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江苏专用2018高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第24课二倍角的三角函数教师用书

时间:2017-10-13


第 24 课
[最新考纲] 内容

二倍角的三角函数
要求 A B √ C

二倍角的正弦、余弦及正切

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α =2sin α cos α ; (2)cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ; 2tan α (3)tan 2α = . 2 1-tan α 2.二倍角公式的变形及逆用 (1)公式 C2α 的变形: 1 2 ①sin α = (1-cos 2α ); 2 1 2 ②cos α = (1+cos 2α ). 2 (2)公式的逆用: ①1±sin 2α =(sin α ±cos α ) ; π? ? ②sin α ±cos α = 2sin?α ± ?. 4? ?
2 2 2 2 2

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)对? α ∈R,sin 2α =2sin α 均不成立.( (2)sin
2

)

π π 2 2π -cos =cos = .( 8 8 4 2

) ) )

(3)sin α +cos α = 1+sin 2α .( (4)等式 1+cos α =2sin
2

α 对? α ∈R 均成立.( 2

[答案] (1)? (2)? (3)? (4)?

1

2.下列各式中值为

3 的是________.(填序号) 2
2 2 2 2 2

①2sin 15°cos 15°; ②cos 15°-sin 15°; ③2sin 15°-1; ④sin 15°+cos 15°. ②
2

1 3 2 2 [2sin 15°cos 15° = sin 30° = , cos 15° - sin 15° = cos 30° = , 2 2 3 , 2

2sin 15°-1=-cos 30°=- sin 15°+cos 15°=1.]
2 2

2 5 ? π? 3.若 sin α = ,α ∈?0, ?,则 tan 2α =________. 2? 5 ? - 4 3 2 5 ? π? [∵α ∈?0, ?,sin α = , 2? 5 ?
2

∴cos α = 1-sin α = ∴tan α =2,

5 , 5

2tan α 4 4 ∴tan 2α = = =- .] 2 1-tan α 1-4 3 sin 2α 4.(2017?南京模拟)若 tan α = 3,则 =________. 1+cos 2α 3 sin 2α 2sin α cos α [ = =tan α = 3.] 2 1+cos 2α 2cos α

5.(教材改编)函数 f(x)= 3sin x+cos x 的最小值为________. -2

? π? [函数 f(x)=2sin?x+ ?的最小值是-2.] 6? ?

应用倍角公式求值 (2017?无锡模拟)已知 cos? (1)求 sin 2α 的值; (2)求 tan α - 1 的值. tan α

?π +α ?6

?cos?π -α ? ?3 ? ?

?=-1,α ∈?π ,π ?. ? ?3 2? 4 ? ? ?

?π ? ?π ? [解] (1)cos? +α ??cos? -α ? ?6 ? ?3 ? ?π ? ?π ? =cos? +α ??sin? +α ? 6 ? ? ?6 ?

2

π? 1 ? 1 = sin?2α + ?=- , 3? 2 ? 4 π? 1 ? 即 sin?2α + ?=- . 3 2 ? ? ∵α ∈?

?π ,π ?, ? ?3 2?

4π ? π ? ∴2α + ∈?π , ?, 3 ? 3 ? π? 3 ? ∴cos?2α + ?=- , 3 2 ? ? π? π? ?? ∴sin 2α =sin??2α + ?- ? 3? 3? ? ? π? π π? π 1 ? ? =sin?2α + ?cos -cos?2α + ??sin = . 3? 3? 3 3 2 ? ?

?π π ? ?2π ? (2)∵α ∈? , ?,∴2α ∈? ,π ?. ?3 2? ? 3 ?
1 3 又由(1)知 sin 2α = ,∴cos 2α =- . 2 2
2 2

∴ tan α -

1 sin α cos α sin α -cos α -2cos 2α = - = = =-2? = tan α cos α sin α sin α cos α sin 2α 1 2



3 2

2 3. [规律方法] 给出某些角的三角函数式的值, 求另外一些角的三角函数值, 解题关键在 于“变角”,使其角相同或具有某种关系.如本题中? 诱导公式变换函数名,进而逆用二倍角公式求值. π? 5 ? [变式训练 1] (2017?南京、盐城二模)已知 α 为锐角,cos?α + ?= . 4? 5 ? π? ? (1)求 tan?α + ?的值; 4? ? π? ? (2)求 sin?2α + ?的值. 【导学号:62172133】 3? ? π ?π 3π ? ? π? [解] (1)因为 α ∈?0, ?,所以 α + ∈? , ?, 2? 4 ? 4 ?4 ? π? ? 所以 sin?α + ?= 4? ? π? 2 5 2? 1-cos ?α + ?= , 4? 5 ?

