0 ,?? ? (0, ? ) ,?sin ? ? 0,cos ? ? 0 25 49 2 从而有 sin ? ? cos ? ? 0 ,且 (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 25 7 1 3 4 则 sin ? ? cos ? ? ,联立 sin ? ? cos ? ? ? 可解得 sin ? ? , cos ? ? ? 5 5 5 5 3 y 从而有 tan ? ? ? ??????????????8 分 4
平方整理之得到 2sin ? ? cos ? ? ?

? x 2 ? 10 x ? 16 ? m ? 18 ? 6 x (Ⅲ)方程等价于 ? 有唯一解 ?0 ? x ? 3 2 即 m ? 2 ? x ? 4 x 在区间 (0,3) 内有唯一解, 转化为直线 y ? m ? 2 与 y ? x2 ? 4x(0 ? x ? 3) 图象
有唯一公共点 作图分析可得, ?3 ? m ? 2 ? 0 或 m ? 2 ? ?4 则 ?5 ? m ? ?2 或 m ? ?6 ?????????12 分

O
?3
?4

2

3

x y ? m?2
y ? ?4

21.解: (Ⅰ)由已知可得 g ( x) ? h( x) ? e x ,则 g (? x) ? h(? x) ? e? x 又由奇函数 g ( x) 和偶函数 h( x) ,上式可化为 ? g ( x) ? h( x) ? e ,联立 g ( x) ? h( x) ? e 可得 g ( x) ?
?x x

e x ? e? x e x ? e? x h ( x ) ? , ?????????????3 分 2 2

e x ? e? x ,已知其定义域为 R e x ? e? x e? x ? e x e x ? e? x ? ? F ( x ) F ( x ) ? (1)由 F (? x) ? ? x ,可知 为 R 上的奇函数??5 分 e ? ex e x ? e? x e x ? e? x e2 x ? 1 2 ? 2x ? 1? 2x (2)由 F ( x) ? x ?x e ?e e ?1 e ?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 F ( x) ? 或应用定义法证明,或结合复合函数单调性分析等方法, 可得 F ( x) ?

e x ? e? x 在 R 上单调递增????????????????????8 分 e x ? e? x

2 2 (Ⅲ)由 F ( x) 为 R 上的奇函数,则 F ? ?(ln x) ? m ? ? ? F (3 ? ln x ) ? 0 等价于 2 F? ?(ln x) ? m ? ? ? ? F (3 ? 2 ln x) ? F (?3 ? 2 ln x)

又由 F ( x) 在 R 上单调递增,则上式等价于 (ln x) ? m ? ?3 ? 2ln x
2

即 m ? (ln x) ? 2ln x ? 3
2

记 y ? (ln x)2 ? 2ln x ? 3 ,令 t ? ln x, x ? ? , e2 ? ,

?1 ?e

? ?

1 时, ymax ? 6 e 由题意知, m ? ymax ,故所求实数 m 的取值范围是 ( ??, 6) .?????????12 分
可得 y ? t 2 ? 2t ? 3 , t ?? ?1,2? ,易得当 t ? ?1 ,即 x ? 22. (本题满分 12 分,第一问 3 分,第二问 4 分,第三问 5 分) 解: (Ⅰ)由 y ? 3 ? 即方程 3 ? 而3?

4 为 (0, ??) 上的增函数,则有 f (m) ? m , f (n) ? n x

4 ? x 有两个不同的解 m, n x

4 ? x ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,易知该方程无实数解, x 4 所以函数 y ? 3 ? ( x ? 0) 不存在“优美区间” ???????3 分 x
(Ⅱ)记 [m, n] 是函数 y ? x2 ? 2x ? 2 的一个“优美区间” (m ? n) , 由 y ? ( x ? 1)2 ? 1 ? 1及此时函数值域为 [m, n] ,可知 m ? 1 ,而其图象对称轴为 x ? 1 那么 y ? x2 ? 2x ? 2 在 [m, n] 上必为增函数 同(Ⅰ)中的分析,有方程 x ? 2 x ? 2 ? x 有两个不同的解 m, n
2

解之则得 m ? 1, n ? 3 ,故该函数有唯一一个“优美区间” [1,3] ???????7 分

(a 2 ? a) x ? 1 a ? 1 1 ? ? 2 在 (??, 0) 和 (0, ??) 上均为增函数, a2 x a a x 已知 f ( x ) 在“优美区间” [m, n] 上单调, 所以 [m, n] ? (??, 0) 或 [m, n] ? (0, ??) ,且 f ( x ) 在 [m, n] 上为单调增, 则同理可得 f (m) ? m , f (n) ? n a ?1 1 ? 2 ? x 的两个同号的实数根 即 m, n(m ? n) 是方程 a a x 1 2 2 2 等价于方程 a x ? (a ? a) x ? 1 ? 0 有两个同号的实数根,并注意到 mn ? 2 ? 0 a 2 2 2 则只要 ? ? (a ? a) ? 4a ? 0 ,解得 a ? 1 或 a ? ?3
(Ⅲ)由 f ( x) ?

a2 ? a a ? 1 1 ? , mn ? 2 而由韦达定理知 n ? m ? 2 a a a
4 3 2 ? a ?1 ? ? 1 1? 4 所以 n ? m ? (n ? m) ? 4mn ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 1 ? ?3 ? ? ? ? a a ? a ? a ? a 3? 3
2 2 2

其中 a ? 1 或 a ? ?3 ,所以当 a ? 3 时, n ? m 取得最大值

2 3 ??????12 分 3


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