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平面向量的基本概念及线性运算-平面向量 2012高考一轮数学精品课件_图文

时间:2013-01-08

学案1 平面向量的基本概念
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及线性运算

考点分析 1.向量的有关概念 (1)向量:既有 大小 ,又有 方向 的量叫做向量, 向量的大小叫做向量的长度 (或模). (2)零向量: 是 任意 的. 长度为0 的向量叫做零向量,其方向

(3)单位向量:给定一个非零向量a,与a 同方向 且 1 的向量,叫做向量a的单位向量. 长度等于 返回目录

(4)平行向量:方向 相同 或 相反 的 非零 向量.平行向量又叫 共线向量 ,任一组平行向量都可以 移到同一条直线上. 规定:0与任一向量 平行 .

(5)相等向量:长度 相等 且方向
(6)相反向量:长度 相等 且方向

相同
相反

的向量.
的向量.

2.向量的加法和减法
(1)加法 ①法则:服从三角形法则、平行四边形法则. ②运算性质: 返回目录

a+b=

b+a

(交换律);

(a+b)+c=
a+0= (2)减法 0+a

a+(b+c)
= a

(结合律);
.

①减法与加法互为逆运算; ②法则:服从三角形法则. 3.实数与向量的积 (1)长度与方向规定如下: ①|λa|= |λ|·|a| ; 返回目录

②当 λ>0

时,λa与a的方向相同;当 0 .

λ<0

时,

λa与a的方向相反;当λ=0时,λa= (2)运算律:设λ,μ∈R,则

①λ(μa)=
③λ(a+b)=

(λμ)a λa+λb

;②(λ+μ)a=
.

λa+μa;

4.平行向量基本定理
向量a与b(b≠0)平行的充要条件是 有且只有一个实 数λ, 使得a=λb

.

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题型分析 考点一 向量的有关概念

判断下列各命题是否正确.

(1)若|a|=|b|,则a=b;
(2)若A,B,C,D是不共线的四点,则AB=DC是

四边形ABCD是平行四边形的充要条件;
(3)若a=b,b=c,则a=c; (4)两向量a,b相等的充要条件是:|a|=|b|且a∥b; 返回目录

(5)|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件;

(6)AB=CD的充要条件是A与C重合,B与D重合.
【分析】从向量的模、相等向量的概念入手,逐个判 断其真假.

【解析】(1)不正确.两个向量的长度相等,但它们 的方向不一定相同. (2)正确.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|且AB∥DC.

又A,B,C,D是不共线的四点,
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∴四边形ABCD是平行四边形 ,反之 ,若四边形 AB CD是平行四边形,则AB∥DC,且AB与DC方向相同, 因此,AB=DC. (3)正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同; 又∵b=c, ∴b,c的长度相等且方向相同. ∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.

(4)不正确.当a∥b,但方向相反,即使|a|=|b|,也 不能得到a=b.
? (5)正确.这是因为|a|=|b|?/ a=b,但a=b?|a|=|b|, 所以|a|=|b|是a=b的必要不充分条件.

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(6)不正确.这是因为AB=CD时,应有:|AB|=|CD|, 即由A到B与由C到D的方向相同,但不一定要有A与C重合,

B与D重合.
【评析】向量中的概念比较多,易混淆,基础性题 目的判定应从概念的本质上加以理解和应用.

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*对应演练*
给出下列命题:
①向量AB的长度与向量BA的长度相等; ②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反; ③两个有共同起点并且相等的向量,其终点必相同; ④两个有共同终点的向量,一定是共线向量;

⑤向量AB与向量CD是共线向量,则点A,B,C,D必在同 一条直线上;
⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中假命题的 个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 返回目录

C(①中,∵向量AB与BA为相反向量,∴它们的长度相等,∴ 此命题正确. ②中若a或b为零向量,则满足a与b平行,但a与b的方向不 一定相同或相反,∴此命题错误. ③由相等向量的定义知,若两向量为相等向量,且起点相同, 则其终点也必定相同,∴该命题正确. ④由共线向量知,若两个向量仅有相同的终点,则不一定共 线,∴该命题错误. ⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量,∴若AB与CD是 共线向量,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上,∴该命题 错误. ⑥∵零向量不能看作是有向线段,∴该命题错误. 故应选C.)
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考点二 向量的线性表示 如图4-1-1,若ABCD是一个等腰梯形,AB∥DC,M,N分别

是DC,AB的中点,已知AB=a,AD=b,DC=c,试用a,b,c表
示BC,MN,DN+CN.

【分析】结合图形性质,准确灵活运用三角形法则和 平行四边形法则是向量加减运算的关键. 返回目录

【解析】BC=BA+AD+DC=-a+b+c. ∵MN=MD+DA+AN,MN=MC+CB+BN, ∴2MN=MD+MC+DA+CB+AN+BN =-AD+CB=-b-(-a+b+c) =a-2b-c, 1 1 ∴MN= a-b- c. 2 2 DN+CN=DM+MN+CM+MN =2MN=a-2b-c. 返回目录

【评析】 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个 向量间的相互关系,能熟练地找出图形中相等向量,能熟

练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是: ①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③ 运用法则找关系;④化简结果.