?π +α ?+?π -α ?=π ,从而先利用 ? ?3 ? 2 ?6 ? ? ?

3

π? ? sin?α + ? 4? π? ? ? 所以 tan?α + ?= =2. 4? π ? ? ? cos?α + ? 4? ? π? π ?? π? ? π? 4 ? ? ? ? (2)因为 sin?2α + ?=sin?2?α + ??=2sin?α + ?cos?α + ?= , 2? 4 ?? 4? ? 4? 5 ? ? ? ? π? π ?? π? 3 ? ? ? 2? cos?2α + ?=cos?2?α + ??=2cos ?α + ?-1=- , 2? 4 ?? 4? 5 ? ? ? ? π? π? π? π? π? π π ?? ? ? ? 所以 sin?2α + ?=sin??2α + ?- ?=sin?2α + ?cos -cos?2α + ?sin 2 3 2 2 6 6 ? 6? ? ? ? ? ? ? ?? 4 3+3 = . 10 应用倍角公式化简

sin 2α -2cos α (1)化简: =________. π? ? sin?α - ? 4? ? 1 4 2 2cos x-2cos x+ 2 (2)化简: . ?π ? 2?π ? 2tan? -x?sin ? +x? ?4 ? ?4 ? (1)2 2cos α 2sin α cos α -2cos α [原式= =2 2cos α .] 2 ?sin α -cos α ? 2
2

2

1 2 2 -2sin xcos x+ 2 (2)原式= ?π ? 2?π ? 2sin? -x?cos ? -x? ?4 ? ?4 ? π ? ? cos? -x? ?4 ? 1 1 2 2 ?1-sin 2x? cos 2x 2 2 1 = = = cos 2x. π π π ? ? ? ? ? ? 2 2sin? -x?cos? -x? sin? -2x? ?4 ? ?4 ? ?2 ? [规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公 式. (2)二看“函数名称”, 看函数名称之间的差异, 从而确定使用的公式, 最常见的是“切 化弦”. (3)三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向.
4

2.三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂. π? π? 2? 2? 2 [变式训练 2] 化简 sin ?α - ?+sin ?α + ?-sin α =________. 6? 6? ? ? 1 2 π? π? ? ? 1-cos?2α - ? 1-cos?2α + ? 3? 3? ? ? 2 [法一:原式= + -sin α 2 2

π? π ?? 1? ? π ? 2 2 = 1 - ?cos?2α - ?+cos?2α + ?? - sin α = 1 - cos 2α ?cos - sin α = 1 - 3? 3 ?? 2? ? 3 ? cos 2α 1-cos 2α 1 - = . 2 2 2 1 1 1 法二:令 α =0,则原式= + = .] 4 4 2 三角变换的简单应用 π? 2 2? 已知函数 f(x)=sin x-sin ?x- ?,x∈R. 6? ? (1)求 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. 【导学号:62172134】 ? 3 4?
[解] (1)由已知,有 π? ? 1-cos?2x- ? 3? 1-cos 2x ? f(x)= - 2 2 1?1 3 ? 1 = ? cos 2x+ sin 2x?- cos 2x 2?2 2 ? 2 = π? 3 1 1 ? sin 2x- cos 2x= sin?2x- ?. 6? 4 4 2 ? 2π =π . 2

所以 f(x)的最小正周期 T=

π? ? π (2)因为 f(x)在区间?- ,- ?上是减函数, 6? ? 3

? π π? 在区间?- , ?上是增函数, ? 6 4?
1 ? π? 1 ?π ? 3 ? π? 且 f?- ?=- ,f?- ?=- ,f? ?= , 4 ? 6? 2 ?4? 4 ? 3? 3 1 ? π π? 所以 f(x)在区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 4 2 ? 3 4? [规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间

5

的关系;注意公式的逆用和变形使用. 2.把形如 y=asin x+bcos x 化为 y= a +b sin(x+φ ),可进一步研究函数的周期、 单调性、最值与对称性.
2 2

?π ? 2 [变式训练 3] 已知函数 f(x)=sin? -x?sin x- 3cos x. ?2 ?
(1)求 f(x)的最小正周期和最大值; (2)讨论 f(x)在?

