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2017年定积分导学案

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沙湾县第一中学

高二年级

数学(选修 2-2)

第一章

定积分

编写:王建全 袁长涛

1.5 定积分的概念 (一) 一,学习任务 1.连续函数 2.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形: (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割: ②近似代替: ③求和: ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯 形的面积.

【例题 1】求由直线 x=1,y=0 及曲线 y=x2 所围成的图形的面积 S.

思考 1 在求曲边梯形面积中第一步“分割”的目的是什么? 思考 2 求曲边梯形面积时,能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢?怎样才能减小误差?

3.变速直线运动的路程 一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为 v=v(t),那么也可以采用分割、近似代替、求和、 取极限的方法,求出它在 a≤t≤b 内的位移 s. 【例题 2】一辆汽车做变速直线运动,设汽车在时刻 t 的速度 v(t)= - t2+2 , 求汽车在 t=0 到 t =1 这段时间内运动的路程 s.

二,巩固练习 1.和式 ? (yi ? 1) 可表示为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(
i ?1 5

)

A.(y1+1)+(y5+1) C.y1+y2+y3+y4+y5+5

B.y1+y2+y3+y4+y5+1 D.(y1+1)(y2+1)?(y5+1) 第 1 页

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第一章

定积分

编写:王建全 袁长涛

2.在求由 x=a、x=b(a<b)、y=f(x)(f(x)≥0)及 y=0 围成的曲边梯形的面积 S 时,在区间[a, b]上等间隔地插入 n-1 个分点,分别过这些分点作 x 轴的垂线,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形, 下列说法中正确的个数是 ( ) ①n 个小曲边梯形的面积和等于 S; ②n 个小曲边梯形的面积和小于 S; ③n 个小曲边梯形的面积和大于 S; ④n 个小曲边梯形的面积和与 S 之间的大小关系无法确定 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.在“近似代替”中,函数 f(x)在区间[xi,xi+1]上的近似值等于。。。。。。。。。。。。( ) A.只能是左端点的函数值 f(xi) B.只能是右端点的函数值 f(xi+1) C.可以是该区间内任一点的函数值 f(ξ i)(ξ i∈[xi,xi+1]) D.以上答案均不正确 1 4.在求由函数 y= 与直线 x=1、x=2、y=0 所围成的平面图形的面积时,把区间[1,2]等分成 n

x

个小区间,则第 i 个小区间为。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。( i -1 i n+i-1 n+i i i+1 A.[ , ] B.[ , ] C.[i-1,i] D.[ , ]

)

n

n

n

n

n

n

5.曲线 y=cosx(0≤x≤2π )与 y=1 围成的面积是。。。。。。。。。。。。。。。。。( 5π A.4π B. C.3π D.2π 2 i ?1 i , ] (i=1,2, 6. 当 n 很大时, 函数 f(x)=x2 在区间 [ ?, n)上的值可以用______近似代替( n n i 1 i 1 A. B. f( ) C. f( ) D. n n n n 7.求直线 x=0、x=2、y=0 与曲线 y=x2 所围成曲边梯形的面积.

)

)

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定积分

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1.5 定积分的概念 (二) 一,基础知识 1、定积分的定义

?

b

a

f ( x )dx ?
, f ( x )叫
b a

; a叫 , x叫

, b叫

, , f ( x)dx 叫 。 。 。

?a, b? 叫

2、定积分 ? f ( x )dx 的几何意义是: 3 ? f1 ( x)dx - ? f 2 ( x)dx 的几何意义是:
a a b b

4、定积分的性质:

。 。 。

二、解答题: 例1. 函数 f ( x) ? x 在区间 ?a, b? 上连续,如同曲边梯形面积得四步曲求法写出运算过程.

例 2.计算下列定积分的值,并从几何上解释这个值表示什么? (1)

? x dx
3 0

1

(2)

? (?t
0

1

2

? 2)dt

例 3.利用定积分的几何意义说明 ? 1 ? x 2 dx 的大小.
0

1

二,巩固练习 1. 设连续函数 f ( x) ? 0 ,则当 a ? b 时,定积分 ? f ( x)dx 的符号。。。。。。。。。。。。。。(
a b

)

A.一定是正的

B.一定是负的

C.当 0 ? a ? b 时是正的

D.以上都不对

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第一章

定积分

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2. 与定积分 ? A.

3 ? 2 0

sin x dx 相等的是。。。。。。。。。。

。( D. ? 2 sin xdx ? ?? 2 sin xdx
0 2

)

?

3 ? 2 0

sin xdx
b

B. ? 2 sin xdx
0

3

?

C. ? sin xdx - ? 2 sin xdx
0

?

3

?

?

3?

?

