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2012年新高一数学竞赛17

时间:2012-10-07

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

平面几何竞赛基础 17

──

西姆松定理与逆定理
姓名 _____________

爱因斯坦曾说:如果平面几何不能激起一个人的好奇心,那么这个人在科学上的发展也不会很远诶. 自学处理方法:先阅读完成例题解答,再独立完成练习并将解答回发 jylingbin@163.com 邮箱,以便批阅反馈. 注意要求目的: 要求独立完成, 可以参阅资料. 目的是开学后考试选拔 100 名思维好且钻研能力强的竞赛选手.

一、基本知识 定理:从 ΔABC 的外接圆上任意一点 P 向 BC、CA、AB 或三边的延长线引垂线,垂足分别为 D、E、 F;则 D、E、F 三点共线.其逆命题也成立,称为逆定理;这条线称为西姆松线. 证明:
A

F D B E P C

二、重要例题 例1.如图,已知 ΔABC 的顶点 A 在∠B、∠C 两角的内外平分线上的射影分别是 P、Q、R、 S;I 是内心;求证:P、Q、R、S 四点共线. 证明:
A

P

Q

R

S

I
B C

1

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

例2.利用西姆松定理证明托勒密定理. (提示:本题要使用正弦定理,可以找必修5看第一章,或上网查) 证明:

A D

B

C

例3. 如图过 ΔABC 外接圆上一点 P, 引三边 BC、 CA、 分别成同向等角 AB (即:∠PDB=∠PEC=∠PFB) 的直线 PD、PE、PF,与三边的交点分别为 D、E、F;则 D、E、F 三点共线. 证明:

A

F D

B

C

P

E

2

2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

三、巩固练习 17

(以下两道题的解答要回发到邮箱 jylingbin@163.com)

1.设 ΔABC 的高 AD,自垂足 D 向另两边和两高线分别作垂线,则四个垂足 M、N、P、Q 共线.
A

F M H P Q E

N

B

D

C

2.设 ΔABC 是圆 O 的内接等边三角形,P 是圆上的任意一点;求证:P 的西姆松线平分半径 OP.

A P

O

B

C

3.设 ΔABC 的外接圆的任意直径为 PQ,求证:关于 P、Q 的两条西姆松线互相垂直.

A P

O

B

C

Q

3


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