?π ,2π ?上的单调性. ? 3 ? ?6 ?π -x?sin x- 3cos2x ? ?2 ?

[解] (1)f(x)=sin? =cos xsin x-

π? 3 1 3 3 3 ? (1+cos 2x)= sin 2x- cos 2x- =sin?2x- ?- . 3? 2 2 2 2 2 ?

2- 3 因此 f(x)的最小正周期为 π ,最大值为 . 2 π ?π 2π ? (2)当 x∈? , ?时,0≤2x- ≤π , 3 ? 3 ?6 π π π 5π 从而当 0≤2x- ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递增, 3 2 6 12 当 π π 5π 2π ≤2x- ≤π ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 2 3 12 3

?π 5π ? ?5π ,2π ?上单调递减. 综上可知,f(x)在? , ?上单调递增;在? ? 3 ? ? 6 12 ? ? 12

6

[思想与方法] 1.三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系,然后进行 变换. 2.利用三角函数值求角要考虑角的范围. 3.与三角函数的图象与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已知条件中的函 数解析式整理为 f(x)=Asin(ω x+φ )的形式,然后借助三角函数图象解决. [易错与防范] 1.利用辅助角公式 asin x+bcos x 转化时,一定要严格对照和差公式,防止弄错辅助 角. 2.计算形如 y=sin(ω x+φ ),x∈[a,b]形式的函数最值时,不要将 ω x+φ 的范围 和 x 的范围混淆. 课时分层训练(二十四) A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、填空题 π? 2 2? 1.已知 sin 2α = ,则 cos ?α + ?等于________. 4? 3 ? 1 6 π? ? 1+cos 2?α + ? 4? π ? ? 2? [因为 cos ?α + ?= 4? 2 ?

π? 2 ? 1- 1+cos?2α + ? 2 3 1 ? ? 1-sin 2α = = = = .] 2 2 2 6

?π ? 2.设 sin 2α =-sin α ,α ∈? ,π ?,则 tan 2α 的值是________. ?2 ?
【导学号:62172135】 3 [∵sin 2α =2sinα cos α =-sin α ,

1 ∴cos α =- , 2

?π ? 又 α ∈? ,π ?, ?2 ?
∴sin α = 3 ,tan α =- 3, 2

2tan α -2 3 ∴tan 2α = = = 3.] 2 1-tan α 1-?- 3?2 1 3.(2016?全国卷Ⅲ改编)若 tan θ =- ,则 cos 2θ =________. 3
7

4 5

cos θ -sin θ 1-tan θ [∵cos 2θ = 2 = . 2 2 cos θ +sin θ 1+tan θ

2

2

2

1 1- 9 4 1 又∵tan θ =- ,∴cos 2θ = = .] 3 1 5 1+ 9 3 ?π ? 4.已知 sin α = ,α ∈? ,π ?,则 5 ?2 ? 7 5 cos 2α π? ? 2sin?α + ? 4? ? cos α -sin α 2? 2 ? 2 ? sin α + cos α ? 2 2 ? ?
2 2

cos 2α

π? ? 2sin?α + ? 4? ?

=________.



[



=cos α -sin α . 3 ?π ? ∵sin α = ,α ∈? ,π ?, 5 ?2 ? 4 ∴cos α =- . 5 7 ∴原式=- .] 5 5.(2017?苏州模拟)已知 sin(α -45°)=- ________. 【导学号:62172136】 7 25 [∵sin(α -45°)=- 2 , 10 2 且 0°<α <90°,则 cos 2α 的值为 10

1 ∴sin α -cos α =- , 5 24 ∴2sin α cos α = , 25 7 ∴sin α +cos α = 1+sin 2α = , 5 3 4 ∴sin α = ,cos α = . 5 5 7 2 2 ∴cos 2α =cos α -sin α = .] 25 6.(2016?山东高考改编)函数 f(x)=( 3sin x+cos x)( 3cos x-sin x)的最小正 周期是________.