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*对应演练*
如图4-1-2,以向量OA=a,OB=b为边作? OADB,

1 1 BM= BC,CN= CD,用a,b表示OM,ON,MN. 3 3

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∵BA=OA-OB=a-b,
1 1 1 ∴BM= BA= a- b. 6 6 6 1 1 1 5 ∴OM=OB+BM=b+ a- b= a+ b. 6 6 6 6

又OD=a+b,

1 1 1 2 2 2 ∴ON=OC+ 3 CD= 2 OD+ 6 OD= OD= a+ b. 3 3 3 2 2 1 5 1 1 ∴MN=ON-OM= a+ b- a- b= a- b. 3 6 6 2 6 1 53 2 2 即有OM= a+ b,ON= a+ b, 6 6 3 3 1 1 MN= a- b. 2 6
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考点三 向量的共线问题 设两个非零向量a与b不共线.
(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). 求证:A,B,D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.

【分析】解决点共线或向量共线问题,就要根据两
向量共线的条件a=λb(b≠0).

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【解析】 (1)证明:∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.

∴AB,BD共线,
又∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线. (2)∵ka+b与a+kb共线, ∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb), 即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.

∵a,b是不共线的两个非零向量,
∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=〒1. 返回目录

【评析】 (1)由向量数乘运算的几何意义知非零向量 共线是指存在实数λ使两向量能互相表示. (2)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时, 通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意 待定系数法的运用和方程思想. (3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注 意向量与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共 点时,才能得出三点共线.

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*对应演练*
设两个非零向量e1和e2不共线.

(1)如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求 证:A,C,D三点共线;
(2)如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,CD=2e1-ke2,且A,C,D三 点共线,求k的值.

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(1)AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2, 1 1 AC=AB+BC=4e1+e2=- (-8e1-2e2)=- CD, 2 2 ∴AC与CD共线.

又∵AC与CD有公共点C,∴A,C,D三点共线.
(2)AC=AB+BC=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2, ∵A,C,D三点共线, ∴AC与CD共线,从而存在实数λ使得AC=λCD, 即3e1-2e2=λ(2e1-ke2),由平面向量基本定理,得

{

3=2λ -2=-λk,

解得λ=

3 4 ,k= . 2 3
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考点四

向量知识的综合应用

1 1 如图4-1-3所示,在△ABO中,OC= 4 OA,OD= OB,AD 2

与BC相交于点M,设OA=a,OB=b.试用a和b表示向量 OM.

【分析】从题设及图中可以看出,直接寻找OM与a, b之间的关系是很难行得通的.因此可先设OM=ma+nb,

利用共线向量的知识及待定系数法求出m,n即可.
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【解析】设OM=ma+nb,
则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb. 1 1 AD=OD-OA= OB-OA=-a+ b. 2 2 又∵A,M,D三点共线,∴AM与AD共线. ∴存在实数t,使得AM=tAD, 1 即(m-1)a+nb=t(-a+ )b. 2 1 ∴(m-1)a+nb=-ta+ tb. 2 m-1=-t ∴ 消去t得m-1=-2n. t n= , 2

{

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即m+2n=1.



1 1 又∵CM=OM-OC=ma+nb- a=(m- )a+nb,CB=OB4 4 1 1 OC=b- a=- a+b. 4 4 又∵C,M,B三点共线,∴CM与CB共线.

∴存在实数t1,使得CM=t1CB, 1 1 ∴(m- )a+nb=t1(- a+b), 4 4 1 1 m- =- t1 ∴ 4 4 n=t1,

{

消去t1得4m+n=1. ② 1 3 1 3 由①②得m= 7 ,n= 7 ,∴OM= 7 a+ 7 b.

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【评析】在求一个向量用另外两个向量线性表示时, 一般有以下几种方法:
(1)根据图形,由加减法的定义,可直接得出结论; (2)如果不易找出它们间的关系,可先设该向量可用 另外两个向量来线性表示,再利用共线向量定理,用待定 系数法求出它们的系数,即可得出结论.

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*对应演练*
O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点 P满足 OP = OA + λ(
AB AC + ), λ∈[0,+∞),则P点的轨 | AB | | AC |

迹一定通过△ABC的(
A.外心 B.内心 C.重心

B) D.垂心

B(如图,作向量AP.由向量加法知OP=OA+AP 由已知可得 OP = OA + λ(
AB AC + ), | AB | | AC | AB AC + ). 由①②,可得AP = λ( | AB | | AC |

① ② ③ 返回目录

AB AC ③式中 | AB | , | AC | 都是单位向量,以

这两个向量为一组邻边作 AB1P1C1,

这时?AB1P1C1是菱形,对角线AP1平
分∠B1AC1,且
AB AC AB1= ,AC1= . | AB | | AC |



由③④可知AP=λAP1, 再由λ∈[0,+∞)可知,P点的轨迹是射线AP,所以,P点的轨 迹一定通过△ABC的内心.故应选B.) 返回目录

高考专家助教 1.将向量用其他向量(特别是基向量)线性表示,是 十分重要的技能,也是向量坐标形式的基础. 2.首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为 起点,最后的终点为终点的向量;若这两点重合,则和为 零向量. 3.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线, 但要注意到向量的平行与直线的平行的区别. 4.0与实数0有区别,0的模为数0,它不是没有方向, 而是方向不定.0可以看成与任意向量平行. 返回目录

5.由a∥b,b∥c不能得到a∥c.取不共线的向量a与c, 显然有a∥0,c∥0. 6.注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形 法则的根本区别与联系.

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