3. 定积分的 ? f ( x)dx 的大小。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(
a

)

A. B. C. D.

与 f ( x) 和积分区间 ?a, b? 有关,与 ? i 的取法无关. 与 f ( x) 有关,与区间 ?a, b? 以及 ? i 的取法无关 与 f ( x) 以及 ? i 的取法有关,与区间 ?a, b? 无关 与 f ( x) 以及 ? i 的取法和区间 ?a, b? 都有关 )

4. 下列等式成立的是。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。( b b 1 1 b b 1 A. ? 0 ? dx ? b ? a B. ? xdx ? C. ? x dx ? 2? x dx D. ? ( x ? 1)dx ? ? xdx a a ?1 0 a a 2
b 6 f ( x)dx ? ______ 5. 已知 ? f ( x)dx =6,则 ?a
a b

6. 已知 ? (f ( x) ? g ( x))dx ? 18,
a
2 2 0 0

b

?

b

a

g ( x)dx ? 10 ,则 ? f ( x)dx =______________
a

b

7. 已知 ? f ( x)dx ? 3, 则 ? ? f ( x) ? 6?dx ? ___________ 8. 计算 ?
1 2 x dx 0 3
1

9. 计算 ? 6x 3 dx
0

1

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第一章

定积分

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1.6 微积分基本定理 一,基础知识 1.微积分基本定理 内容

符号

2.利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数

(1)若f ( x) ? cos x, 则F ( x) ?

(3)若f ( x) ? e x , 则F ( x) ?

(5)若f ( x) ? xn , 则F ( x) ?
(7)若f ( x) ?

(2)若f ( x) ? ? sin x, 则F ( x) ? 1 (4)若f ( x) ? , 则F ( x) ? x (6)若f ( x) ? x3 , 则F ( x) ?

1 (8)若f ( x) ? x , 则F ( x) ? , 则F ( x) ? x2 3. 定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,在 x 轴下方的面积为 S 下,则

(1)当曲边梯形在 x 轴上方时,如图①,则 ? f ( x)dx =____.
a

b

(2)当曲边梯形在 x 轴下方时,如图②,则 ? f ( x)dx =_____
a

b

(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时,如图③,则 ? f ( x)dx =________
a

b

若 S 上=S 下,则 ? f ( x)dx =______
a

b

例 1 计算下列定积分: 21 (1) ? dx ; 1 x

(2) ? sin xdx ;
0

?

(3) ?(2 x ?
1

2

1 )dx ; x2

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第一章

定积分

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二,巩固练习 1.判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若 F′(x)=f(x),则 F(x)唯一.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。( ) b 2. 定积分? f(x)dx 的几何意义是由 x 轴、函数 y=f(x)的图象以及直线 x=a,x=b 围成的各部分 ?a 面积的代数和. 3.下列各式中,正确的是 A .?bF′(x)dx=F′(b)-F′(a) ?a C ?bF′(x)dx=F(b)-F(a) ?a ( ( B. ? F′(x)dx=F′(a)-F′(b) ?a
b

) )

D.?bF′(x)dx=F(a)-F(b) ?a )

4.下列积分值等于 1 的是。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。( 1 A.?1xdx B.?1(x+1)dx C.?11dx D.?1 dx ? ? ? ?2
0 0 0 0

2 5.?2(x2- x)dx=________. 3 ?0 6.计算下列定积分: 1 (1)?2(x2+ 4)dx; x ?1

(2)?9(1+ x)dx. ?4

sin x?0≤x< ?, ? 2 ? 7.已知函数 f(x)=? π 1? ≤x≤2?, 2 ? ?x-1?2<x≤4?, π 上的定积分.

先画出函数图象,再求这个函数在区间[0,4]

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1.7.1 微积分基本定理与应用
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第一章

定积分

编写:王建全 袁长涛

一,基础知识 1, 不分割型图形面积的求解 求不分割型图形面积的一般步骤如下:

同时,要注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积:定积分可正、可负或为零;而平 面图形的面积总是非负的. 例 1 计算由曲线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3 所围成图形的面积.

2 分割型图型面积的求解 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变 化,通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标,可以将积分区间进行细化区段,然后根据图象对各 个区段分别求面积进而求和,在每个区段上被积函数均是由上减下;若积分变量选取 x 运算较为复 杂,可以选 y 为积分变量,同时更改积分的上、下限. 例 2,求直线 y=x,y=2x,以及曲线 y=x2 所围成的平面图形的面积.

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2 2

第一章 y o
-2 -1

定积分

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二,巩固练习 1、 如图,求由两条曲线 y ? ? x , 4 y ? ? x 及直 线 y= -1 所围成图形的面积.