8

π =4?

[法一:∵f(x)=( 3sin x+cos x)( 3cos x-sin x) 1 1 ? 3 ?? 3 ? sin x+ cos x?? cos x- sin x? 2 2 ?2 ?? 2 ?

π? ? π? ? π? ? =4sin?x+ ?cos ?x+ ?=2sin?2x+ ?, 6 6 3? ? ? ? ? ? 2π ∴T= =π . 2 法二:∵f(x)=( 3sin x+cos x)( 3cos x-sin x) =3sin xcos x+ 3cos x- 3sin x-sin xcos x =sin 2x+ 3cos 2x π? ? =2sin?2x+ ?, 3? ? 2π ∴T= =π .] 2
2 2

?π ? 1 ?π ? 7.(2017?苏州模拟)若 sin? -α ?= ,则 cos? +2α ?=________. ?3 ? 4 ?3 ?
【导学号:62172137】 - 7 ?π ? ? ?2 ?? [cos? +2α ?=cos?π -? π -2α ?? 8 ?3 ? ? ?3 ??

?2 ? ? ?? 2?π =-cos? π -2α ?=-?1-2sin ? -α ?? ?3 ? ? ?3 ??
7 ? ?1?2? =-?1-2?? ? ?=- .] 8 ? ?4? ? 8.化简 2+2cos 8+2 1-sin 8=________. -2sin 4 [ 2+2cos 8+2 1-sin 8 = 2?1+cos 8?+2 1-2sin 4cos 4 = 2?2cos 4+2 ?sin 4-cos 4?
2 2

=-2cos 4+2(cos 4-sin 4)=-2sin 4.] 9.(2017?南通模拟)若 α ∈? 为________. - 17 18

?π ,π ?,且 3cos 2α =sin?π -α ?,则 sin 2α 的值 ? ?4 ? ?2 ? ? ?

?π ? [∵3cos 2α =sin? -α ?, ?4 ? ?π -2α ?2 ?=sin?π -α ? ?4 ? ? ?, ? ?

∴3sin?

?π ? ?π ? ?π ? ∴3?2sin? -α ?cos? -α ?=sin? -α ?. ?4 ? ?4 ? ?4 ?
9

?π ? ?π ? 1 ∴sin? -α ?≠0,∴cos? -α ?= , ?4 ? ?4 ? 6
即 sin α +cos α = 2 , 6

34 17 ∴sin 2α =- =- .] 36 18 2 ? π? 4 4 10.已知 cos α -sin α = ,且 α ∈?0, ?, 2? 3 ? π? ? 则 cos?2α + ?=______________. 3? ? 2- 15 6 2 4 4 2 2 [∵cos α -sin α =cos α -sin α =cos 2α = , 3

? π? 又 α ∈?0, ?,∴2α ∈(0,π ). 2? ?
∴sin 2α = 5 . 3

π? π π ? ∴cos?2α + ?=cos 2α cos -sin 2α sin 3 3 3 ? ? 1 3 = cos 2α - sin 2α 2 2 1 2 3 5 = ? - ? 2 3 2 3 = 2- 15 .] 6

二、解答题 11.(2017?盐城期中)已知函数 f(x)= 3sin xcos x-cos x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 f(x)=-1,求 cos? [解] (1)因为 f(x)= 1 , 2 2π 所以 f(x)的最小正周期为 T= =π . 2 π? 1 π? 1 ? ? (2)因为 f(x)=-1,所以 sin?2x- ?- =-1,即 sin?2x- ?=- , 6? 2 6? 2 ? ?
2

?2π -2x?的值. ? ? 3 ?

π? 3 1+cos 2x 3 cos 2x 1 ? sin 2x- = sin 2x- - =sin?2x- ?- 6? 2 2 2 2 2 ?

10

所以 cos?

π ? π? 1 ?2π -2x?=cos?π -? ? 2x- ? =sin?2x- ?=- . ? ? ? ? ? 6 ?? 6? 2 ? 3 ? ? ?2 ?
2

12.已知函数 f(x)=cos x+sin xcos x,x∈R.