1

2

x

A

y ? ?x2

B

-1

C

D
4 y ? ?x2

2、 如图, 抛物线 C1: y= -x2 与抛物线 C2: y=x2-2ax(a>0) 交于 O、A 两点.若过原点的直线 l 与抛物线 C2 所围 9 成的图形面积为 a 3 ,求直线 l 的方程. 2
A

3,在曲线 y=x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成图形的面积为 切点 A 的坐标,过切点 A 的切线方程.

1 ,试求: 12

4,求曲线 y=sin x 与直线 x=-

π 5 ,x= π ,y=0 所围图形的面积. 2 4

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定积分

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1.7.1 定积分在物理中的应用 一 求变速直线运动的路程、位移 求做变速直线运动物体位移与路程的方法 (1)做直线运动物体的位移与路程是两个不同的概念,位移是指物体位置的改变,位移不但有大小, 而且有方向,是一个矢量(或向量);路程是物体运动轨迹即质点运动时所经过的实际路径的长度, 路程只有大小,没有方向,是个标量(或数量). (2)用定积分计算做直线运动物体的路程,要先判断速度 v(t)在时间区间内是否为正值,若 v(t)> b 0 ,则运动物体的路程为 s = ? b a v(t)dt ;若 v(t) < 0 ,则运动物体的路程为 s = ? a |v(t)|dt =
?? b a v(t)dt.

(3)物体做变速直线运动时,经过的位移 s,等于其速度 v=v(t)在时间区间[a,b]上的积分,即 b ? a v(t)dt. 例 1,、已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为:(单位: v(m / s), t ( s). )
?3 2 0 ? t ? 10; ?10 t , ? v(t ) ? ?30, 10 ? t ? 40; ?? 1.5t ? 90, 40 ? t ? 60. ? ? 求(1)汽车 10 s 行驶的路程;(2)汽车 50 s 行驶的路程;(3)汽车 1 min 行驶的路程.

练习 1: 变速直线运动的物体速度为 v(t ) ? 1 ? t 2 , 初始位置为 x0 ? 1, 求它在前 2 s 内所走的路程及 2 s 末 所在的位置.

例 2 动点 P 沿 x 轴运动, 在时间 t 时的速度为 v(t)=8t-2t2(速度的正方向与 x 轴正方向一致). 求: (1)点 P 从原点出发,当 t=6 时,求点 P 离开原点的路程和位移; (2)点 P 从原点出发,经过时间 t 后又返回原点时的 t 值.

练习 2、已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为:(单位: v(m / s), t ( s). )

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第一章

定积分

编写:王建全 袁长涛

?3 2 0 ? t ? 10; ?10 t , ? v(t ) ? ?30, 10 ? t ? 40; ?? 1.5t ? 90, 40 ? t ? 60. ? ? 求(1)汽车 10 s 行驶的路程;(2)汽车 50 s 行驶的路程;(3)汽车 1 min 行驶的路程.

二,求变力做功的方法步骤 (1)首先要明确变力的函数式 F(x)=kx,确定物体在力的方向上的位移. (2)利用变力做功的公式 W= ? b a F(x)dx 计算. (3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米,功的单位才为焦耳. 例3 , 一物体在力 F(x)(单位: N)的作用下沿与力 F 相同的方向运动, 力——位移曲线如图所示. 求 该物体从 x=0 处运动到 x=4(单位:m)处,力 F(x)做的功.

练习 3,设有一长 25 cm 的弹簧,若加以 100 N 的力,则弹簧伸长到 30 cm,又已知弹簧伸长所需 要的拉力与弹簧的伸长量成正比,求使弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 所做的功.

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3

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第一章

定积分

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定积分的概念基础巩固 1. 定积分? (-3)dx 等于 ?1 ( )

A.-6

C.-3 D.3 2.已知定积分? f(x)dx=8,且 f(x)为偶函数,则?6 f(x)dx 等于
6

B.6

?0

?-6

(

)

A.0

B.16

C.12 D.8
( )

3.下列命题不正确的是 A.若 f(x)是连续的奇函数,则?a f(x)dx=0 ?-a

B.若 f(x)是连续的偶函数,则?a f(x)dx=2?af(x)dx
?-a ?0

C.若 f(x)在[a,b]上连续且恒正,则? f(x)dx>0
?a

b

D.若 f(x)在[a,b]上连续且? f(x)dx>0,则 f(x)在[a,b]上恒正
?a 4.设 f(x)是[a,b]上的连续函数,则?bf(x)dx-?bf(t)dt 的值 ?a ?a ( )

b

A.大于零

B.等于零

C.小于零 D.不能确定
( )

5.下列各阴影部分的面积 S 不可以用 S=?b[f(x)-g(x)]dx 求出的是 ?a

A

B

C

D

6.若?bf(x)dx=3,?bg(x)dx=2,则?b[f(x)+g(x)]dx=__________. ?a ?a ?a ? 7.若? ? 2 cosxdx=1,则由 x=0,x=π ,f(x)=sinx 及 x 轴围成的图形的面积为__________. ?0 8.直线 x=1,x=-1,y=0 及曲线 y=x +sinx 围成的平面图形的面积可表示为__________. 9.计算?3 ( 9-x2-x3)dx 的值. ?-3
3

微积分基本定理基础巩固
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第一章

定积分

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1.? (cosx+1)dx 等于 ?0

π

(

)

A.1

B.0
2

C.π +1
1 -1

D.π
( D. ?0 2xdx+?1x2dx ?-1 ?0 ( ) )

?x ,x≥0, 2.设 f(x)=? x ?2 ,x<0,

则 ? f ( x)dx 的值是

A. ?1 x2dx
?-1

B. ?1 2xdx ?-1

C. ?0 x2dx+?12xdx
?-1 ?0

1? ? 3. 若?a?2x+ ?dx=3+ln2, 则 a 的值是 x? ?1?

A.6

B.4
m

C.3

D.2
( )

4. 若函数 f(x)=x +nx 的导函数是 f′(x)=2x+1, 则?2f(-x)dx= ?1

A.

5 6

B.

1 2

C.

2 3

D.

1 6 ( )

? ?π ?? 5. 已知函数 f(a)=?asinxdx, 则 f?f? ??= ? ? 2 ?? ?0

A.1

B.1-cos1 C.0 D.cos1-1 2 1 2 6. 已知? f(x)dx=? 9x dx, 则? [f(x)+6]dx=
2

?0

?0

?0

(

)

A.9

C.15 D.18 7.已知 t>0,若?t(2x-2)dx=3,则 t=__________.
?0 π? ? 8.已知α ∈?0, ?,则当?α (cosx- 3sinx)dx 取得最大值时,α =__________. 2? ? ?0 9.已知 t>1,若?t(2x+1)dx=t2,则 t=________. ?1 10.已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f′(0)=0,?1f(x)dx=-2,求 a、b、c 的值. ?0

B.12

定积分的应用
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定积分

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一、选择题 1 1、由 y ? , x 轴及 x ? 1, x ? 2 围成的图形的面积为 x 1 A. ln 2 C. B. lg 2 2 2、 y ? sin x,0 ? x ? 2? 与 x 轴围成的图形的面积为
A.0 B .2 C .2?


D.1




D.4



3、 由曲线 y ? f ( x)( f ( x) ? 0), x ? ?a, b?, x ? a., x ? b(a ? b) 和 x 轴围成的曲边梯形的面积 S =





A.? f ( x)dx
a

b

B. ? ? f ( x)dx
a

b

C.? ? f ( x) ? a?dx D.? ? f ( x) ? b?dx
b b a a

4、 由曲线 y ? x 2 与直线 y ? 2 x 所围成的平面图形的面积为
A. 16 3 B. 8 3 C.





4 2 D. 3 3 5、 若 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 是 [a, b] 上的两条光滑曲线的方程则由这两条曲线及直线 x ? a, x ? b 所围成的平 面区域的面积为 ( )

A. ?a [ f ( x) ? g ( x)]dx A. gt0 2
1 3

b

B. ?a [ g ( x) ? f ( x)]dx C. gt0 2
1 2

b

C. ?a | f ( x) ? g ( x) | dx D. gt0 2
1 4

b

D. | ?a f ( x) ? g ( x)dx | ( )

b

6、已知自由下落物体的速度为 v ? gt ,则物体从 t ? 0 到 t ? t0 所走过的路程为 B. gt0 2
3? ) 与坐标轴所围图形的面积是 2 5 B.3 C. D.4 2

7、曲线 y ? cos x(0 ? x ? A.2
二、填空题
2





1. ?

0

4 ? x 2 dx =___________.

2.一物体在力 F ( x) ? 3x ? 4 (单位: N )的作用下,沿着与力相同的方向从 x ? 0 处运动到 x ? 4 处(单 位:)则力 F ( x) 所作的功为___________. 三、解答题: 1、求下列曲线所围成的图形的面积 ? 3? , y ? 0. (1) y ? e x , y ? e, x ? 0. (2) y ? cos x, x ? , x ? 2 2

2、求下列曲线所围成的图形的面积 (1) y ? e x ? 1, x ? ? ln 2, y ? e ? 1. (2) y ? x, y ? 3 和 xy ? 1 .

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第一章

定积分

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(3) y ? sin x, y ? cos x, x ? 0, x ?

?
2

.

9 3、过原点的直线 l 与抛物线: y ? x 2 ? 2ax(a ? 0) 所围成的图形面积为 a 3 ,求直线 l 的方程. 2

4、计算抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围成的图形面积.

5、计算由曲线 y2 ? x , y ? x 2 所围图形的面积 S.

6、计算由直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 2x 以及 x 轴所围图形的面积 S.

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