?π ? (1)求 f? ?的值; ?6?
3 ?π ? ?α π ? (2)若 sin α = ,且 α ∈? ,π ?,求 f? + ?. 2 5 ? ? ? 2 24? π π ?π ? 2π [解] (1)f? ?=cos +sin cos 6 6 6 6 ? ? =? 3 3+ 3 ? 3?2 1 ? +2? 2 = 4 . ?2?

1+cos 2x 1 2 (2)因为 f(x)=cos x+sin xcos x= + sin 2x 2 2 π? 1 1 1 2 ? = + (sin 2x+cos 2x)= + sin?2x+ ?. 4? 2 2 2 2 ? 所以 f?

?α +π ?=1+ 2sin?α +π +π ? ? ? 12 4 ? ? 2 24? 2 2 ? ?

π? 1 1 2 ? 2 ?1 3 ? = + sin?α + ?= + ? sin α + cos α ?. 3 ? 2 2 ?2 2 2 ? 2 ? 3 ?π ? 又因为 sin α = ,且 α ∈? ,π ?, 5 ?2 ? 4 所以 cos α =- , 5 所以 f? = 3 4? ?α +π ?=1+ 2?1 3 ? ? ? - ? ? ? 2 24? 2 2 ?2 5 2 5?

10+3 2-4 6 . 20 B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟)

1.函数 f(x)=3sin cos +4cos (x∈R)的最大值等于________. 2 2 2 9 2 3 1+cos x 3 [由题意知 f(x)= sin x+4? = sin x+2cos x+2≤ 2 2 2 9 9 +4+2= .] 4 2

x

x

2

x

2.如图 24?1,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A,点 C,B 在圆 O 上,且点 C 位于第一象 5? α α 3 ?12 2α 限,点 B 的坐标为? ,- ?,∠AOC=α .若|BC|=1,则 3cos -sin cos - 的值 13? 2 2 2 2 ?13 为________.

11

图 24?1 5 13 [ 由题意得 |OB| = |OC| = |BC| = 1 ,从而△ OBC 为等边三角形,∴ sin ∠ AOB =

?π ? 5 sin? -α ?= , ?3 ? 13
∴ 3cos
2

α α α 3 1+cos α sin α 3 1 3 -sin ?cos - = 3? - - =- sin α + cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2π ? 2π ?? ? ? ? ?π ? 5 α =sin?α + ?=sin?π -?α + ??=sin? -α ?= .] 3 3 3 ? ? ? ? ?? ? ? 13 1 1 3.已知 α ,β ∈(0,π ),且 tan(α -β )= ,tan β =- ,求 2α -β 的值. 2 7 [解] ∵tan α =tan[(α -β )+β ] = tan?α -β ?+tan β 1-tan?α -β ?tan β

1 1 - 2 7 1 = = >0, 1 1 3 1+ ? 2 7 π ∴0<α < . 2 1 2? 3 2tan α 3 又∵tan 2α = = = >0, 2 1-tan α 1 ? ?2 4 1-? ? ?3? π ∴0<2α < , 2 tan 2α -tan β ∴tan(2α -β )= 1+tan 2α tan β 3 1 + 4 7 = =1. 3 1 1- ? 4 7 1 ∵tan β =- <0, 7

12



π 3π <β <π ,-π <2α -β <0,∴2α -β =- . 2 4

? π? 4.已知函数 f(x)=2sin xsin?x+ ?. 6? ?
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间;

? π? (2)当 x∈?0, ?时,求函数 f(x)的值域. 2? ?
[解] (1)f(x)=2sin x? + 3 . 2 所以函数 f(x)的最小正周期为 T=π . π π π 由- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 解得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 12 12 5π ? π ? 所以函数 f(x)的单调递增区间是?- +kπ , +kπ ?,k∈Z. 12 ? 12 ? π ? π 2π ? ? π? (2)当 x∈?0, ?时,2x- ∈?- , ?, 2? 3 ? 3 ? 3 ? π? ? 3 ? ? sin?2x- ?∈?- ,1?, 3? ? 2 ? ? π? 1-cos 2x 1 1 ? 3 ? ? + sin 2x=sin?2x- ? sin x+ cos x?= 3? 3? 2 2 ? 2 2 ? ?

f(x)∈?0,1+

? ?

3? ?. 2?

故 f(x)的值域为?0,1+

? ?

3? ?. 2?

13


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